9.4: Множення виразів квадратного кореня
- Page ID
- 58612
Властивість продукту квадратних коренів
У нашій роботі зі спрощенням виразів квадратного кореня ми відзначили, що
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Оскільки це рівняння, ми можемо записати його як:
\(\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}\)
Для множення двох квадратних кореневих виразів ми використовуємо властивість добутку квадратних коренів.
\(\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}\)
Продукт квадратних коренів - квадратний корінь продукту
На практиці, як правило, простіше спростити вирази квадратного кореня перед фактичним виконанням множення. Щоб переконатися в цьому, розглянемо наступний продукт:
\(\sqrt{8} \sqrt{48}\)
Ми можемо розмножити ці квадратні корені будь-яким з двох способів:
\(\sqrt{4 \cdot 2} \sqrt{16 \cdot 3} = (2 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) = 2 \cdot 4 \sqrt{2 \cdot 3} = 8 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{48} = \sqrt{8 \cdot 48} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8 \sqrt{6}\)
Зверніть увагу, що у другому методі розширене термін (третій вираз\(\sqrt{384}\)) може бути важко перерахувати на ідеальний квадрат і якесь інше число.
Правило множення для виразів квадратного кореня
У попередньому прикладі передбачається наступне правило множення двох квадратних кореневих виразів.
- Спростіть кожний квадратний кореневий вираз, якщо це необхідно.
- Виконайте множення.
- Спростити, якщо це необхідно.
Набір зразків A
Знайдіть кожен з наведених нижче продуктів.
\(\sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\)
Цей продукт може бути простіше, якби ми спочатку помножити, а потім спростити.
\(\sqrt{8} \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{20} \sqrt{7} = \sqrt{4} \sqrt{5} \sqrt{7} = 2 \sqrt{5 \cdot 7} = 2 \sqrt{35}\)
\ (\ почати {масив} {флешліф}
\ sqrt {5a^3}\ sqrt {27a^5} = (a\ sqrt {5a}) (3a^2\ sqrt {3a}) &= 3a^3\ sqrt {15a^2}\\ &= 3a^3\ cdot a\ sqrt {15}\
&= 3a^3\ cdot a\ sqrt {15}\
&= 3a^3\ cdot 4\ sqrt {15}
\ кінець {масив}\)
\ (\ почати {масив} {флешлеф}
\ sqrt {(x+2) ^7}\ sqrt {x-1} =\ sqrt {(x+2) ^6 (x+2)}\ sqrt {x-2}\ sqrt {x-2}\ sqrt {x-1}\\
&= (x+2) ^3\ sqrt {(x+2)}\ sqrt {) (x-1)}\
\ текст {або} &= (x+2) ^3\ sqrt {x^2+ x - 2}
\ end {масив}\)
\ (\ почати {масив} {флешлеф}
\ sqrt {3} (7+\ sqrt {6}) =7\ sqrt {3} +\ sqrt {3}\ sqrt {6} &= 7\ sqrt {3} +\
sqrt {9\ cdot 2}\
&= 7\ sqrt {3} rt {3} +3\ sqrt {2}
\ кінець {масив}\)
\ (\ почати {масив} {флешлеф}
\ sqrt {6} (\ sqrt {2} -\ sqrt {10}) &=\ sqrt {6}\ sqrt {6}\ sqrt {10}\\ &=\ sqrt {12} -\ sqrt {60}\\
&=\ sqrt {4\ cdot 3} -\ sqrt {12} -\ sqrt {60}\\
&=\ sqrt {4\ cdot 3} -\ sqrt {12} rt {4\ cdot 15}\\
&= 2\ sqrt {3} - 2\ sqrt {15}
\ кінець {масив}\)
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ sqrt {45 a^ {6} b^ {3}}}\ лівий [\ sqrt {9 a b} -\ sqrt {5 (б-3) ^ {3} b\ sqrt {5 b} [3\ sqrt {a b} - (b-3)\ sqrt {5 (3)}]\\
&=9 a^ {3} b\ sqrt {5 a b^ {2}} -3 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {25 b (b-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -3 a^ {3} b (b-3) \ cdot 5\ sqrt {b (б-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -15 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {b (b-3)}
\ кінець {масив}\)
Практика Set A
Знайдіть кожен з наведених нижче продуктів.
\(\sqrt{5} \sqrt{6}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{30}\)
\(\sqrt{32} \sqrt{2}\)
- Відповідь
-
\(8\)
\(\sqrt{x+4} \sqrt{x+3}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{(x+4)(x+3)}\)
\(\sqrt{8m^5n} \sqrt{20m^2n}\)
- Відповідь
-
\(4m^3n \sqrt{10m}\)
\(\sqrt{9(k-6)^3} \sqrt{k^2 - 12k + 36}\)
- Відповідь
-
\(3(k-6)^2 \sqrt{k-6}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{5}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{6} + \sqrt{15}\)
\(\sqrt{2a} (\sqrt{5a} - \sqrt{8a^3})\)
- Відповідь
-
\(a \sqrt{10} - 4a^2\)
\(\sqrt{32m^5n^8} \sqrt{2mn^2} - \sqrt{n^7}\)
- Відповідь
-
\(8m^3n^2 \sqrt{n} - 8m^2n^5\sqrt{5m}\)
Вправи
\(\sqrt{2} \sqrt{10}\)
- Відповідь
-
\(2 \sqrt{5}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{15}\)
\(\sqrt{7} \sqrt{8}\)
- Відповідь
-
\(2 \sqrt{14}\)
\(\sqrt{20} \sqrt{3}\)
\(\sqrt{32} \sqrt{27}\)
- Відповідь
-
\(12 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{45} \sqrt{50}\)
\(\sqrt{5} \sqrt{5}\)
- Відповідь
-
\(5\)
\(\sqrt{7} \sqrt{7}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{8}\)
- Відповідь
-
\(8\)
\(\sqrt{15} \sqrt{15}\)
\(\sqrt{48} \sqrt{27}\)
- Відповідь
-
\(36\)
\(\sqrt{80} \sqrt{20}\)
\(\sqrt{5} \sqrt{m}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{5m}\)
\(\sqrt{7} \sqrt{a}\)
\(\sqrt{6} \sqrt{m}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{6m}\)
\(\sqrt{10} \sqrt{h}\)
\(\sqrt{20} \sqrt{a}\)
- Відповідь
-
\(2 \sqrt{5a}\)
\(\sqrt{48} \sqrt{x}\)
\(\sqrt{75} \sqrt{y}\)
- Відповідь
-
\(5 \sqrt{3y}\)
\(\sqrt{200} \sqrt{m}\)
\(\sqrt{a} \sqrt{a}\)
- Відповідь
-
\(a\)
\(\sqrt{x} \sqrt{x}\)
\(\sqrt{y} \sqrt{y}\)
- Відповідь
-
\(y\)
\(\sqrt{h} \sqrt{h}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{3}\)
- Відповідь
-
\(3\)
\(\sqrt{6} \sqrt{6}\)
\(\sqrt{k} \sqrt{k}\)
- Відповідь
-
\(k\)
\(\sqrt{m} \sqrt{m}\)
\(\sqrt{m^2} \sqrt{m}\)
- Відповідь
-
\(m \sqrt{m}\)
\(\sqrt{a^2} \sqrt{a}\)
\(\sqrt{x^3} \sqrt{x}\)
- Відповідь
-
\(x^2\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y}\)
\(\sqrt{y} \sqrt{y^4}\)
- Відповідь
-
\(y^2 \sqrt{y}\)
\(\sqrt{k} \sqrt{k^6}\)
\(\sqrt{a^3} \sqrt{a^5}\)
- Відповідь
-
\(a^4\)
\(\sqrt{x^3} \sqrt{x^7}\)
\(\sqrt{x^9} \sqrt{x^3}\)
- Відповідь
-
\(x^6\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y^4}\)
- Відповідь
-
\(y^3 \sqrt{y}\)
\(\sqrt{x^8} \sqrt{x^5}\)
\(\sqrt{x+2} \sqrt{x-3}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{(x+2)(x-3)}\)
\(\sqrt{a-6} \sqrt{a+1}\)
\(\sqrt{y+3} \sqrt{y - 2}\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{(y+3)(y-2)}\)
\(\sqrt{h+1} \sqrt{h-1}\)
\(\sqrt{x+9} \sqrt{(x+9)^2}\)
- Відповідь
-
\((x+9) \sqrt{x+9}\)
\(\sqrt{y-3} \sqrt{(y-3)^5}\)
\(\sqrt{3a^2} \sqrt{15a^3}\)
- Відповідь
-
\(3a^2 \sqrt{5a}\)
\(\sqrt{2m^4n^3} \sqrt{14m^5n}\)
\(\sqrt{12(p-q)^3} \sqrt{3(p-q)^5}\)
- Відповідь
-
\(6(p-q)^4\)
\(\sqrt{15a^2(b+4)^4} \sqrt{21a^3(b+4)^5}\)
\(\sqrt{125m^5n^4r^8} \sqrt{8m^6r}\)
- Відповідь
-
\(10m^5n^2r^4 \sqrt{10mr}\)
\(\sqrt{7(2k-1)^{11}(k+1)^3} \sqrt{14(2k-1)^{10}}\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y^5} \sqrt{y^2}\)
- Відповідь
-
\(y^5\)
\(\sqrt{x^6} \sqrt{x^2} \sqrt{x^9}\)
\(\sqrt{2a^4} \sqrt{5a^3} \sqrt{2a^7}\)
- Відповідь
-
\(2a^7 \sqrt{5}\)
\(\sqrt{x^n} \sqrt{x^n}\)
\(\sqrt{y^2n} \sqrt{y^4n}\)
- Відповідь
-
\(y^{3n}\)
\(\sqrt{a^{2n + 5}} \sqrt{a^3}\)
\(\sqrt{2m^{3n + 1}} \sqrt{10m^{n + 3}}\)
- Відповідь
-
\(2m^{2n + 2} \sqrt{5}\)
\(\sqrt{75(a-2)^7} \sqrt{48a - 96}\)
\(\sqrt{2} (\sqrt{8} + \sqrt{6})\)
- Відповідь
-
\(2(2 + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{7})\)
\(\sqrt{3} (\sqrt{x} + \sqrt{2})\)
- Відповідь
-
\(\sqrt{3x} + \sqrt{6}\)
\(\sqrt{11}(\sqrt{y} + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{8}(\sqrt{a} - \sqrt{3a})\)
- Відповідь
-
\(2\sqrt{2a} - 2\sqrt{6a}\)
\(\sqrt{x}(\sqrt{x^3} - \sqrt{2x^4})\)
\(\sqrt{y}(\sqrt{y^5} \sqrt{3y^3})\)
- Відповідь
-
\(9y^2(y + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{8a^5}(\sqrt{2a} - \sqrt{6a^{11}})\)
\(\sqrt{12m^3} (\sqrt{6m^7} - \sqrt{3m})\)
- Відповідь
-
\(6m^2 (m^3 \sqrt{2} - 1)\)
\(\sqrt{5x^4y^3} (\sqrt{8xy} - 5\sqrt{7x})\)
Вправи для огляду
Фактор\(a^4y^4 - 25w^2\)
- Відповідь
-
\((a^2y^2 + 5w)(a^2y^2 - 5w)\)
Знайти нахил лінії, яка проходить через точки\((-5, 4)\) і\((-3, 4)\)
Виконайте зазначені операції:
\(\dfrac{15 x^{2}-20 x}{6 x^{2}+x-12} \cdot \dfrac{8 x+12}{x^{2}-2 x-15} \div \dfrac{5 x^{2}+15 x}{x^{2}-25}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4(x+5)}{(x+3)^2}\)
Спростити\(\sqrt{x^4y^2z^6}\), видаливши радикальний знак
Спростити\(\sqrt{12x^3y^5z^8}\)
- Відповідь
-
\(2xy^2z^4 \sqrt{3xy}\)