9.3: Спрощення виразів квадратного кореня
- Page ID
- 58608
Щоб почати наше вивчення процесу спрощення вираження квадратного кореня, треба відзначити три факти: один факт щодо ідеальних квадратів і два щодо властивостей квадратних коренів.
Ідеальні квадрати
Числа Rea, які є квадратами раціональних чисел, називаються досконалими квадратами. Числа\(25\) і\(\dfrac{1}{4}\) є прикладами досконалих квадратів, оскільки\(25 = 5^2\) і\(\dfrac{1}{4} = (\dfrac{1}{2})^2\),\(5\) і\(\dfrac{1}{2}\) є раціональними числами. Число не\(2\) є ідеальним квадратом, оскільки\(2 = (\sqrt{2})^2\) і не\(\sqrt{2}\) є раціональним числом.
Хоча докладно вивчати ірраціональні числа ми не будемо, зробимо наступне спостереження:
Будь-який вказаний квадратний корінь, радик якого не є ідеальним квадратним числом, є ірраціональним числом.
Числа\(\sqrt{6}, \sqrt{15}\) і\(\sqrt{\dfrac{3}{4}}\) кожен ірраціональний, оскільки кожен радиканд не\(6, 15, \dfrac{3}{4}\) є ідеальним квадратом.
Властивість продукту квадратних коренів
Зауважте, що
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ sqrt {9\ cdot 4} &=\ sqrt {36} &= 6 &\ текст {і}\
\ sqrt {9}\ sqrt {4} &= 3\ cdot 2 &= 6
\ кінець {масив}\)
Властивість продукту\(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Це говорить про те, що в цілому, якщо\(x\) і\(y\) є позитивними дійсними числами,
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Квадратний корінь продукту є продуктом квадратних коренів.
Коефіцієнтна властивість квадратних коренів
Ми можемо запропонувати аналогічне правило для коефіцієнтів. Зауважте, що
\(\sqrt{\dfrac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3\)і
\(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Оскільки обидва\(\dfrac{36}{4}\) і\(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\) рівні\(3\), це повинно бути так
\(\sqrt{\dfrac{36}{4}} = \dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\)
Це говорить про те, що в цілому, якщо\(x\) і\(y\) є позитивними дійсними числами,
\(\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}, y \not = 0\).
Квадратний корінь частки є часткою квадратних коренів.
Вкрай важливо пам'ятати, що
\(\sqrt{x + y} \not = \sqrt{x} + \sqrt{y}\)або\(\sqrt{x - y} \not = \sqrt{x} - \sqrt{y}\)
Наприклад, зверніть увагу\(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\), що, але\(\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7\)
Вивчимо процес спрощення вираження квадратного кореня шляхом розмежування двох типів квадратних коренів: квадратних коренів, що не містять фракції, і квадратних коренів за участю фракції.
Квадратні корені, що не включають дроби
Квадратний корінь, який не передбачає дробів, знаходиться в спрощеному вигляді, якщо в радиканді немає ідеального квадрата.
\(\sqrt{x},. \sqrt{ab}, \sqrt{5mn}, \sqrt{2(a+5)}\)Квадратні коріння мають спрощену форму, оскільки жоден з радикандів не містить ідеального квадрата.
\(\sqrt{x^2}, \sqrt{a^3}=\sqrt{a^2a}\)Квадратні коріння не в спрощеному вигляді, так як кожна радикаі містить ідеальний квадрат.
Щоб спростити вираз квадратного кореня, який не включає дріб, ми можемо використовувати наступні два правила:
- Якщо множник радиканда містить змінну з парним показником, то квадратний корінь отримують діленням показника на 2.
- Якщо множник радиканда містить змінну з непарним показником, то квадратний корінь отримують спочатку факторингом змінного множника на два множники таким чином, щоб один мав парну експоненту, а інший - показник 1, потім використовуючи властивість добутку квадратних коренів.
Набір зразків A
Спростити кожен квадратний корінь.
\(\sqrt{a^4}\). Показник парний:\(\dfrac{4}{2} = 2\). Показник на квадратному корені дорівнює\(2\).
\(\sqrt{a^4} = a^2\)
\(\sqrt{a^6b^{10}}\). Обидва експоненти парні:\(\dfrac{6}{2} = 3\) і\(\dfrac{10}{2} = 5\). Показник на квадратному корені\(a^6\) is\(3\). Показник на квадратному корені, якщо\(b^{10}\) є\(5\).
\(\sqrt{a^6gb^{10}} = a^3b^5\)
\(\sqrt{y^5}\). Показник непарний:\(y^5 = y^4y\). The
\(\sqrt{y^5} = \sqrt{y^4y} = \sqrt{y^4} \sqrt{y} = y^2 \sqrt{y}\)
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
\ sqrt {36a^7b^ {11} c^ {20}} &=\ sqrt {6^2a^6ab^ {10} bc^ {20}} & a^7 = a^6a, b^ {11} = b^ {10} b\\
&=\ sqrt {6^2a^6b ^ {} c^ {20}\ cdot ab} &\ text {за комутативною властивістю множення}\\
&=\ sqrt {6^2a^6b^ {10} c^ {20}}\ sqrt { ab} &\ text {за властивістю добутку квадратних коренів}\\
&= 6a^3b^5c^ {10}\ sqrt {ab}
\ end {масив}\)
\ (\ почати {масив} {змивання}
\ sqrt {49x^8y^3 (а-1) ^6} &=\ sqrt {7^2x^8y^2y (а-1) ^6}\\
&=\ sqrt {7^2x^8y^2 (а-1) ^6}\ sqrt {y}\\
&= 7x^4y (a-1) ^3\ sqrt {y}
\ кінець {масив}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3}= \sqrt{5^2} \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}\)
Практика Set A
Спростити кожен квадратний корінь.
\(\sqrt{m^8}\)
- Відповідь
-
\(m^4\)
\(\sqrt{h^{14}k^{22}}\)
- Відповідь
-
\(h^7k^{11}\)
\(\sqrt{81a^{12}b^6c^{38}}\)
- Відповідь
-
\(9a^6b^3c^{19}\)
\(\sqrt{144x^4y^{80}(b+5)^{16}}\)
- Відповідь
-
\(12x^2y^{40}(b+5)^8\)
\(\sqrt{w^5}\)
- Відповідь
-
\(w^2 \sqrt{w}\)
\(\sqrt{w^7z^3k^{13}}\)
- Відповідь
-
\(w^3zk^6 \sqrt{wzk}\)
\(\sqrt{27a^3b^4c^5d^6}\)
- Відповідь
-
\(3ab^2c^2d^3 \sqrt{3ac}\)
\(\sqrt{180m^4n^{15}9a-12)^{15}}\)
- Відповідь
-
\(6m^2n^7(a-12)^7 \sqrt{5n(a-12)}\)
Квадратні корені за участю дроб
Вираз квадратного кореня знаходиться в спрощеному вигляді, якщо є
- немає ідеальних квадратів в радиканді,
- немає дробів в радиканді, або
- немає квадратних кореневих виразів у знаменнику.
Вирази квадратного кореня\(\sqrt{5a}, \dfrac{4\sqrt{3xy}}{5}\), і\(\dfrac{11m^2n \sqrt{a-4}}{2x^2}\) знаходяться в спрощеному вигляді
Вирази квадратного кореня\(\sqrt{\dfrac{3x}{8}}, \sqrt{\dfrac{4a^4b^3}{5}}\), а\(\dfrac{2y}{\sqrt{3x}}\) не в спрощеному вигляді.
Щоб спростити вираз квадратного кореня\(\sqrt{\dfrac{x}{y}}\),
- Напишіть вираз, як\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\) за допомогою правила\(\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\).
- Помножте дріб на 1 у вигляді\(\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\).
- Спростити решту фракції,\(\dfrac{\sqrt{xy}}{y}\).
Раціоналізація знаменника
Процес, який бере участь у кроці 2, називається раціоналізацією знаменника. Цей процес видаляє квадратні кореневі вирази з знаменника, використовуючи той факт, що\((\sqrt{y})(\sqrt{y}) = y\).
Набір зразків B
Спростити кожен квадратний корінь.
\(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \dfrac{3}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{8}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{3 \sqrt{8}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{4 \cdot 2}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{4} \sqrt{2}}{8}=\dfrac{3 \cdot 2 \sqrt{2}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{k^{2}}{m^{3}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2}}}{\sqrt{m^{3}}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{3}}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{2} m}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{2} \sqrt{m}}}=\dfrac{k}{m \sqrt{m}}=\dfrac{k}{m \sqrt{m}} \cdot \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m \sqrt{m} \sqrt{m}}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m \cdot m}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m^{2}}\)
\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ sqrt {x^2 - 8x + 16} &=\ sqrt {(x-4) ^2}\\
&= x-4
\ end {масив}\)
Практика Set B
Спростити кожен квадратний корінь.
\(\sqrt{\dfrac{81}{25}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{9}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{5}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{10}{4}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{4}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{a^3}{6}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{a \sqrt{6a}}{6}\)
\(\sqrt{\dfrac{y^4}{x^3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{y^2 \sqrt{x}}{x^2}\)
\(\sqrt{\dfrac{32a^5}{b^7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4a^2 \sqrt{2ab}}{b^4}\)
\(\sqrt{(x+9)^2}\)
- Відповідь
-
\(x+9\)
\(\sqrt{x^2 + 14x + 49}\)
- Відповідь
-
\(x+7\)
Вправи
Для наступних завдань спростіть кожне з радикальних виразів.
\(\sqrt{8b^2}\)
- Відповідь
-
\(2b \sqrt{2}\)
\(\sqrt{20a^2}\)
\(\sqrt{24x^4}\)
- Відповідь
-
\(2x^2 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{27y^6}\)
\(\sqrt{a^5}\)
- Відповідь
-
\(a^2\sqrt{a}\)
\(\sqrt{m^7}\)
\(\sqrt{x^{11}}\)
- Відповідь
-
\(x^5 \sqrt{x}\)
\(\sqrt{y^{17}}\)
\(\sqrt{36n^9}\)
- Відповідь
-
\(6n^4 \sqrt{n}\)
\(\sqrt{49x^{13}}\)
\(\sqrt{100x^5y^{11}}\)
- Відповідь
-
\(10x^2y^5 \sqrt{xy}\)
\(\sqrt{64a^7b^3}\)
\(5 \sqrt{16m^6n^7}\)
- Відповідь
-
\(20m^3n^3 \sqrt{n}\)
\(8 \sqrt{9a^4b^{11}}\)
\(3 \sqrt{16x^3}\)
- Відповідь
-
\(12x \sqrt{x}\)
\(8 \sqrt{25y^3}\)
\(\sqrt{12a^4}\)
- Відповідь
-
\(2a^2 \sqrt{3}\)
\(\sqrt{32x^7}\)
- Відповідь
-
\(4x^3 \sqrt{2x}\)
\(\sqrt{12y^{13}}\)
\(\sqrt{50a^3b^9}\)
- Відповідь
-
\(5ab^4 \sqrt{2ab}\)
\(\sqrt{48p^{11}q^5}\)
\(4 \sqrt{18a^5b^{17}}\)
- Відповідь
-
\(12a^2b^8 \sqrt{2ab}\)
\(8 \sqrt{108x^{21}y^3}\)
\(-4 \sqrt{75a^4b^6}\)
- Відповідь
-
\(-20a^2b^3 \sqrt{3}\)
\(-6 \sqrt{72x^2y^4z^{10}}\)
\(-\sqrt{b^{12}}\)
- Відповідь
-
\(-b^6\)
\(- \sqrt{c^{18}}\)
\(\sqrt{a^2b^2c^2}\)
- Відповідь
-
\(abc\)
\(\sqrt{4x^2y^2z^2}\)
\(- \sqrt{9a^2b^3}\)
- Відповідь
-
\(-3ab \sqrt{b}\)
\(- \sqrt{16x^4y^5}\)
\(\sqrt{m^6n^8p^{12}q^{20}}\)
- Відповідь
-
\(m^3n^4p^6q^{10}\)
\(\sqrt{r^2}\)
\(\sqrt{p^2}\)
- Відповідь
-
\(p\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{16}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{25}}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{49}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{7}\)
\(\dfrac{5 \sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{2 \sqrt{32}}{\sqrt{3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{8 \sqrt{6}}{3}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{10}}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\)
\(-\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)
\(-\sqrt{\dfrac{3}{10}}\)
- Відповідь
-
\(-\dfrac{\sqrt{30}}{10}\)
\(\sqrt{\dfrac{16a^2}{5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{24a^5}{7}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2a^2 \sqrt{42a}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{72x^2y^3}{5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{a}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{2a}}{a}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{b}}\)
\(\sqrt{\dfrac{6}{x^3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{\sqrt{6x}}{x^2}\)
\(\sqrt{\dfrac{12}{y^5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{49x^2y^5z^9}{25a^3b^{11}}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{7 x y^{2} z^{4} \sqrt{a b y z}}{5 a^{2} b^{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{27 x^{6} y^{15}}{3^{3} x^{3} y^{5}}}\)
\(\sqrt{(b+2)^4}\)
- Відповідь
-
\((b+2)^2\)
\(\sqrt{(a-7)^8}\)
\(\sqrt{(x+2)^6}\)
- Відповідь
-
\((x+2)^3\)
\(\sqrt{(x+2)^2(x+1)^2}\)
\(\sqrt{(a-3)^4(a-1)^2}\)
- Відповідь
-
\((a-3)^2(a-1)\)
\(\sqrt{(b+7)^8(b-7)^6}\)
\(\sqrt{a^2 - 10a + 25}\)
- Відповідь
-
\((a-5)\)
\(\sqrt{b^2 + 6b + 9}\)
\(\sqrt{(a^2 - 2a + 1)^4}\)
- Відповідь
-
\((a-1)^4\)
\(\sqrt{(x^2 + 2x + 1)^{12}}\)
Вправи для огляду
Вирішити нерівність\(3(a + 2) \le 2(3a + 4)\)
- Відповідь
-
\(a \ge -\dfrac{2}{3}\)
Графік нерівності\(6x \le 5(x+1) - 6\)
Поставити відсутні слова. При погляді на графік зліва направо лінії з _______ нахилом піднімаються, а лінії з __________ нахилом падають.
- Відповідь
-
позитивний; негативний
Спростити складний дріб:\(\dfrac{5+\frac{1}{x}}{5-\frac{1}{x}}\)
Спростити\(\sqrt{121x^4w^6z^8}\), видаливши радикальний знак.
- Відповідь
-
\(11x^2w^3z^4\)