8.5: Побудова раціональних виразів та РК-дисплея
- Page ID
- 58535
Процес
Нагадаємо, з розділу 8.2 властивість рівності дробів.
Властивість рівності дробів
Якщо\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), то\(ad = bc\).
Використовуючи те\(1 = \dfrac{b}{b}, b \not = 0\), що і\(1\) є мультиплікативна ідентичність, випливає,\(\dfrac{P}{Q}\) що якщо раціональне вираження, то
\(\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{b}{b} = \dfrac{Pb}{Qb}, b \not = 0\)
Це рівняння стверджує, що раціональний вираз можна перетворити в еквівалентний раціональний вираз шляхом множення чисельника і знаменника на одне і те ж ненульове число.
Цей процес відомий як процес побудови раціональних виразів, і він прямо протилежний зменшенню раціональних виразів. Процес показаний на таких прикладах:
\(\dfrac{3}{4}\)можуть бути побудовані\(\dfrac{12}{16}\) так як:
\(\dfrac{3}{4} \cdot 1 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{4} = \dfrac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \dfrac{12}{16}\)
\(\dfrac{-4}{5}\)можуть бути побудовані з\(\dfrac{-8}{10}\) тих пір
\(\dfrac{-4}{5} \cdot 1 = \dfrac{-4}{5} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{-4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{-8}{10}\)
\(\dfrac{3}{7}\)можуть бути побудовані з\(\dfrac{3xy}{7xy}\) тих пір
\(\dfrac{3}{7} \cdot 1 = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{xy}{xy} = \dfrac{3xy}{7xy}\)
\(\dfrac{4a}{3b}\)можуть бути побудовані\(\dfrac{4a^2(a+1)}{3ab(a+1)}\) так як:
\(\dfrac{4a}{3b} \cdot 1 = \dfrac{4a}{3b} \cdot \dfrac{a(a + 1)}{a(a+1)} = \dfrac{4a^2(a + 1)}{3ab(a + 1)}\).
Припустимо, ми отримали раціональний вираз\(\dfrac{P}{Q}\) і хочемо побудувати його в раціональний вираз зі знаменником\(Qb^2\), тобто
\(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{?}{Qb^2}\)
Так як ми змінили знаменник, ми неодмінно повинні таким же чином змінити чисельник. Щоб визначити, як поміняти чисельник, нам потрібно знати, як був змінений знаменник. Оскільки один раціональний вираз вбудовується в інший еквівалентний вираз множенням на 1, перший знаменник повинен був бути помножений на деяку величину. Спостереження за
\(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{?}{Qb^2}\)
говорить нам, що\(Q\) було помножено на\(b^2\). Значить, ми повинні помножити чисельник\(P\) на\(b^2\). Таким чином
\(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{Pb^2}{Qb^2}\)
Досить часто просте порівняння початкового знаменника з новим знаменником підкаже нам використовуваний коефіцієнт. Однак будуть випадки, коли фактор незрозумілий простим спостереженням. Потрібен метод знаходження фактора.
Дотримуйтесь наступних прикладів; потім спробуйте спекулювати на методі.
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{20}\)
Початковий знаменник 4 множився на 5, щоб отримати 20. Який арифметичний процес дасть 5 за допомогою 4 і 20?
\(\dfrac{9}{10} = \dfrac{?}{10y}\)
Початковий знаменник 10 множився\(y\) на вихід\(10y\).
\(dfrac{-6xy}{2a^3b} = \dfrac{?}{16a^5b^3}\)
Початковий знаменник\(2a^3b\)\(8a^2b^2\) множився на\(16a^5b^3\)
\(\dfrac{5ax}{(a+1)^2} = \dfrac{?}{4(a+1)^2(a-2)}\)
Щоб визначити величину, на яку помножили початковий знаменник, щоб отримати новий знаменник, ми запитуємо: «На що я помножив початковий знаменник, щоб отримати новий знаменник?» Знаходимо цей коефіцієнт, розділивши початковий знаменник на новий знаменник.
Саме на цю величину ми помножимо чисельник для побудови раціонального виразу.
Набір зразків A
Визначте N в кожній з наступних задач.
\(\dfrac{8}{3} = \dfrac{N}{15}\)
Початковий знаменник є,\(3\) а новий знаменник -\(15\). Розділіть початковий знаменник на новий знаменник і помножте чисельник\(8\) на цей результат. \(15÷3=5\)Потім,\(8 \cdot 5=40\). Отже,
\(\dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{15}\)і\(N = 40\).
Перевірка шляхом зменшення\(\dfrac{40}{15}\)
\(\dfrac{2x}{5b^2y} = \dfrac{N}{20b^5y^4}\)
Початковий знаменник є,\(5b^2y\) а новий знаменник -\(20b^5y^4\). Розділіть початковий знаменник на новий знаменник і помножте чисельник\(2x\) на цей результат.
\(\dfrac{20b^5y^4}{5b^2y} = 4b^3y^3\)
Отже,\(2x \cdot 4b^3y^3 = 8b^3xy^3\). Таким чином,
\(\dfrac{2x}{5b^2y} = \dfrac{8b^3xy^3}{20b^5y^4}\)і\(N = 8b^3xy^3\).
\(\dfrac{-6a}{a+2} = \dfrac{N}{(a+2)(a-7)}\)
Новий знаменник розділений на початковий знаменник
\(\dfrac{(a+2)(a-7)}{a+2} = a-7\)
Помножити\(-6a\) на\(a-7\).
\(-6a(a-7) = -6a^2 + 42a\)
\(\dfrac{-6a}{a+2} = \dfrac{-6a^2 + 42a}{(a+2)(a-7)}\)і\(N = -6a^2 + 42a\)
\(\dfrac{-3(a-1)}{a-4} = \dfrac{N}{a^2 - 16}\).
Новий знаменник розділений на початковий знаменник
\(\dfrac{a^2-16}{a-4} = \dfrac{(a+4)\cancel{(a-4)}}{\cancel{a-4}}\)
Помножити\(-3(a-1)\) на\(a + 4\)
\(-3(a-1)(a+4) = -3(a^2 + 3a - 4)\)
\( = -3a^2 - 9a + 12\)
\(\dfrac{-3(a-1)}{a-4} = \dfrac{-3a^2 - 9a + 12}{a^2 - 16}\)і\(N = -3a^2 - 9a + 12\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
7x&=\ dfrac {N} {x^2y^3} &\ текст {Написати} 7x\ текст {як}
\ dfrac {7x} {1} &=\ dfrac {N} {x^2y^3} &\ text {Тепер ми можемо чітко бачити що початковий знаменник}\\
&& 1\ text {множився на} x^2y^3. \ text {Нам потрібно помножити}\\
&&\ текст {чисельник} 7x\ текст {на} x^2y^3\\
7x&=\ dfrac {7x\ cdot x^2y^3} {x^2y^3}
\ end {масив}\)
\(7x = \dfrac{7x^3y^3}{x^2y^3} \text{ and } N = 7x^3y^3\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {5x} {x+3} &=\ dfrac {5x^2-20x} {N} &\ text {Той самий процес працює в цьому випадку. Розділіть оригінал}\\
&&\ текст {чисельник} 5x\ text {на новий чисельник} 5x ^ 2 - 20x
\\ dfrac {5x^2 - 20x} {5x} &=\ dfrac {\ cancel {5x}} {\ cancel {5x}}\\
&= x-4\
\ end {масив}\)
\((x+3)(x-4) \text{ Multiply the denominator by } x-4\)
\(\dfrac{5x}{x+3} = \dfrac{5x^2-20}{(x+3)(x-4)} \text{ and } N = 5x^2 - 20\)
\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {4x} {3-x} &=\ dfrac {N} {x-3} &\ text {Два знаменника мають майже однакові терміни; кожен має}\\
&&\ text {протилежний знак. Фактор} -1\ текст {від початкового знаменника}\\
3-x &= -1 (-3+x)\\
&=- (x-3)\
\ end {масив}\)
\(\dfrac{4x}{3-x} = \dfrac{4x}{-(x-3)} = \dfrac{-4x}{x-3} \text{ and } N = -4x\)
Важливо відзначити, що ми враховували\(−1\) від початкового знаменника. Ми не стали його множити на\(−1\). Якби ми помножили тільки знаменник на\(−1\) нам довелося б помножити чисельник на\(−1\) також.
Практика Set A
Визначити N.
\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{N}{48}\)
- Відповідь
-
\(N=18\)
\(\dfrac{9a}{5b} = \dfrac{N}{35b^2x^3}\)
- Відповідь
-
\(N = 63abx^3\)
\(\dfrac{-2y}{y-1} = \dfrac{N}{y^2 - 1}\)
- Відповідь
-
\(N = -2y^2 - 2y\)
\(\dfrac{a+7}{a-5} = \dfrac{N}{a^2 - 3a - 10}\)
- Відповідь
-
\(N = a^2 + 9a + 14\)
\(4a = \frac{N}{6a^3(a-1)}\)
- Відповідь
-
\(N = 24a^4(a-1)\)
\(-2x = \dfrac{N}{8x^3y^3z^5}\)
- Відповідь
-
\(N = -16x^4y^3z^5\)
\(\dfrac{6ab}{b+3} = \dfrac{N}{b^2 + 6b + 9}\)
- Відповідь
-
\(N = 6ab^2 + 18ab\)
\(\dfrac{3m}{m+5} = \dfrac{3m^2 - 18m}{N}\)
- Відповідь
-
\(N = m^2 - m - 30\)
\(\dfrac{-2r^2}{r-3} = \dfrac{-2r^3 + 8r^2}{N}\)
- Відповідь
-
\(N = r^2 - 7r + 12\)
\(\dfrac{-8ab^2}{a-4} = \dfrac{N}{4-a}\)
- Відповідь
-
\(N = 8ab^2\)
Причина побудови раціональних виразів
Побудова раціональних виразів
Зазвичай, коли ми пишемо раціональний вираз, ми пишемо його в скороченому вигляді. Причина побудови раціональних виразів полягає в тому, щоб зробити додавання і віднімання раціональних виразів зручним (простішим).
Щоб додати або відняти два або більше раціональних виразів, вони повинні мати однаковий знаменник.
Побудова раціональних виразів дозволяє нам перетворювати дроби на дроби з однаковими знаменниками (які ми можемо потім додати або відняти). Найзручніший новий знаменник - найменш спільний знаменник (РК) заданих дробів.
Найменший спільний знаменник (LCD)
В арифметиці найменш спільний знаменник - це найменша (найменша) величина, на яку кожен з заданих знаменників розділить без залишку. Для алгебраїчних виразів РК-це поліном найменшого ступеня, ділиться на кожен знаменник. Деякі приклади наведені нижче.
\(\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{12}\)
РК-дисплей дорівнює 12, оскільки 12 - це найменша цифра, на яку 4, 6 і 12 поділяться без залишку.
\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{7}{12}\)
РК-дисплей дорівнює 24, оскільки 24 є найменшим числом, на яке 3, 6, 8 і 12 поділяться без залишку.
\(\dfrac{2}{x}, \dfrac{3}{x^2}\)
РК-дисплей\(x^2\) -\(x^2\) це найменша кількість, яка\(x\) і\(x^2\) буде ділитися на без залишку.
\(\dfrac{5a}{6a^2b}, \dfrac{3a}{8ab^3}\)
РК-дисплей\(24a^2b^3\) -\(24a^2b^3\) це найменша кількість, яка\(6a^2b\) і\(8ab^3\) буде ділитися на без залишку.
\(\dfrac{2y}{y-6}, \dfrac{4y^2}{(y-6)^3}, \dfrac{y}{y-1}\)
РК-дисплей\((y-6)^3(y-1)\) -\((y-6)^3 \cdot (y-1)\) це найменша кількість\(y-6, (y-6)^3\), яка і\(y-1\) буде ділитися на без залишку
Зараз ми запропонуємо і продемонструємо спосіб отримання ЖК.
- Коефіцієнт кожного знаменника. Використовуйте експоненти для повторюваних факторів. Зазвичай не потрібно враховувати числові величини.
- Запишіть кожен інший фактор, який з'являється. Якщо коефіцієнт з'являється більше одного разу, використовуйте лише коефіцієнт з найвищим показником.
- РК-дисплей є добутком факторів, написаних на кроці 2.
Набір зразків B
Знайдіть РК-дисплей
\(\dfrac{1}{x}, \dfrac{3}{x^3}, \dfrac{2}{4y}\)
1. Знаменники вже враховані.
2. Зверніть увагу, що\(x\) відображається як\(x\) і\(x^3\). Використовуйте тільки\(x\) з вищим показником,\(x^3\). Термін\(4y\) з'являється, тому ми також повинні використовувати\(4y\).
3. РК-дисплей є\(4x^3y\).
\(\dfrac{5}{(x-1)^2}, \dfrac{2x}{(x-1)(x-4)}, \dfrac{-5x}{x^2 -4x + 2}\)
1. Враховувати потрібно тільки третій знаменник:
\(x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)\)
Тепер три деномінатори є\((x-1)^2, (x-1)(x-4)\), і\((x-2)(x-1)\).
2. Зверніть увагу, що\(x-1\) відображається як\((x-1)^2, x-1\), і\(x-1\). Використовуйте тільки\(x-1\) з найвищим показником,\((x-1)^2\). Також з'являються\(x-4\) і\(x-2\).
3. РК-дисплей є\((x-1)^2(x-4)(x-2)\).
\(\dfrac{-1}{6a^4}, \dfrac{3}{4a^3b}, \dfrac{1}{3a^3(b+5)}\)
1. Знаменники вже враховані.
2. Ми бачимо, що РК-дисплей цифр\(6, 4\), і\(3\) є\(12\). Нам теж потрібно\(a^4, b\), і\(b + 5\).
3. РК-дисплей є\(12a^4b(b+5)\).
\(\dfrac{9}{x}, \dfrac{4}{8y}\)
1. Знаменники вже враховані.
2. \(x, 8y\).
3. РК-дисплей є\(8xy\).
Практика Set B
Знайдіть РК-дисплей.
\(\dfrac{3}{x^2}, \dfrac{4}{x^5}, \dfrac{-6}{xy}\)
- Відповідь
-
\(x^5y\)
\(\dfrac{x+1}{x-4}, \dfrac{x-7}{(x-4)^2}, \dfrac{-6}{x+1}\)
- Відповідь
-
\((x-4)^2(x+1)\)
\(\dfrac{2}{m-6}, \dfrac{-5n}{(m+1)^2(m-2)}, \dfrac{-3x}{x^2 - 6x + 9}\)
- Відповідь
-
\((m-6)(m+1)^2(m-2)^3\)
\(\dfrac{1}{x^2 - 1}, \dfrac{2}{x^2 - 2x - 3}, \dfrac{-3x}{x^2-6x+9}\)
- Відповідь
-
\((x+1)(x-1)(x-3)^2\)
\(\dfrac{3}{4y^2-8y}, \dfrac{8}{y^2-4y+4}, \dfrac{10y-1}{3y^3-6y^2}\)
- Відповідь
-
\(12y^2(y-2)^2\)
Набір зразків C
Змініть дані раціональні вирази на раціональні вирази, що мають однаковий знаменник.
\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {4} {x} &\ text {РК-дисплей, шляхом перевірки, є} x^2\ text {. Перепишіть кожен вираз з}\\
&x^2\ text {як новий знаменник.}\
\ dfrac {?} {x^2},\ dfrac {?} {x^2} &\ text {Визначте чисельники. In}\ dfrac {3} {x^2}\ text {, знаменника не було}\\
&\ text {змінено тому нам не потрібно міняти чисельник}\\
&\ text {У другому дробі початковий знаменник був} x\
\ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {?} {x^2} &\ text {Ми бачимо, що} x\ text {потрібно помножити на} x\ text {щоб побудувати його до} x^2\\
&\ text {Отже, ми також повинні помножити чисельник} 4\ text {на} x\ text {. Таким чином,} 4\ cdot x = 4x. \\
\ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {4x} {x^2}
\ end {масив}\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {4b} {b-1},\ dfrac {-2b} {b+3} &\ текст {При огляді РК-дисплей} (b-1) (b+3)\
\ dfrac {?} {(б-1) (b+3)},\ dfrac {?} {(b-1) (b+3)} &\ text {Знаменник першого раціонального виразу множено}\\
&\ text {на} b + 3\ text {, тому чисельник} 4b\ text {потрібно помножити на} b + 3. \\
4b (б + 3) = 4b^2 + 12b\
\ dfrac {4b^2 + 12b} {(б-1) (б+3)},\ dfrac {?} {(b-1) (b+3)} &\ text {Знаменник другого раціонального виразу множено}\\
&\ text {на} b-1\ text {, тому чисельник} -2b\ text {потрібно помножити на} b-1. \\
-2b (б-1) = -2b^2 + 2b\
\ dfrac {4b^2 + 12b} {(б-1) (b+3)},\ dfrac {-2b^2b} {(б-1) (b+3)}
\ кінець {масив}\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {6x} {x^2 - 8x + 15},\ dfrac {-2x^2} {x^2 - 7x + 12} &\ text {Спочатку знаходимо РК-дисплей. Фактор.} \\
\ dfrac {6x} {(x-3) (x-5)},\ dfrac {-2x^2} {(x-3) (х-4)} &\ текст {РК-дисплей} (x-3) (x-5) (x-4)\ текст {. Перепишіть кожен з цих}\\
&\ text {дроби з новим знаменником} (x-3) (x-5) (x-4)\
\ dfrac {?} {(x-3) (х-5) (х-4)},\ dfrac {?} {(x-3) (x-5) (x-4)} &\ text {Порівнюючи знаменник першого дробу з РК-дисплеєм}\\
&\ text {ми бачимо, що треба помножити чисельник} 6x\ text {на} x-4\
6x (x-4) = 6x^2-24x
\\ dfrac {6x^2 - 24x} {x-3) (x-3) 5) (х-4)},\ dfrac {?} {(x-3) (x-5) (x-4)} &\ text {Порівнюючи знаменник другого дробу з РК-дисплеєм},
&\ text {бачимо, що треба помножити чисельник} -2x^2\ text {на} x - 5\
-2x^2 (x-5) = -2x^3 + 10x^2
\\ dfrac {6x^2} - 24x {(x-3) (х-5) (х-4)},\ dfrac {-2x^3+ 10x^2 } {(x-3) (x-5) (x-4)}
\ end {масив}\)
Ці приклади були зроблені крок за кроком і включають пояснення. Це робить процес здаватися досить тривалим. На практиці, однак, процес відбувається набагато швидше.
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ dfrac {6ab} {a^2-5a+4},\ dfrac {a+b} {a^2-8a+16}
\\ dfrac {6ab} {(а-1) (а-4)},\ dfrac {a+b} {(a-4) ^2} &\ текст {РК} = (a-4) 1) (а-4) ^2
\\ dfrac {6ab (a-4)} {(а-1) (а-4) ^2},\ dfrac {(a+b) (а-1)} {(а-1) (а-4) ^2}
\ кінець {масив}\)
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
\ dfrac {x+1} {x^3 + 3x^2},\ dfrac {x^3 - 4x},\ dfrac {x-4} {x^2 - 4x + 4}
\\ dfrac {x+1} {x^2 (x + 3)},\ dfrac {2x} {x (x+2) (x-2)},\ dfrac {x-4} {(x-2) ^2} &\ текст {РК-дисплей} = х^2 (х+3) (x+2) (x+2) ^2} {x+2) ^2} {x^2 (x+3) (x+2) (x+2) ^2} (х+2) ^2},\
dfrac {2x^2 (x+3) (x-2)} {x^2 (x+3) (x+2) (x-2) ^2},\ dfrac {x^2 (x+3) (x+2)} {x+2) (x-2) ^2}
\ кінець {масив}\)
Практика Set C
Змініть задані раціональні вирази на раціональні вирази з однаковими знаменниками.
\(\dfrac{4}{x^3}, \dfrac{7}{x^5}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4x^2}{x^5}, \dfrac{7}{x^5}\)
\(\dfrac{2x}{x+6}, \dfrac{x}{x-1}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2x(x-1)}{(x+6)(x-1)}, \dfrac{x(x+6)}{(x+6)(x-1)}\)
\(\dfrac{-3}{b^2-b}, \dfrac{4b}{b^2-1}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3(b+1)}{b(b-1)(b+1)}, \dfrac{4b^2}{b(b-1)(b+1)}\)
\(\dfrac{8}{x^2-x-6}, \dfrac{-1}{x^2 + x - 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{8(x-1)}{(x-3)(x+2)(x-1)}, \dfrac{-1(x-3)}{(x-3)(x+2)(x-1)}\)
\(\dfrac{10x}{x^2 + 8x + 16}, \dfrac{5x}{x^2 - 16}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{10x(x-4)}{(x+4)^2(x-4)}, \dfrac{5x(x+4)}{(x+4)^2(x-4)}\)
\(\dfrac{-2ab^2}{a^3-6a^2}, \dfrac{6b}{a^4-2a^3}, \dfrac{-2a}{a^2 - 4a + 4}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2^2b^2(a-2)^2}{a^3(a-6)(a-2)^2}, \dfrac{6b(a-6)(a-2)}{a^3(a-6)(a-2)^2}, \dfrac{-2a^4(a-6)}{a^3(a-6)(a-2)^2}\)
Вправи
Для наступних проблем замініть N на належну кількість.
\(\dfrac{3}{x} = \dfrac{N}{x^3}\)
- Відповідь
-
\(3x^2\)
\(\dfrac{4}{a} = \dfrac{N}{a^2}\)
\(\dfrac{-2}{x} = \dfrac{N}{xy}\)
- Відповідь
-
\(−2y\)
\(\dfrac{-7}{m} = \dfrac{N}{ms}\)
\(\dfrac{6a}{5} = \dfrac{N}{10b}\)
- Відповідь
-
\(12ab\)
\(\dfrac{a}{3z} = \dfrac{N}{12z}\)
\(\dfrac{x^2}{4y^2} = \dfrac{N}{20y^4}\)
- Відповідь
-
\(5x^2y^2\)
\(\dfrac{b^3}{6a} = \dfrac{N}{18a^5}\)
\(\dfrac{-4a}{5x^2y} = \dfrac{N}{15x^3y^3}\)
- Відповідь
-
\(-12axy^2\)
\(\dfrac{-10z}{7a^3b} = \dfrac{N}{21a^4b^5}\)
\(\dfrac{8x^2y}{5a^3} = \dfrac{N}{25a^3x^2}\)
- Відповідь
-
\(40x^4y\)
\(\dfrac{2}{a^2} = \dfrac{N}{a^2(a-1)}\)
\(\dfrac{5}{x^3} = \dfrac{N}{x^3(x-2)}\)
- Відповідь
-
\(5(x−2)\)
\(\dfrac{2a}{b^2} = \dfrac{N}{b^3-b}\)
\(\dfrac{4x}{a} = \dfrac{N}{a^4-4a^2}\)
- Відповідь
-
\(4ax(a+2)(a−2) \)
\(\dfrac{6b^3}{5a} = \dfrac{N}{10a^2-30a}\)
\(\dfrac{4x}{3b} = \dfrac{N}{3b^5 - 15b}\)
- Відповідь
-
\(4x(b^4 - 5)\)
\(\dfrac{2m}{m-1} = \dfrac{N}{(m-1)(m+2)}\)
\(\dfrac{3s}{s + 12} = \dfrac{N}{(s + 12)(s-7)}\)
- Відповідь
-
\(3s(s-7)\)
\(\dfrac{a+1}{a-3} = \dfrac{N}{(a-3)(a-4)}\)
\(\dfrac{a+2}{a-2} = \dfrac{N}{(a-2)(a-4)}\)
- Відповідь
-
\((a+2)(a−4)\)
\(\dfrac{b+7}{b-6} = \dfrac{N}{(b-6)(b+6)}\)
\(\dfrac{5m}{2m + 1} = \dfrac{N}{(2m+1)(m-2)}\)
- Відповідь
-
\(5m(m−2)\)
\(\dfrac{4}{a+6} = \dfrac{N}{a^2 + 5a - 6}\)
\(\dfrac{9}{b-2} = \dfrac{N}{b^2 - 6b + 8}\)
- Відповідь
-
\(9(b−4)\)
\(\dfrac{3b}{b-3} = \dfrac{N}{b^2 - 11b + 24}\)
\(\dfrac{-2x}{x-7} = \dfrac{N}{x^2 - 4x - 21}\)
- Відповідь
-
\(−2x(x+3)\)
\(\dfrac{-6m}{m+6} = \dfrac{N}{m^2 + 10m + 24}\)
\(\dfrac{4y}{y+1} = \dfrac{N}{y^2 + 9y + 8}\)
- Відповідь
-
\(4y(y+8)\)
\(\dfrac{x + 2}{x - 2} = \dfrac{N}{x^2 - 4}\)
\(\dfrac{y-3}{y + 3} = \dfrac{N}{y^2 - 9}\)
- Відповідь
-
\((y-3)^2\)
\(\dfrac{a+5}{a-5} = \dfrac{N}{a^2 - 25}\)
- Відповідь
-
\((z - 4)^2\)
\(\dfrac{4}{2a + 1} = \dfrac{N}{2a^2 - 5a - 3}\)
\(\dfrac{1}{3b - 1} = \dfrac{N}{3b^2 + 11b - 4}\)
- Відповідь
-
\(b+4\)
\(\dfrac{a+2}{2a - 1} = \dfrac{N}{2a^2 + 9a - 5}\)
\(\dfrac{-3}{4x + 3} = \dfrac{N}{4x^2 - 13x - 12}\)
- Відповідь
-
\(−3(x−4)\)
\(\dfrac{b+2}{3b - 1} = \dfrac{N}{6b^2 + 7b - 3}\)
\(\dfrac{x - 1}{4x - 5} = \dfrac{N}{12x^2 - 11x - 5}\)
- Відповідь
-
\((x−1)(3x+1)\)
\(\dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{3x - 21}{N}\)
\(\dfrac{4}{y + 6} = \dfrac{4y + 8}{N}\)
- Відповідь
-
\((y+6)(y+2)\)
\(\dfrac{-6}{a - 1} = \dfrac{-6a - 18}{N}\)
\(\dfrac{-8a}{a+3} = \dfrac{-8a^2 - 40a}{N}\)
- Відповідь
-
\((a+3)(a+5)\)
\(\dfrac{y+1}{y-8} = \dfrac{y^2 - 2y - 3}{N}\)
\(\dfrac{x - 4}{x + 9} = \dfrac{x^2 + x - 20}{N}\)
- Відповідь
-
\((x+9)(x+5)\)
\(\dfrac{3x}{2-x} = \dfrac{N}{x-2}\)
\(\dfrac{7a}{5-a} = \dfrac{N}{a-5}\)
- Відповідь
-
\(-7a\)
\(\dfrac{-m + 1}{3 - m} = \dfrac{N}{m-3}\)
\(\dfrac{k + 6}{10 - k} = \dfrac{N}{k- 10}\)
- Відповідь
-
\(−k−6\)
\(\dfrac{2}{a^2} = \dfrac{N}{a^2(a-1)}\)
Для наступних задач перетворіть задані раціональні вирази в раціональні вирази, що мають однакові знаменники.
\(\dfrac{2}{a}, \dfrac{3}{a^4}\)
\(\dfrac{5}{b^2}, \dfrac{4}{b^3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{5b}{b^3}, \dfrac{4}{b^3}\)
\(\dfrac{8}{z}, \dfrac{3}{4z^3}\)
\(\dfrac{9}{x^2}, \dfrac{1}{4x}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{36}{4x^2}, \dfrac{x}{4x^2}\)
\(\dfrac{2}{a+3}, \dfrac{4}{a+1}\)
\(\dfrac{2}{x + 5}, \dfrac{4}{x-5}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2(x-5)}{(x+5)(x-5)}, \dfrac{4(x+5)}{(x+5)(x-5)}\)
\(\dfrac{1}{x-7}, \dfrac{4}{x-1}\)
\(\dfrac{10}{y+2}, \dfrac{1}{y+8}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{10(y+8)}{(y+2)(y+8)}, \dfrac{y+2}{(y+2)(y+8)}\)
\(\dfrac{4}{a^2}, \dfrac{a}{a+4}\)
\(\dfrac{-3}{b^2}, \dfrac{b^2}{b+5}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3(b+5)}{b^2(b+5)}, \dfrac{b^4}{b^2(b+5)}\)
\(\dfrac{-6}{b-1}, \dfrac{5b}{4b}\)
\(\dfrac{10a}{a-6}, \dfrac{2}{a^2 - 6a}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{10a^2}{a(a-6)}, \dfrac{2}{a(a-6)}\)
\(\dfrac{4}{x^2 + 2x}, \dfrac{1}{x^2 - 4}\)
\(\dfrac{x+1}{x^2 - x - 6}, \dfrac{x+4}{x^2 + x - 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+2)(x-3)}, \dfrac{(x+4)(x-3)}{(x-1)(x+2)(x-3)}\)
\(\dfrac{x-5}{x^2 - 9x + 20}, \dfrac{4}{x^2 - 3x - 10}\)
\(\dfrac{-4}{b^2 + 5b - 6}, \dfrac{b+6}{b^2 - 1}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-4(b +1)}{(b+1)(b-1)(b + 6)}, \dfrac{(b+6)^2}{(b+1)(b-1)(b+6)}\)
\(\dfrac{b+2}{b^2 + 6b + 8}, \dfrac{b-1}{b^2 + 8b + 12}\)
\(\dfrac{x+7}{x^2 - 2x - 3}, \dfrac{x+3}{x^2 - 6x - 7}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+7)(x-7)}{(x+1)(x-3)(x-7)}, \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+1)(x-3)(x-7)}\)
\(\dfrac{2}{a^2 + a}, \dfrac{a+3}{a^2 - 1}\)
\(\dfrac{x-2}{x^2 + 7x + 6}, \dfrac{2x}{x^2 + 4x - 12}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)(x+6)}, \dfrac{2x(x+1)}{(x+1)(x-2)(x+6)}\)
\(\dfrac{x-2}{2x^2 + 5x - 3}, \dfrac{x-1}{5x^2 + 16x + 3}\)
\(\dfrac{2}{x-5}, \dfrac{-3}{5-x}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2}{x-5}, \dfrac{3}{x-5}\)
\(\dfrac{4}{a-6}, \dfrac{-5}{6-a}\)
\(\dfrac{6}{2-x}, \dfrac{5}{x-2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-6}{x-2}, \dfrac{5}{x-2}\)
\(\dfrac{k}{5-k}, \dfrac{3k}{k-5}\)
\(\dfrac{2m}{m-8}, \dfrac{7}{8-m}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2m}{m-8}, \dfrac{-7}{m-8}\)
Вправи для огляду
Фактор\(m^2x^3 + mx^2 + mx\)
Фактор\(y^2 - 10y + 21\)
- Відповідь
-
\((y−7)(y−3)\)
Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точки (1, 1) і (4, −2). Висловіть рівняння у формі ухил-перехоплення.
Зменшити\(\dfrac{y^2 - y - 6}{y-3}\)
- Відповідь
-
\(y+2\)
Знайдіть частку. \(\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - x - 6} \div \dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + 2x}\)