9.7: Квадратні кореневі рівняння з додатками
- Page ID
- 58609
Рівняння квадратного кореня та сторонні розв'язки
Рівняння квадратного кореня
Рівняння квадратного кореня - це рівняння, яке містить змінну під знаком квадратного кореня. Той факт,\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x\) що ми можемо вирішити рівняння квадратного кореня шляхом квадратування обох сторін рівняння.
сторонні рішення
Однак вирівнювання обох сторін рівняння може вводити сторонні розв'язки. Розглянемо рівняння
\(x = -6\)
Рішення є\(-6\). Квадрат з обох сторін.
\(x^2 = (-6)^2\)
\(x^2 = 36\)
Це рівняння має два рішення,\(-6\) і\(+6\). \(+6\)Це стороннє рішення, оскільки воно не перевіряє вихідне рівняння:
\(+6 \not = -6\)
Метод розв'язання рівнянь квадратного кореня
- Виділяють радикал. Це означає отримати вираз квадратного кореня сам по собі на одній стороні знака рівності.
- Квадратні обидві сторони рівняння.
- Спростіть рівняння, комбінуючи подібні терміни.
- Повторіть крок 1, якщо радикали все ще присутні.
- Отримати потенційні розв'язки шляхом розв'язання отриманого неквадратного рівняння кореня.
- Перевірте кожне потенційне рішення шляхом підстановки у вихідне рівняння.
Набір зразків A
Вирішити кожне квадратне рівняння кореня
\ (\ begin {масив} {flushleft}
&\ sqrt {x} &= 8 &\ text {Радикал ізольований Квадрат з обох сторін.}\\
& (\ sqrt {x}) ^2\\
& x &= 64 &\ text {Перевірте це потенційне рішення}\\
text {Перевірте:} &\ sqrt {64} &= 8 &\ text \ text {Це правильно? }\\
& 8 &= 8 &\ text {Так, це правильно.}\\
64\ text {це рішення}
\ end {масив}\)
\ (\ begin {масив} {flushleft}
&\ sqrt {y-3} &= 4 &\ text {Радикал ізольований. Квадрат з обох сторін.}\\
&\ sqrt {y-3} &= 16 &\ text {Розв'яжіть це нерадикальне рівняння}
\\ text {Перевірте:} &\ sqrt {19 - 3} &=\ sqrt {16} &\ text {Це правильно? }\\
&\ sqrt {16} &= 4 &\ text {Це правильно? }\\
& 4 &= 4 &\ text {Так, це правильно.}\\
19\ text {це рішення}
\ end {масив}\)
\ (\ begin {масив} {flushleft}
&\ sqrt {2m+ 3} -\ sqrt {m - 8} &= 0 &\ text {Ізолювати будь-який радикал}\\
&\ sqrt {2m+ 3} &=\ sqrt {m + 8} &\ text {Квадрат з обох сторін.}\\
& 2m+ 3 &= м-8 &\ текст {Вирішити це нерадикальне рівняння}\
& m &= -11 &\ text {Перевірте це потенційне рішення.}\
\ text {Перевірити:}\ sqrt {2 (-11) + 3} -\ sqrt {(-11) - 8} &= 0 &\ text {Це правильно? }\\
&\ sqrt {-22 + 3} -\ sqrt {-19} &= 0 &\ text {Це правильно? }
\ end {масив}\)
Оскільки не\(\sqrt{-19}\) є дійсним числом, то потенційне рішення\(m = -11\) не перевіряє. Це рівняння не має реального рішення.
\(\sqrt{4x - 5} = -6\). При огляді це рівняння не має реального рішення.
Символ означає позитивний квадратний корінь\(\sqrt{}\), а не негативний квадратний корінь.
Практика Set A
Вирішити кожне квадратне рівняння кореня
\(\sqrt{y} = 14\)
- Відповідь
-
\(y = 196\)
\(\sqrt{a - 7} = 5\)
- Відповідь
-
\(a = 32\)
\(\sqrt{3a + 8} - \sqrt{2a + 5} = 0\)
- Відповідь
-
\(a = -3\)є стороннім, ніякого реального рішення.
\(\sqrt{m - 4} = -11\)
- Відповідь
-
Немає реального рішення
Вправи
Для наступних задач розв'яжіть рівняння квадратного кореня.
\(\sqrt{x} = 5\)
- Відповідь
-
\(x = 25\)
\(\sqrt{y} = 7\)
\(\sqrt{a} = 10\)
- Відповідь
-
\(a = 100\)
\(\sqrt{c} = 12\)
\(\sqrt{x} = -3\)
- Відповідь
-
Немає рішення
\(\sqrt{y} = -6\)
\(\sqrt{x} = 0\)
- Відповідь
-
\(x = 0\)
\(\sqrt{x} = 1\)
\(\sqrt{x + 3} = 3\)
- Відповідь
-
\(x = 6\)
\(\sqrt{y - 5} = 5\)
\(\sqrt{a + 2} = 6\)
- Відповідь
-
\(a = 34\)
\(\sqrt{y + 7} = 9\)
\(\sqrt{y - 4} - 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(y = 20\)
\(\sqrt{x - 10} - 10 = 0\)
\(\sqrt{x - 16} = 0\)
- Відповідь
-
\(x = 16\)
\(\sqrt{y -25} = 0\)
\(\sqrt{6m - 4} = \sqrt{5m - 1}\)
- Відповідь
-
\(m = 3\)
\(\sqrt{5x + 6} = \sqrt{3x + 7}\)
\(\sqrt{7a + 6} = \sqrt{3a - 18}\)
- Відповідь
-
Немає рішення
\(\sqrt{4x + 3} = \sqrt{x - 9}\)
\(\sqrt{10a - 7} - \sqrt{2a + 9} = 0\)
- Відповідь
-
\(a = 2\)
\(\sqrt{12k - 5} - \sqrt{9k + 10} = 0\)
\(\sqrt{x - 6} - \sqrt{3x - 8} = 0\)
- Відповідь
-
Немає рішення
\(\sqrt{4a - 5} - \sqrt{7a - 20} = 0\)
\(\sqrt{2m - 6} = \sqrt{m - 2}\)
- Відповідь
-
\(m = 4\)
\(\sqrt{6r - 11} = \sqrt{5r + 3}\)
\(\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 6}\)
- Відповідь
-
Немає рішення
\(\sqrt{x - 7} - \sqrt{5x + 1} = 0\)
\(\sqrt{2a + 9} - \sqrt{a - 4} = 0\)
- Відповідь
-
Немає рішення
У певній компанії з електроніки\(Q\) щоденний випуск пов'язаний з кількістю людей\(A\) на конвеєрі\(Q = 400 + 10\sqrt{A + 125}\)
а) Визначте щоденний вихід, якщо на\(44\) конвеєрі є люди.
б) Визначте, скільки людей потрібно на конвеєрі, якщо щоденний вихід повинен бути\(520\)
У магазині щоденна кількість продажів приблизно\(S\) пов'язана з кількістю співробітників\(E\) по\(S = 100 + 15\sqrt{E + 6}\)
а) Визначте приблизну кількість продажів, якщо є\(19\) співробітники.
б) Визначити кількість співробітників магазину потрібно буде виробляти\(310\) продажі.
- Відповідь
-
а)\(S = 175\)
б)\(E = 190\)
Резонансна частота\(f\) в електронній\(L\) схемі, що містить послідовно індуктивність і ємність\(C\), задається:
\(f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}\)
а) Визначте резонансну частоту в електронній\(4\) схемі, якщо індуктивність є, а ємність є\(0.0001\). Використовувати\(\pi = 3.14\)
б) Визначте індуктивність в електричному ланцюзі, якщо резонансна частота є\(7.12\) і ємність є\(0.0001\). Використання\(\pi = 3.14\).
Якщо два магнітних полюса сили\(m\) і\(m'\) одиниці знаходяться на відстані\(r\) сантиметрів (см) один від одного, то\(F\) сила відштовхування в повітрі між ними задається:
\(F = \dfrac{mm'}{r^2}\):
а) Визначте силу відштовхування, якщо два магнітних полюса сили\(20\) і\(40\) знаходяться в\(5\) сантиметрах один від одного в повітрі.
б) Визначити, наскільки далеко один від одного знаходяться два магнітних полюса сил\(30\) і\(40\) одиниць, якщо сила відштовхування в повітрі між ними\(0.0001\).
- Відповідь
-
а)\(F = 32\)
б)\(r = 8\) см.
Швидкість\(V\) в футах в секунду відтоку рідини з отвору\(h\) задається\(V = 8\sqrt{h}\), де висота в футах рідини над отвором.
а) Визначити швидкість відтоку рідини з отвору, яке знаходиться на\(9\) ногах нижче верхньої поверхні рідини (\(V\)знаходиться в футів/сек.
б) Визначте, наскільки висока рідина вище отвору, якщо швидкість відтоку становить\(81\) фути/секунду.
Період\(T\) в секундах простого маятника довжиною\(L\) в футах задається\(T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{32}}\)
а) Визначте період простого маятника, який довжиною\(2\) ноги. Використання\(\pi = 3.14\).
б) Визначити довжину в футах простого маятника, період якого дорівнює\(10.8772\) секундам. Використання\(\pi = 3.14\).
- Відповідь
-
а)\(T = 1.57\) сек
б)\(L = 95.99\) см
Кінетична енергія\(KE\) в футових фунтах тіла маси\(m\) у слимаків, що рухаються зі швидкістю\(v\) в футів/сек, задається\(KE = \dfrac{1}{2}mv^2\).
а) Визначити кінетичну енергію тіла\(2\) -слимака, що рухається зі швидкістю\(4\) ft/sec.
б) Визначте швидкість в футів/сек тіла\(4\) -слимака, якщо його кінетична енергія становить\(50\) фут-фунти.
Вправи для огляду
Пишіть\(\dfrac{x^{10}y^3(x+7)^4}{x^{-2}y^3(x+7)^{-1}}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.
- Відповідь
-
\(x^{12}(x+7)^5\)
Класифікувати\(x+4 = x+7\) як ідентичність, протиріччя або умовне рівняння.
Поставити відсутні слова. У координатній площині піднімаються лінії з _____ нахилом і падають лінії з _____ нахилом.
- Відповідь
-
позитивний, негативний
Спростити\(\sqrt{(x+3)^4(x-2)^6}\)
Спростити\((3 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})\)
- Відповідь
-
\(7 + \sqrt{5}\)