10.3: Розв'язування квадратних рівнянь методом факторингу
- Page ID
- 58496
Метод факторингу
Для розв'язання квадратичних рівнянь шляхом факторингу ми повинні використовувати властивість нульового фактора.
- Встановити рівняння рівне нулю, тобто отримати всі ненульові члени з одного боку від знака рівності і 0 з іншого.
\(ax^2 + bx + c = 0\) - Фактор квадратичного виразу.
\(()() = 0\) - За властивістю нульового фактора хоча б один з факторів повинен дорівнювати нулю, отже, задайте кожен з факторів рівним 0 і вирішуйте для змінної.
Набір зразків A
Розв'яжіть наступні квадратні рівняння. (Ми покажемо перевірку на проблему 1.)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
x^2 - 7x + 12 &= 0 & & &\ text {Рівняння вже встановлено рівним} 0\\
(x-3) (x-4) &= 0 & &\ text {Фактор. Встановіть кожен множник рівним} 0. \\
x-3 &= 0 &\ текст {або} x - 4 &= 0\\
x &= 3 &\ текст {або} x &= 4
\ кінець {масив}\)
Перевірка:
Якщо\(x = 3, x^2 - 7x + 12 = 0\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
3^2 - 7\ cdot 3 + 12 & = 0 &\ текст {Чи правильно це?} \\
9 - 21 + 12 &= 0 &\ text {Це правильно?} \\
0 &= 0 &\ text {Так, це правильно?}
\ end {масив}\)
Перевірка: Якщо\(x = 4, x^2 - 7x + 12 = 0\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
4^2 - 7\ cdot 4 + 12 &= 0 &\ текст {Чи правильно це?} \\
16 - 28 + 12 &= 0 &\ текст {Це правильно?} \\
0 &= 0 &\ text {Так, це правильно}
\ end {масив}\)
Таким чином, розв'язки цього рівняння є\(x = 3, 4\).
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
x^2 &= 25 &\ text {Встановіть рівняння рівним} 0\\
x^2 - 25 &= 0 &\ text {Фактор.} \\
(x+5) (x-5) &= 0 &\ text {Встановити кожен коефіцієнт рівним} 0\\
x+5=0 &\ text {або} & x - 5 = 0\\
x = -5 &\ text {або} & x = 5\
\ end {масив}\)
Таким чином, розв'язки цього рівняння є\(x = 5, -5\).
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
x^2 &= 2x &\ text {Встановіть рівняння рівне} 0\\
x^2 - 2x &= 0 &\ text {Фактор.} \\
x (x-2) &&\ text {Встановити кожен множник рівним} 0\\ x
= 0 &\ text {або} & x-2 = 0\\
&& x = 2
\ end {масив}\)
Таким чином, розв'язки цього рівняння\(x = 0, 2\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
2x^2 + 7x - 15 &= 0 &\ текст {Фактор.} \\
(2x - 3) (x+5) &= 0 &\ text {Встановити кожен коефіцієнт рівним} 0\\
2x-3 = 0 &\ text {або} & x + 5 = 0\\
2x=3 &\ text {або} & x = -5\\ x
=\ dfrac {3} {2}
\ кінець {масив}\)
Таким чином, розв'язки цього рівняння є\(x = \dfrac{3}{2}, -5\).
\(63x^2 = 13x + 6\)
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
63x^2 - 13x - 6 &= 0\\
(9x + 2) (7x - 3) &= 0\\
9x + 2 = 0 &\ текст {або} & 7x - 3 = 0\\
9x = -2 &\ текст {або} & 7x = 3\\ x =\ dfrac {-2} {9} &\ текст {або} &
7x = 3\\ x =\ dfrac {-2} {9} &\ текст {або} & x =\ dfrac {3} {7}
\ end {масив}\)
Таким чином, рішення цього рівняння\(x = \dfrac{-2}{9}, \dfrac{3}{7}\)
Практика Set A
Вирішіть наступні рівняння, якщо це можливо.
\((x−7)(x+4)=0\)
- Відповідь
-
\(x=7, −4\)
\((2x+5)(5x−7)=0\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{-5}{2}, \dfrac{7}{5}\)
\(x^2 + 2x - 24 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=4, −6\)
\(6x^2 + 13x - 5 = 0\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{1}{3}, \dfrac{-5}{2}\)
\(5y^2 + 2y = 3\)
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{3}{5}, -1\)
\(m(2m - 11) = 0\)
- Відповідь
-
\(m = 0, \dfrac{11}{2}\)
\(6p^2 = -(5p + 1)\)
- Відповідь
-
\(p = \dfrac{-1}{3}, \dfrac{-1}{2}\)
\(r^2 - 49 = 0\)
- Відповідь
-
\(r=7,−7\)
Розв'язання подумки після факторингу
Розглянемо завдання 4 і 5 набору зразків А докладніше. Давайте розглянемо особливо на факторизації\((9x + 2)(7x - 3) = 0\) і/ Наступним кроком є встановлення кожного\((2x-3)(x + 5) = 0\) коефіцієнта рівним нулю та вирішення. Ми можемо розв'язати подумки, якщо зрозуміємо, як вирішувати лінійні рівняння: переносимо константу зі змінного члена і потім ділимо на коефіцієнт змінної.
Набір зразків B
Розв'яжіть наступне рівняння подумки.
\((2x - 3)(x + 5) = 0\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
2x - 3 &= 0 &\ text {подумки додати} 3\ текст {в обидві сторони. Знак постійних змін.} \\
2x &= 3 &\ text {Розділити на} 2\ text {коефіцієнт} x\ text {. } 2\ text {ділить константу} 3\ text {на}\ dfrac {3} {2}\\
& &\ text {Коефіцієнт стає знаменником.} \\
x &=\ dfrac {3} {2}\\
x + 5 &= 0 &\ text {подумки відніміть} 5\ текст {з обох сторін. Знак постійних змін.} \\
x &= -5 &\ text {Розділити на коефіцієнт} x, 1. \ text {Коефіцієнт стає знаменником}\\
x =\ dfrac {-5} {1} &= -5\\
x &= -5
\ end {масив}\)
Тепер ми можемо відразу записати рішення рівняння після факторингу, дивлячись на кожен коефіцієнт, змінюючи знак константи, потім ділити на коефіцієнт.
Практика Set B
\((9x + 2)(7x - 3) = 0\)Вирішуйте, використовуючи цей ментальний метод.
- Відповідь
-
\(x = -\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{7}\)
Вправи
Для наступних задач вирішуйте рівняння, якщо це можливо.
\((x+1)(x+3)=0\)
- Відповідь
-
\(x=−1, −3\)
\((x+4)(x+9)=0\)
\((x−5)(x−1)=0\)
- Відповідь
-
\(x=1, 5\)
\((x−6)(x−3)=0\)
\((x−4)(x+2)=0\)
- Відповідь
-
\(x=−2, 4\)
\((x+6)(x−1)=0\)
\((2x+1)(x−7)=0\)
- Відповідь
-
\(x = -\dfrac{1}{2}, 7\)
\((3x+2)(x−1)=0\)
\((4x+3)(3x−2)=0\)
- Відповідь
-
\(x = -\dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{3}\)
\((5x−1)(4x+7)=0\)
\((6x+5)(9x−4)=0\)
- Відповідь
-
\(x = -\dfrac{5}{6}, \dfrac{4}{9}\)
\((3a+1)(3a−1)=0\)
\(x(x+4)=0\)
- Відповідь
-
\(x=−4, 0\)
\(y(y−5)=0\)
\(y(3y−4)=0\)
- Відповідь
-
\(y = 0, \dfrac{4}{3}\)
\(b(4b+5)=0\)
\(x(2x+1)(2x+8)=0\)
- Відповідь
-
\(x = -4, -\dfrac{1}{2}, 0\)
\(y(5y+2)(2y−1)=0\)
\((x-8)^2 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=8\)
\((x-2)^2 = 0\)
\((b + 7)^2 = 0\)
- Відповідь
-
\(b=−7\)
\((a + 1)^2\)
\((x(x-4)^2 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=0, 4\)
\(y(y + 9)^2 = 0\)
\(y(y-7)^2 = 0\)
- Відповідь
-
\(y=0, 7\)
\(y(y + 5)^2 = 0\)
\(x^2 - 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=−2, 2\)
\(x^2 + 9 = 0\)
\(x^2 + 36\)
- Відповідь
-
немає рішення
\(x^2 - 25 = 0\)
\(a^2 - 100 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−10, 10\)
\(a^2 - 81 = 0\)
\(b^2 - 49 = 0\)
- Відповідь
-
\(b=7, −7\)
\(y^2 - 1 = 0\)
\(3a^2 - 75 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=5, −5\)
\(5b^2 - 20 = 0\)
\(y^3 - y = 0\)
- Відповідь
-
\(y=0, 1, −1\)
\(a^2 = 9\)
\(b^2 = 4\)
- Відповідь
-
\(b=2, −2\)
\(b^2 = 1\)
\(a^2 = 36\)
- Відповідь
-
\(a=6, −6\)
\(3a^2 = 12\)
\(-2x^2 = -4\)
- Відповідь
-
\(x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}\)
\(-2a^2 = -50\)
\(-7b^2 = -63\)
- Відповідь
-
\(b=3, −3\)
\(-2x^2 = -32\)
\(3b^2 = 48\)
- Відповідь
-
\(b=4, −4\)
\(a^2 - 8a + 16 = 0\)
\(y^2 + 10y + 25 = 0\)
- Відповідь
-
\(y=−5\)
\(y^2 + 9y + 16 = 0\)
\(x^2 - 2x - 1 = 0\)
- Відповідь
-
немає рішення
\(a^2 + 6a + 9 = 0\)
\(a^2 + 4a + 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−2\)
\(x^2 + 12x = -36\)
\(b^2 - 14b = -49\)
- Відповідь
-
\(b=7\)
\(3a^2 + 18a + 27 = 0\)
\(2m^3 + 4m^2 + 2m = 0\)
- Відповідь
-
\(m=0, −1\)
\(3mn^2 - 36mn + 36m = 0\)
\(a^2 + 2a - 3 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−3, 1\)
\(a^2 + 3a - 10 = 0\)
\(x^2 + 9x + 14 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=−7, −2\)
\(x^2 - 7x + 12 = 3\)
\(b^2 + 12b + 27 = 0\)
- Відповідь
-
\(b=−9, −3\)
\(b^2 - 3b + 2 = 0\)
\(x^2 - 13x = -42\)
- Відповідь
-
\(x=6, 7\)
\(a^3 = -8a^2 - 15a\)
\(6a^2 + 13a + 5 = 0\)
- Відповідь
-
\(a = -\dfrac{5}{3}, -\dfrac{1}{2}\)
\(6x^2 - 4x - 2 = 0\)
\(12a^2 + 15a + 3 = 0\)
- Відповідь
-
\(a = -\dfrac{1}{4}, -1\)
\(18b^2 + 24b + 6 = 0\)
\(12a^2 + 24a + 12 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−1\)
\(4x^2 - 4x = -1\)
\(2x^2 = x + 15\)
- Відповідь
-
\(x = -\dfrac{5}{2}, 3\)
\(4a^2 = 4a + 3\)
\(4y^2 = -4y - 2\)
- Відповідь
-
немає рішення
\(9y^2 = 9y + 18\)
Вправи для огляду
Спростити\((x^4y^3)^2(xy^2)^4\)
- Відповідь
-
\(x^{12}y^{14}\)
Пишіть\((x^{-2}y^3w^4)^{-2}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.
Знайдіть суму:\(\dfrac{x}{x^2 - x - 2} + \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)(x-2)}\)
Спростити\(\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}\)
Вирішити\((x + 4)(3x + 1) = 0\)
- Відповідь
-
\(x = -4, \dfrac{-1}{3}\)