7.8: Графік лінійних нерівностей у двох змінних

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58564

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розташування рішень

У нашому дослідженні лінійних рівнянь в двох змінних ми спостерігали, що всі розв'язки рівняння, і тільки розв'язки рівняння, розташовувалися на графіку рівняння. Тепер ми хочемо визначити розташування розв'язків лінійних нерівностей у двох змінних. Лінійні нерівності в двох змінних є нерівностями форм:

\ (\ begin {вирівняний}
ax + по\ le c & ax+ за\ ge c\\ ax+ за допомогою < c & ax + by > c
\
end {вирівняний}\)

Напівплощини

Проведена через площину пряма лінія ділить план на дві півплощини.

Лінія кордону

Пряма називається граничною лінією.

$Пряма лінія, що розділяє площину xy на дві півплощини.$

Розв'язок нерівності у двох змінних

Нагадаємо, що при роботі з лінійними рівняннями в двох змінних ми спостерігали, що впорядковані пари, які виробляють істинні твердження при підстановці в рівняння, називалися розв'язками цього рівняння. Ми можемо зробити подібне твердження для нерівностей у двох змінних. Ми говоримо, що нерівність у двох змінних має рішення, коли пара значень була знайдена таким чином, що коли ці значення підставляються в нерівність, результат істинного твердження.

Розташування рішень в площині

Як і у випадку з рівняннями, розв'язки лінійних нерівностей мають певні місця в площині. Всі розв'язки лінійної нерівності в двох змінних розташовані в одній і тільки в одній цілій півплощині. Наприклад, розглянемо нерівність

$2x + 3y \le 6$

$Пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і три, нуль. Рівняння цього рядка дорівнює двом x плюс три y рівним шести. Точки, що лежать в затіненій області під лінією, є розв'язками нерівності два х плюс три y менше, ніж дорівнює шести.$

Всі розв'язки нерівності$2x + 3y \le 6$ лежать в затіненій напівплощині.

Точка$A(1, -1)$ є рішенням, оскільки:

\ (\ почати {вирівняний}
2x+ 3y\ le 6\\
2 (1) + 3 (-1)\ ле 6? \\
2 - 3\ ле 6?
-1\ ле 6. \ текст {Правда.}
\ end {вирівняний}\)

Точка не$B(2, 5)$ є рішенням, оскільки:

\ (\ почати {вирівняний}
2x+ 3y\ le 6\\
2 (2) + 3 (5)\ ле 6? \\
4 + 15\ ле 6?
19\ ле 6. \ текст {False}
\ кінець {вирівняний}\)

Метод побудови графіків

Метод побудови графіків лінійних нерівностей у двох змінних виглядає наступним чином:

Графік граничної лінії (розгляньте нерівність як рівняння, тобто замініть знак нерівності знаком рівності).
1. Якщо нерівність є$≤$ або$≥$, намалюйте лінію кордону твердого тіла. Це означає, що точки на лінії є розв'язками і є частиною графіка.
2. Якщо нерівність дорівнює$<$ або$>$, проведіть лінію кордону пунктирною. Це означає, що точки на лінії не є розв'язками і не є частиною графіка.
Визначте, яку напівплощину затінювати, вибравши контрольну точку.
1. Якщо під час підстановки тестова точка дає true твердження, затіньте напівплощину, що містить її.
2. Якщо при заміні тестова точка дає помилковий оператор, затіньте півплощину на протилежній стороні лінії кордону.

Набір зразків A

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік$3x - 2y \ge -4$.

1. Графік лінії кордону. Нерівність$\ge$ так що ми будемо малювати лінію твердого тіла. Розглянемо нерівність як рівняння.

$3x - 2y = -4$

$x$

$y$

$(x, y)$

$0$

$\dfrac{-4}{3}$

$2$

$0$

$(0, 2)$

($frac{-4}{3}, 0)$

$Графік лінії, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і від'ємні чотири на три, нуль. Крайові точки на цій лінії включаються до розв'язків нерівності.$

2. Вибираємо контрольний пункт. Найпростіший з них$(0, 0)$. $(0, 0)$Підставляємо в вихідну нерівність.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
3x - 2y\ ge -4\\
3 (0) - 2 (0)\ ge -4? \\
0 - 0\ ге -4?
0\ ге -4. \ текст {True}
\ end {масив}\)

Затіньте напівплощину, що містить$(0, 0)$.

$Пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і негативні чотири на три, нуль. Точки, що лежать в області праворуч від прямої, є розв'язками нерівності, а точки, що лежать в області зліва від лінії, не є розв'язками нерівності. Тестова точка нуль, нуль належить до затіненої області.$

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік$x + y - 3 < 0$

1. Графік лінії кордону:$x + y - 3 = 0$. Нерівність$ < $ так що ми будемо малювати лінію пунктирною.

$Графік пунктирною лінії, що проходить через дві точки з координатами нуль, три і три, нуль. Крайові точки на цій лінії не включаються до розв'язків нерівності.$

2. Виберіть контрольну точку, скажімо$(0, 0)$.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
x + y - 3 < 0\\
0 + 0 - 3 < 0? \\
-3 < 0. \ текст {True}
\ end {масив}\)

$Пунктирна пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, три і три, нуль. Область зліва від лінії затінена. Тестова точка нуль, нуль належить до затіненої області.$

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік$y \le 2x$.

1. Графік лінії кордону$y = 2x$. Нерівність є$\le$, так що ми будемо малювати лінію твердого тіла.

$Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і один, два. Крайові точки на цій лінії включаються до розв'язків нерівності.$

2. Виберіть контрольну точку, скажімо$(0, 0)$.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
y\ le 2x\\
0\ le 2 (0)? \\
0\ ле 0. \ текст {True}
\ end {масив}\)

Затіньте напівплощину, що містить$(0, 0)$. Ми не можемо! $(0, 0)$прямо на лінії! Виберіть іншу контрольну точку, скажімо$(1, 6)$.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
y\ le 2x\\
6\ le 2 (1)\\
6\ le 2. \ текст {брехня}
\ кінець {масив}\)

Заштрихуйте півплощину на протилежній стороні лінії кордону.

$Пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і один, два. Точки, що лежать в області праворуч від прямої, є розв'язками нерівності, а точки, що лежать в області зліва від лінії, не є розв'язками нерівності. Тестова точка нуль, нуль належить до затіненої області, де в якості іншої тестової точки один, шість не належить до затіненої області.$

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік$y > 2$.

1. Графік лінії кордону$y = 2$. Нерівність$ >$ так що ми будемо малювати лінію пунктирною.

$Графік пунктирної лінії, паралельної осі х і проходить через точку з координатами нуль, два.$

2. Нам насправді не потрібна тестова точка. Де знаходиться$y > 2$? Над лінією$y = 2$! Будь-яка точка над лінією явно має$y$ -координату більше$2$

$Пунктирна пряма лінія в площині xy паралельна осі x і проходить через точку з координатами нуль, два. Область над лінією затінюють.$

Практика Set A

Вирішіть наступні нерівності за допомогою графіків.

Проблема практики$\PageIndex{1}$

$-3x + 2y \le 4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і два, п'ять. Область праворуч від лінії затінена.$

Проблема практики$\PageIndex{2}$

$x−4y<4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пунктирна пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, негативний один і чотири, нуль. Область над лінією затінюють.$

Проблема практики$\PageIndex{3}$

$3x+y>0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пунктирна пряма лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і один, негативні три. Область справа до лінії затінена.$

Проблема практики$\PageIndex{4}$

$x≥1$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пряма лінія в площині xy паралельна осі y проходить через точку з координатами один, нуль. Область справа до лінії затінена.$

Вправи

Вирішити нерівності за допомогою графіків.

Вправа$\PageIndex{1}$

$y<x+1$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пунктирна лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, один і негативний один, нуль. Область нижче лінії затінена.$

Вправа$\PageIndex{2}$

$x+y≤1$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{3}$

$−x+2y+4≥0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, негативні два і чотири, нуль. Область над лінією затінюють.$

Вправа$\PageIndex{4}$

$−x+5y−10<0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{5}$

$−3x+4y>−12$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Пунктирна лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами нуль, негативні три і чотири, нуль. Область над лінією затінюють.$

Вправа$\PageIndex{6}$

$2x+5y−15≥0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{7}$

$y≤4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Лінія, паралельна осі x у площині xy.The лінія перетинає вісь y на y дорівнює чотирьом. Область нижче лінії затінена.$

Вправа$\PageIndex{8}$

$x≥2$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{9}$

$x≤0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Xy-координатна площина з областю ліворуч від осі y затінюється.$

Вправа$\PageIndex{10}$

$x−y<0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{11}$

$x+3y≥0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Лінія в площині xy, що проходить через дві точки з координатами від'ємні три, один і три, негативний один. Область над лінією затінюють.$

Вправа$\PageIndex{12}$

$−2x+4y>0$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправи для рецензування

Вправа$\PageIndex{13}$

Графік нерівності$−3x+5≥−1$.

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь: $Числова лінія зі стрілками на кожному кінці, позначена від негативних трьох до трьох, з кроком один. Є відкрите коло на двох. Темна лінія починається з цього кола і прямує ліворуч від двох.$

Вправа$\PageIndex{14}$

Поставити відсутнє слово. Геометричне зображення (малюнок) розв'язків рівняння називається рівнянням.

Вправа$\PageIndex{15}$

Поставити знаменник:$m = \dfrac{y_2-y_1}{?}$

Відповідь: $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Графік рівняння$y=−3x+2$.

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{17}$

Напишіть рівняння прямої, яка має нахил$4$ і проходить через точку$(−1, 2)$.

Відповідь: $y=4x+6$

Напівплощини

Лінія кордону

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Проблема практики\(\PageIndex{1}\)

Проблема практики\(\PageIndex{2}\)

Проблема практики\(\PageIndex{3}\)

Проблема практики\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)