9.6: Додавання та віднімання виразів квадратного кореня
- Page ID
- 58596
Логіка, що стоїть за процесом
Зараз вивчимо методи спрощення радикальних виразів, таких як
\(4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\)або\(5\sqrt{2x} - 11\sqrt{2x} + 4(\sqrt{2x} + 1)\)
Процедура додавання і віднімання квадратних кореневих виразів стане очевидною, якщо ми згадаємо процедуру, яку ми використовували для спрощення поліноміальних виразів, таких як
\(4x + 8x\) або\(5a - 11a + 4(a+1)\)
Змінні\(x\) і\(a\) є літерами, що представляють деякі невідомі величини (можливо\(x\) представляє\(\sqrt{3}\) і\(a\) представляє\(\sqrt{2x}\)). Поєднання подібних термінів дає нам
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
4x + 8x = 12x &\ текст {або} & 4\ sqrt {3} + 8\ sqrt {3} = 12\ sqrt {3}\
\ текст {і}\\
5a - 11a + 4 (a + 1) &\ текст {або} & 5\ sqrt {2x} - 11\ sqrt {2x}} + 4 (\ sqrt {2x} + 1)\\
5а - 1а + 4а + 4 && 5\ sqrt {2x} - 1\ квадратний {2x} + 4\ sqrt {2x} + 4\\
-2a && -2\ sqrt {2x} + 4
\ кінець {масив}\)
Процес
Розглянемо вираз\(4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\). Є два способи подивитися на процес спрощення.
Ми запитуємо: «Скільки квадратних коренів у\(3\) нас є?»
\(4 \sqrt{3}\)означає, що ми маємо\(4\) «квадратні корені\(3\)»
Таким чином, в цілому ми маємо\(12\) «квадратні коріння»\(3\).
Ми також можемо використовувати ідею комбінування подібних термінів. Якщо згадати, то процес об'єднання подібних термінів заснований на розподільчої властивості
\(4x + 8x = 12x\)тому що\(4x + 8x = (4 + 8)x = 12x\)
Ми могли б спростити\(4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\) використання властивості distributive.
4\ sqrt {3} + 8\ sqrt {3} = (4 + 8)\ sqrt {3} = 12\ sqrt {3}\)
Обидва способи дадуть нам однаковий результат. Перший метод, ймовірно, трохи швидше, але майте на увазі, однак, що процес працює, оскільки він заснований на одному з основних правил алгебри, розподільчої властивості дійсних чисел.
Набір зразків A
Спростіть наступні радикальні вирази.
\(-6\sqrt{10} + 11\sqrt{10} = 5\sqrt{10}\)
\(4\sqrt{32} + 5\sqrt{2} \text{ Simplify } \sqrt{32}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
4\ sqrt {16\ cdot 2} + 5\ sqrt {2} &= 4\ sqrt {16}\ sqrt {2} + 5\
sqrt {2} + 5\ sqrt {2}\\
&= 16\ sqrt {2} + 5\ sqrt {2} 2}\\
&=21\ sqrt {2}
\ кінець {масив}\)
\(-3x\sqrt{75} + 2x\sqrt{48} - x\sqrt{27} \text{ Simplify each of the three radicals}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
-3x\ sqrt {75} + 2x\ sqrt {48} - х\ sqrt {27} &= -3x\ sqrt {25\ cdot 3} + 2x\ sqrt {16\ cdot 3} - х\ sqrt {9\ cdot 2}\\
&= -15x\ sqrt {3} + 8x\ sqrt {3} - 3x\ sqrt {3}\\
& =( -15x + 8x - 3x)\ sqrt {3}\\
&=-10x\ sqrt {3}
\ end {масив}\)
\(5a\sqrt{24a^3} - 7\sqrt{54a^5} + a^2\sqrt{6a} + 6a \text{ Simplify each radical}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
5a\ sqrt {24a^3} - 7\ sqrt {54a^5} + a^2\ sqrt {6a} + 6a &= 5a\ sqrt {4\ cdot 6\ cdot 6\ cdot a ^ 2\ cdot a} - 7\ sqrt {9\ cdot 6\ cdot a^4\ cdot a} + a^2\ sqrt {6a} + 6a\\
&= 10a^2\ sqrt {6a} - 21a^2\ sqrt {6a} + a^2\ sqrt {6a} + 6a\\
&= (10a^2 - 21a^2 + a^ 2)\ sqrt {6a} + 6a\\
&= -10a^2\ sqrt {6a} + 6a\\
&= -2a (5a\ sqrt {6a} - 3)
\ кінець {масив}\)
Практика Set A
Знайти кожну суму або різницю.
\(4\sqrt{18} - 5\sqrt{8}\)
- Відповідь
-
\(2\sqrt{2}\)
\(6x\sqrt{48} + 8x\sqrt{75}\)
- Відповідь
-
\(64x\sqrt{3}\)
\(-7\sqrt{84x} - 12\sqrt{189x} + 2\sqrt{21x}\)
- Відповідь
-
\(-48\sqrt{21x}\)
\(9\sqrt{6} - 8\sqrt{6} + 3\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{6} + 3\)
\(\sqrt{a^3} + 4a\sqrt{a}\)
- Відповідь
-
\(5a\sqrt{a}\)
\(4x\sqrt{54x^3} + \sqrt{36x^2} + 3\sqrt{24x^5} - 3x\)
- Відповідь
-
\(18x^2\sqrt{6x} + 3x\)
Набір зразків B
\(\dfrac{3 + \sqrt{8}}{3 - \sqrt{8}}\)Ми раціоналізуємо знаменник, помноживши цей дріб на\(1\) у вигляді\(\dfrac{3 + \sqrt{8}}{3 + \sqrt{8}}\).
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ dfrac {3+\ sqrt {8}} {3-\ sqrt {8}}\ cdot\ frac {3+\ sqrt {8}} {3+\ sqrt {8}}} &=\ dfrac {(3+\ sqrt {8}) (3+\ sqrt {8})} {3^ {3^ 2} - (\ sqrt {8}) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {9+3\ sqrt {8} +3\ sqrt {8} +\ sqrt {8}} {9-8}\
&=\ dfrac {9+6\ sqrt {8} +8} {1}\\
&=17+6\ sqrt {8}\\
&=17+6\ sqrt {4\ cdot 2}\\
&=17+12\ sqrt {2}
\ кінець {масив}\)
\(\dfrac{2 + \sqrt{7}}{4 - \sqrt{3}}\). Раціоналізуйте знаменник, множивши цей дріб на\(1\) в формі\(\dfrac{4 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}\).
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ dfrac {2+\ sqrt {7}} {4-\ sqrt {3}}\ cdot\ dfrac {4+\ sqrt {3}} {4+\ sqrt {3}} &=\ dfrac {(2+\ sqrt {7}) (4+\ sqrt {3})} {4^ {2} - (\ sqrt {3}) ^ {2}}\\
&=\ drac {8+2\ sqrt {3} +4\ sqrt {7} +\ sqrt {21}} {16-3}\\
&=\ dfrac {8+2\ sqrt {3} +\ sqrt {7} +\ sqrt {21}} {13}
\ end {масив}\)
Практика Set B
Спростіть кожну, виконавши зазначену операцію.
\(\sqrt{5}(\sqrt{6} - 4)\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{30} - 4\sqrt{5}\)
\((\sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{8})\)
- Відповідь
-
\(3\sqrt{10} + 3\sqrt{14}\)
\((3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{3} + \sqrt{8})\)
- Відповідь
-
\(8\sqrt{6} - 12\)
\(\dfrac{4 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{8}}\)
- Відповідь
-
\(12 + 8\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{10}\)
вправи
Для наступних завдань спростіть кожен вираз, виконавши зазначену операцію.
\(4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}\)
- Відповідь
-
\(2\sqrt{5}\)
\(10 \sqrt{2} + 8\sqrt{2}\)
\(-3\sqrt{6} - 12\sqrt{6}\)
- Відповідь
-
\(-15 \sqrt{6}\)
\(-\sqrt{10} - 2\sqrt{10}\)
\(3\sqrt{7x} + 2\sqrt{7x}\)
- Відповідь
-
\(5\sqrt{7x}\)
\(6\sqrt{3a} + \sqrt{3a}\)
\(2\sqrt{18} + 5\sqrt{32}\)
- Відповідь
-
\(26\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{27} - 3\sqrt{48}\)
\(\sqrt{200} - \sqrt{128}\)
- Відповідь
-
\(2\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{300} + 2\sqrt{500}\)
\(6\sqrt{40} + 8\sqrt{80}\)
- Відповідь
-
\(12\sqrt{10} + 32\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{120} - 5\sqrt{30}\)
\(8\sqrt{60} - 3\sqrt{15}\)
- Відповідь
-
\(13\sqrt{15}\)
\(\sqrt{a^3} - 3a\sqrt{a}\)
\(\sqrt{4x^3} + x\sqrt{x}\)
- Відповідь
-
\(3x\sqrt{x}\)
\(2b\sqrt{a^3b^5} + 6a\sqrt{ab^7}\)
\(5xy\sqrt{2xy^3} - 3y^2\sqrt{2x^3y}\)
- Відповідь
-
\(2xy^2\sqrt{2xy}\)
\(5\sqrt{20} + 3\sqrt{45} - 3\sqrt{40}\)
\(\sqrt{24} - 2\sqrt{54} - 4\sqrt{12}\)
- Відповідь
-
\(-4\sqrt{6} - 8\sqrt{3}\)
\(6\sqrt{18} + 5\sqrt{32} + 4\sqrt{50}\)
\(-8\sqrt{20} - 9\sqrt{125} + 10\sqrt{180}\)
- Відповідь
-
\(-\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{27} + 4\sqrt{3} - 6\sqrt{12}\)
\(\sqrt{14} + 2\sqrt{56} - 3\sqrt{136}\)
- Відповідь
-
\(5\sqrt{14} - 6\sqrt{34}\)
\(3\sqrt{2} + 2\sqrt{63} + 5\sqrt{7}\)
\(4ax\sqrt{3x} + 2\sqrt{3a^2x^3} + 7\sqrt{3a^2x^3}\)
- Відповідь
-
\(13ax\sqrt{3x}\)
\(3by\sqrt{5y} + 4\sqrt{5b^2y^3} - 2\sqrt{5b^2y^3}\)
\(\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{6} + \sqrt{2}\)
\(\sqrt{3}(\sqrt{5} - 3)\)
\(\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{15} - \sqrt{10}\)
\(\sqrt{7}(\sqrt{6} - \sqrt{3})\)
\(\sqrt{8}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\)
- Відповідь
-
\(2(\sqrt{6} + 2)\)
\(\sqrt{10}(\sqrt{10} - \sqrt{5})\)
\((1 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})\)
- Відповідь
-
\(-1 + \sqrt{3}\)
\((5 + \sqrt{6})(4 - \sqrt{6})\)
\((3 - \sqrt{2})(4 - \sqrt{2})\)
- Відповідь
-
\(7(2 - \sqrt{2})\)
\((5 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})\)
\((\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + 3\sqrt{5})\)
- Відповідь
-
\(17 + 4\sqrt{10}\)
\((2\sqrt{6} - \sqrt{3})(3\sqrt{6} + 2\sqrt{3})\)
\((4\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{5} + \sqrt{3})\)
- Відповідь
-
\(54 - 2\sqrt{15}\)
\((3\sqrt{8} - 2\sqrt{2})(4\sqrt{2} - 5\sqrt{8})\)
\((\sqrt{12} + 5\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 2\sqrt{12})\)
- Відповідь
-
\(-42\)
\((1 + \sqrt{3})^2\)
\((3 + \sqrt{5})^2\)
- Відповідь
-
\(14 + 6\sqrt{5}\)
\((2 - \sqrt{6})^2\)
\((2 - \sqrt{7})^2\)
- Відповідь
-
\(11 - 4\sqrt{7}\)
\((1 + \sqrt{3x})^2\)
\((2 + \sqrt{5x})^2\)
- Відповідь
-
\(4 + 4\sqrt{5x} + 5x\)
\((3 - \sqrt{3x})^2\)
\((8 - \sqrt{6b})^2\)
- Відповідь
-
\(64 - 16\sqrt{6b} + 6b\)
\((2a + \sqrt{5a})^2\)
\((3y - \sqrt{7y})^2\)
- Відповідь
-
\(9y^2 - 6y\sqrt{7y} + 7y\)
\((3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})\)
\((2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})\)
- Відповідь
-
\(-1\)
\((8 + \sqrt{10})(8 - \sqrt{10})\)
\((6 + \sqrt{7})(6 - \sqrt{7})\)
- Відповідь
-
\(29\)
\((\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}\)
\((\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})\)
- Відповідь
-
\(3\)
\((\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})\)
\((\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})\)
- Відповідь
-
\(x - y\)
\(\dfrac{2}{5 + \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{4}{6 + \sqrt{2}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2(6 - \sqrt{2})}{17}\)
\(\dfrac{1}{3 - \sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{4 - \sqrt{3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4 + \sqrt{3}}{13}\)
\(\dfrac{8}{2 - \sqrt{6}}\)
\(\dfrac{2}{3 - \sqrt{7}}\)
- Відповідь
-
\(3 + \sqrt{7}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{3 + \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{6 + \sqrt{6}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{10}\)
\(\dfrac{2 - \sqrt{8}}{2 + \sqrt{8}}\)
\(\dfrac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{21 + 8\sqrt{5}}{11}\)
\(\dfrac{1 + \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}}\)
\(\dfrac{8 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{18}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-16 + 2\sqrt{3} + 24\sqrt{2} - 3\sqrt{6}}{14}\)
\(\dfrac{6 - \sqrt{2}}{4 + \sqrt{12}}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\)
- Відповідь
-
\(5 - 2\sqrt{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{6a} - \sqrt{8a}}{\sqrt{8a} + \sqrt{6a}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2b} - \sqrt{3b}}{\sqrt{3b} + \sqrt{2b}}\)
- Відповідь
-
\(2\sqrt{6} - 5\)
Вправи для огляду
Спростити\((\dfrac{x^5y^3}{x^2y})^5\)
Спростити\((8x^3y)^2(x^2y^3)^4\)
- Відповідь
-
\(64x^{14}y^{14}\)
Пишіть\((x-1)^4(x-1)^{-7}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.
Спростити\(\sqrt{27x^5y^{10}z^3}\)
- Відповідь
-
\(3x^2y^5z\sqrt{3xz}\)
Спростити\(\dfrac{1}{2 + \sqrt{x}}\) шляхом раціоналізації знаменника.