9.5: Розподіл квадратних кореневих виразів
- Page ID
- 58597
Властивість поділу квадратних коренів
У нашій роботі зі спрощенням виразів квадратного кореня ми відзначили, що
\[\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \nonumber\]
Оскільки це рівняння, ми можемо записати його як:
\[\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\dfrac{x}{y}} \nonumber\]
Для поділу двох квадратних кореневих виразів використовуємо властивість ділення квадратних коренів:
\[\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\dfrac{x}{y}}\]
Коефіцієнт квадратного кореня - квадратний корінь частки.
Раціоналізація знаменника
Як ми бачимо, спостерігаючи праву частину рівняння, що регулює поділ квадратних коренів, процес може призвести до дробу в радиканді. Це означає, звичайно, що вираз квадратного кореня не в спрощеному вигляді. Іноді корисніше раціоналізувати знаменник квадратного кореневого виразу перед фактичним виконанням ділення.
Набір зразків A
Спростіть вирази квадратного кореня.
\[\sqrt{\dfrac{3}{7}} \nonumber\]
Це радикальний вираз не в спрощеному вигляді, так як під знаком радикального є дріб. Усунути цю проблему можна за допомогою властивості поділу квадратних коренів.
\[\sqrt{\dfrac{3}{7}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7} = \dfrac{\sqrt{21}}{7} \nonumber\]
\(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)
Безпосереднє застосування правила виробляє\(\sqrt{\dfrac{5}{3}}\), яке необхідно спростити. Давайте раціоналізуємо знаменник перед тим, як виконати поділ.
\(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{21}{7}} = \sqrt{3}\)
Правило швидко виробляє частку. Ми також могли б спочатку раціоналізувати знаменник і отримати той самий результат.
\(\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21 \cdot 7}}{7}=\dfrac{\sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7}}{7}=\dfrac{\sqrt{3 \cdot 7^{2}}}{7}=\dfrac{7 \sqrt{3}}{7}=\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{80 x^{9}}}{\sqrt{5 x^{4}}}=\sqrt{\dfrac{80 x^{9}}{5 x^{4}}}=\sqrt{16 x^{5}}=\sqrt{16} \sqrt{x^{4} x}=4 x^{2} \sqrt{x}\)
\(\dfrac{\sqrt{50 a^{3} b^{7}}}{\sqrt{5 a b^{5}}}=\sqrt{\dfrac{50 a^{3} b^{7}}{5 a b^{5}}}=\sqrt{10 a^{2} b^{2}}=a b \sqrt{10}\)
\(\dfrac{\sqrt{5a}}{\sqrt{b}}\)
Деякі спостереження показують, що прямий поділ радикандів дасть дріб. Це говорить про те, що спочатку ми раціоналізуємо знаменник.
\(\dfrac{\sqrt{5a}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{5a}}{\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{5a} \sqrt{b}}{b} = \dfrac{\sqrt{5ab}}{b}\)
\(\dfrac{\sqrt{m-6}}{\sqrt{m+2}} = \dfrac{\sqrt{m-6}}{\sqrt{m+2}} \cdot \dfrac{\sqrt{m+2}}{\sqrt{m+2}} = \dfrac{\sqrt{m^2 - 4m - 12}}{m + 2}\)
\(\dfrac{\sqrt{y^{2}-y-12}}{\sqrt{y+3}}=\sqrt{\dfrac{y^{2}-y-12}{y+3}}=\sqrt{\dfrac{(y+3)(y-4)}{(y+3)}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{(y+3)}(y-4)}{\cancel{(y+3)}}}=\sqrt{y-4}\)
Практика Set A
Спростіть вирази квадратного кореня.
\(\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{13}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{21}}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{80m^5n^8}}{\sqrt{5m^2n}}\)
- Відповідь
-
\(4mn^3 \sqrt{mn}\)
\(\dfrac{\sqrt{196(x+7)^8}}{\sqrt{2(x+7)^3}}\)
- Відповідь
-
\(7(x+7)^2 \sqrt{2(x+7)}\)
\(\dfrac{\sqrt{n+4}}{\sqrt{n-5}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{n^2 - n - 20}}{n-5}\)
\(\dfrac{\sqrt{a^2 - 6a + 8}}{\sqrt{a-2}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{a-4}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^{2n}}}{\sqrt{x^n}}\)
- Відповідь
-
\(x^n\)
\(\dfrac{\sqrt{a^{3m-5}}}{\sqrt{a^{m-1}}}\)
- Відповідь
-
\(a^{m-2}\)
Сполучення та раціоналізація знаменника
Щоб виконати поділ, який містить біноміал у знаменнику, наприклад\(\dfrac{3}{4 + \sqrt{6}}\), множимо чисельник і знаменник на сполучений знаменник.
Сполучений біном\(a + b\) є\(a-b\). Аналогічно, сполучений з\(a-b\) є\(a + b\).
Зверніть увагу, що коли сполучення\(a + b\) і\(a - b\) множаться разом, вони дають різницю в два квадрати.
\((a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)
Цей принцип допомагає нам усунути квадратні кореневі радикали, як показано на цих прикладах, які ілюструють вироблення кон'югатів.
\ (\ почати {масив} {флешліфт}
(5 +\ sqrt {2}) (5 -\ sqrt {2}) &= 5^2 - (\ sqrt {2}) ^2\
&= 25 - 2\\
&= 23
\ кінець {масив}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
(\ sqrt {6} -\ sqrt {7}) (\ sqrt {6} +\ sqrt {7}) &= (\ sqrt {6}) ^2 - (\ sqrt {7}) ^2\
&= 6 - 7\\
&= -1
\ кінець {масив}\)
Набір зразків B
Спростіть наступні вирази.
\(\dfrac{3}{4 + \sqrt{6}}\)
Сполучений знаменник - це\(4 - \sqrt{6}\). Множимо дріб на\(1\) у вигляді\(\dfrac{4 - \sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ dfrac {3} {4 +\ sqrt {6}}\ cdot\ dfrac {4 -\ sqrt {6}} {4 -\ sqrt {6}} {4 -\ sqrt {6})} {4^2 - (\ sqrt {6}) ^2} ^2} ^2 - ^2} ^2} ^2
=\ dfrac {12 - 3\ sqrt {6}} {16 - 6}\\
&=\ dfrac {12 - 3\ sqrt {6}} {10}
\ кінець {масив}\)
\(\dfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{3} - \sqrt{5x}}\)
Сполучений знаменник - це\(\sqrt{3} + \sqrt{5x}\). Помножте дріб на\(1\) у вигляді\(\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5x}}{\sqrt{3} + \sqrt{5x}}\).
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ dfrac {\ sqrt {2 x}} {\ sqrt {3} -\ sqrt {5 x}}\ cdot\ dfrac {3} +\ sqrt {5 x}} {\ sqrt {3} +\ sqrt {5 x}} &=\ dfrac {\ sqrt {2 x} (\ sqrt {3} +\ sqrt {5 x})} {(\ sqrt {3}) ^ {2} - (\ sqrt {5 x}) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2 x}\ sqrt {2 x}} {3-5 х}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6 х} +\ sqrt {10 x^ {2}}} {3-5 х}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6 х} +х\ sqrt {10}} {3-5 х}
\ кінець {масив}\)
Практика Set B
Спростіть наступні вирази.
\(\dfrac{5}{9 + \sqrt{7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{45 - 5\sqrt{7}}{74}\)
\(\dfrac{-2}{1 - \sqrt{3x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-2 - 2\sqrt{3x}}{1 - 3x}\)
\(\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3x} + \sqrt{2x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2\sqrt{6x} - 4\sqrt{x}}{x}\)
\(\dfrac{\sqrt{2m}}{m - \sqrt{3m}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{2m} + \sqrt{6}}{m - 3}\)
Вправи
Для наступних завдань спростіть кожен вираз.
\(\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{2}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{14}\)
\(\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{10}}\)
\(\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\)
- Відповідь
-
\(2\)
\(\dfrac{\sqrt{96}}{\sqrt{24}}\)
\(\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}\)
- Відповідь
-
\(6\)
\(\dfrac{\sqrt{336}}{\sqrt{21}}\)
\(\dfrac{\sqrt{162}}{\sqrt{18}}\)
- Відповідь
-
\(3\)
\(\sqrt{\dfrac{25}{9}}\)
\(\sqrt{\dfrac{36}{35}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{6\sqrt{35}}{35}\)
\(\sqrt{\dfrac{225}{16}}\)
\(\sqrt{\dfrac{49}{225}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{7}{15}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{2}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{11}{25}}\)
\(\sqrt{\dfrac{15}{36}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{16}}\)
\(\sqrt{\dfrac{7}{25}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{7}}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{32}{49}}\)
\(\sqrt{\dfrac{50}{81}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{5 \sqrt{2}}{9}\)
\(\dfrac{\sqrt{125x^5}}{\sqrt{5x^3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{72m^7}}{\sqrt{2m^3}}\)
- Відповідь
-
\(6m^2\)
\(\dfrac{\sqrt{162a^{11}}}{\sqrt{2a^5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{75y^{10}}}{\sqrt{2a^5}}\)
- Відповідь
-
\(5y^3\)
\(\dfrac{\sqrt{48x^9}}{\sqrt{3x^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{125a^{14}}}{\sqrt{5a^5}}\)
- Відповідь
-
\(5a^4 \sqrt{a}\)
\(\dfrac{\sqrt{27a^{10}}}{\sqrt{3a^5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{108x^{21}}}{\sqrt{3x^4}}\)
- Відповідь
-
\(6x^8 \sqrt{x}\)
\(\dfrac{\sqrt{48x^6y^7}}{\sqrt{3xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{45a^3b^8c^2}}{\sqrt{5ab^2c}}\)
- Відповідь
-
\(3ab^3 \sqrt{c}\)
\(\dfrac{\sqrt{66m^{12}n^{15}}}{\sqrt{11mn^8}}\)
\(\dfrac{\sqrt{30p^5q^{14}}}{\sqrt{5q^7}}\)
- Відповідь
-
\(p^2q^3 \sqrt{6pq}\)
\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5x}}{\sqrt{2}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{10x}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2a^3b}}{\sqrt{14a}}\)
\(\dfrac{\sqrt{3m^4n^3}}{\sqrt{6mn^5}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{m \sqrt{2m}}{2n}\)
\(\dfrac{\sqrt{5(p-q)^6(r+s)^4}}{\sqrt{25(r+s)^3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{m(m-6)-m^2 + 6m}}{\sqrt{3m - 7}}\)
- Відповідь
-
\(0\)
\(\dfrac{\sqrt{r+1}}{\sqrt{r-1}}\)
\(\dfrac{\sqrt{s+3}}{\sqrt{s-3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{s^2-9}}{s-3}\)
\(\dfrac{\sqrt{a^2 + 3a + 2}}{\sqrt{a + 1}}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^2 - 10x + 24}}{\sqrt{x-4}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{x-6}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^2 - 2x - 8}}{\sqrt{x + 2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{\sqrt{x-3}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{x-1}\)
\(\dfrac{\sqrt{2x^2 - x - 1}}{\sqrt{x - 1}}\)
\(\dfrac{-5}{4 + \sqrt{5}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-20 + 5\sqrt{5}}{11}\)
\(\dfrac{1}{1 + \sqrt{x}}\)
\(\dfrac{2}{1 - \sqrt{a}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2(1 + \sqrt{a})}{1 - a}\)
\(\dfrac{-6}{\sqrt{5} - 1}\)
\(\dfrac{-6}{\sqrt{7} + 2}\)
- Відповідь
-
\(-2(\sqrt{7} - 2)\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{6} - \sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8} - \sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{12} - \sqrt{8}}\)
- Відповідь
-
\(3 + \sqrt{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{7x}}{2 - \sqrt{5x}}\)
\(\dfrac{\sqrt{6y}}{1 + \sqrt{3y}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{6y} - 3y\sqrt{2}}{1 - 3y}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{a - \sqrt{ab}}{a - b}\)
\(\dfrac{\sqrt{8^3b^5}}{4 - \sqrt{2ab}}\)
\(\dfrac{\sqrt{7x}}{\sqrt{5x} + \sqrt{x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{35} - \sqrt{7}}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{2y} - \sqrt{y}}\)
Вправи для рецензування
Спростити\(x^8y^7 \dfrac{x^4y^8}{x^3y^4}\)
- Відповідь
-
\(x^9y^{11}\)
Розв'яжіть складну нерівність\(-8 \le 7 - 5x \le -23\)
Побудувати графік\(y = \dfrac{2}{3}x - 4\)
- Відповідь
-
Символ\(\sqrt{x}\) представляє, який квадратний корінь числа\(x, x \ge 0\)?
Спростити\(\sqrt{a^2 + 8a + 16}\)
- Відповідь
-
\(a + 4\)