7.7: Пошук рівняння прямої
- Page ID
- 58577
Ухил-Перехоплення та Точка-Нахил Форми
У попередніх розділах нам дали рівняння і побудували лінію, якій воно відповідає. Тепер, однак, припустимо, ми дали деяку геометричну інформацію про лінію і ми хочемо побудувати відповідне рівняння. Ми хочемо знайти рівняння прямої.
Ми знаємо, що формула нахилу прямої є\(m - \dfrac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\). Ми можемо знайти рівняння прямої за формулою нахилу будь-яким із двох способів:
Якщо нам дано нахил\(m\), і будь-яку точку\((x_1, y_1)\) на лінії, ми можемо замінити цю інформацію в формулу нахилу.
\((x_1, y_1)\)Дозволяти бути відомою точкою на лінії і нехай\((x,y)\) буде будь-яка інша точка на лінії. Тоді
\ (\ почати {вирівняний}
м & =\ dfrac {y-y_1} {x-x_1} &\ text {Помножити обидві сторони на} х - x_1\\
m (x-x_1) & =( x-x_1)\ cdot\ dfrac {y-y_1} {x-x_1}\
m (x-x_1) &=y_y_1& текст {Для зручності перепишемо рівняння.}\\
y_y_1&=m (x-x_1)
\ end {вирівняний}\)
Оскільки це рівняння було виведено за допомогою точки та нахилу прямої, його називають точково-нахиленою формою прямої.
Якщо нам дано нахил\(m\),\(y\) -перехоплення\((0,b)\), ми можемо підставити цю інформацію в формулу нахилу.
\((0,b)\)Дозволяти бути\(y\) -intercept і (x, y) бути будь-якою іншою точкою на лінії. Потім,
\ (\ почати {вирівняний} м
& =\ dfrac {y-b} {x-0}\\
m&=\ dfrac {y-b} {x} &\ text {множити обидві сторони на} x\\
m\ cdot x&=\ not {x}\ cdot\ dfrac {y-b} {\ not {x}}\
mx&=y-b&\ text {Вирішити для} y\\
mx+b&=y&\ text {Для зручності ми перепишу це рівняння}\\
y&=mx+b
\ end {вирівняний}\)
Оскільки це рівняння було виведено за допомогою нахилу і перехоплення, його називали формою нахилу-перехоплення прямої.
Ми підсумовуємо ці два похідні наступним чином.
Форми рівняння прямої
Ми можемо знайти рівняння рядка, якщо нам дано будь-який з наступних наборів інформації:
Нахил\(m\), і\(y\) -перехоплення\((0, b)\), підставляючи ці значення на:
\(y = mx + b\)
Це форма нахилу-перехоплення.
Нахил\(m\), і будь-яка точка\((x_1, y_1)\), підставляючи ці значення в
\(y-y_1 = m(x-x_1)\)
Це точково-похила форма.
Зверніть увагу, що обидві форми покладаються на знання нахилу. Якщо нам дано дві точки на лінії, ми все ще можемо знайти рівняння лінії, що проходить через них, спочатку знайшовши нахил лінії, потім використовуючи форму точки-нахил.
Для кінцевої форми лінії прийнято використовувати або форму ухил-перехоплення, або загальну форму. Ми будемо використовувати форму ухил-перехоплення в якості кінцевої форми.
Набір зразків A
Знайдіть рівняння прямої, використовуючи задану інформацію.
\(m = 6\),\(y\) - перехоплення\((0, 4)\)
Оскільки нам дано нахил і\(y\) -перехоплення, ми будемо використовувати форму перехоплення нахилу. \(m = 6, b = 4\).
\(y = mx + b\)
\(y = 6x + 4\)
\(m = -\dfrac{3}{4}\),\(y\) - перехоплення\((0, \dfrac{1}{8})\)
Оскільки нам дано нахил і\(y\) -перехоплення, ми будемо використовувати форму перехоплення нахилу. \(m = \dfrac{-3}{4}\),
\(b = \dfrac{1}{8}\)
\(y=mx + b\)
\(y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8}\)
\(m = 2\), точка\((4, 3)\).
Оскільки ми отримали нахил і деяку точку, ми будемо використовувати точку-нахил форми.
\(y - y_1 = m(x - x_1)\). Нехай\((x_1, y_1)\) буде\((4,3)\).
\(y-3=2(x-4)\)Помістіть це рівняння у формі перехоплення нахилу шляхом вирішення для\(y\).
\(y-3=2x-8\)
\(y = 2x-5\)
\(m = -5\), точка\((-3, 0)\)
Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.
Оскільки ми отримали нахил і деяку точку, ми будемо використовувати точку-нахил форми.
\ (\ почати {вирівняний}
y_y_1&=m (x-x_1) &\ текст {Нехай} (x_1, y_1)\ текст {бути} (-3,0)\\
y-0&=-5 [x- (-3)]\
y&=-5 (x+3) &\ text {Вирішити для} y\\
y&=-5x-15
\ кінець {вирівняний}\)
\(m = -1\), точка\((0, 7)\).
Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.
Нам дано нахил і точку, але ретельне спостереження показує, що ця точка насправді\(y\) -перехоплення. Таким чином, ми будемо використовувати форму ухил-перехоплення. Якби ми не бачили, що ця точка була\(y\) -перехоплення, ми б продовжили з точка-нахил форми. Це створило б трохи більше роботи, але все одно дало той же результат.
Форма перехоплення нахилу:
\ (\ почати {вирівняний}
y&=mx + b\\
y&= -1x + 7\
y&= -х + 7
\ кінець {вирівняний}\)
Точка-нахил Форма:
\ (\ почати {вирівняний}
y_y_1&=m (x-x_1)\\
y-7&=-1 (x-0)\\
y-7&=-х\\
y&=-x+7
\ end {вирівняний}\)
Два пункти\((4, 1)\) і\((3, 5)\).
Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.
Так як нам дано дві точки, ми знайдемо схил першим.
\(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \dfrac{5-1}{3-4} = \dfrac{4}{-1} = -4\)
Тепер у нас є нахил і дві точки, ми можемо використовувати будь-яку точку і точку-нахил форми.
Використання\((4, 1)\)
\ (\ почати {вирівняний}
y_y_1&= м (x-x_1)\\
y-1 & = -4 (x-4)\\
y&=-4x+17
\ кінець {вирівняний}\)
Використання\((3, 5)\)
\ (\ почати {вирівняний}
y_y_1&= м (x-x_1)\\
y-5&=-4 (x-3)\\
y-5&=-4x + 12\\
y&=-4x+17
\ кінець {вирівняний}\)
Ми бачимо, що використання будь-якого дає однаковий результат.
Практика Set A
Знайдіть рівняння кожного рядка за даними наступної інформації. Використовуйте форму нахилу-перехоплення як кінцеву форму рівняння.
\(m=5\),\(y\) -перехоплення\((0,8)\).
- Відповідь
-
\(y=5x+8\)
\(m=-8\),\(y\) -перехоплення\((0,3)\).
- Відповідь
-
\(y=−8x+3\)
\(m=2\),\(y\) -перехоплення\((0,-7)\).
- Відповідь
-
\(y=2x−7\)
\(m=1\),\(y\) -перехоплення\((0,-1)\).
- Відповідь
-
\(y=x−1\)
\(m=-1\),\(y\) -перехоплення\((0,-10)\).
- Відповідь
-
\(y=−x−10\)
\(m=4\), точка\((5,2)\).
- Відповідь
-
\(y=4x−18\)
\(m=-6\), точка\((-1,0)\).
- Відповідь
-
\(y=−6x−6\)
\(m=-1\), точка\((-5,-5)\).
- Відповідь
-
\(y=−x−10\)
Два пункти\((4, 1)\) і\((6, 5)\)
- Відповідь
-
\(y=2x−7\)
Два пункти\((−7,−1)\) і\((−4,8)\).
- Відповідь
-
\(y=3x+20\)
Набір зразків B
Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку,\((4, -7)\) що має нахил\(0\).
Нам дано нахил і деяку точку, так що ми будемо використовувати точку-нахил форми. З\(m = 0\) і\(x_1, y_1)\) як\((4, -7)\), ми маємо:
\ (\ почати {вирівняний}
y_y_1 &= м (x-x_1)\\
y- (-7) &= 0 (x-4)\\
y+7&= 0\\
y&=-7
\ кінець {вирівняний}\)
Це горизонтальна лінія
Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку,\((1,3)\) враховуючи, що пряма вертикальна.
Так як лінія вертикальна, то ухилу не існує. Таким чином, ми не можемо використовувати ні форму нахилу, ні форму точки-нахилу. Треба згадати те, що ми знаємо про вертикальних лініях. Рівняння цієї лінії просто\(x=1\).
Практика Set B
Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку,\((2, 9)\) що має нахил\(0\).
- Відповідь
-
\(y=9\)
Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку,\((−1,6)\) враховуючи, що пряма вертикальна.
- Відповідь
-
\(x=−1\)
Набір зразків C
Читаючи тільки з графіка, визначте рівняння прямої.
Нахил лінії дорівнює\(\dfrac{2}{3}\), а лінія перетинає\(y\) -вісь в точці\((0, -3)\). Використовуючи форму ухил-перехоплення отримуємо:
\(y = \dfrac{2}{3}x - 3\)
Практика Set C
Читаючи тільки з графіка, визначте рівняння прямої.
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{-2}{3}x + 4\)
вправи
Для наступних задач запишіть рівняння прямої, використовуючи задану інформацію у вигляді нахилу-перехоплення.
\(m=3\),\(y\) - перехоплення\((0,4)\)
- Відповідь
-
\(y=3x+4\)
\(m=2\),\(y\) - перехоплення\((0,5)\)
\(m=8\),\(y\) - перехоплення\((0,1)\)
- Відповідь
-
\(y=8x+1\)
\(m=5\),\(y\) - перехоплення\((0,-3)\)
\(m=-6\),\(y\) - перехоплення\((0,-1)\)
- Відповідь
-
\(y=−6x−1\)
\(m=-4\),\(y\) - перехоплення\((0,0)\)
\(m=-\dfrac{3}{2}\),\(y\) - перехоплення\((0,0)\)
- Відповідь
-
\(y = -\dfrac{3}{2}x\)
\(m=3, (1,4)\)
\(m=1, (3,8)\)
- Відповідь
-
\(y=x+5\)
\(m=2, (1,4)\)
\(m=8, (4,0)\)
- Відповідь
-
\(y=8x−32\)
\(m=−3, (3,0)\)
\(m=−1, (6,0)\)
- Відповідь
-
\(y=−x+6\)
\(m=−6, (0,0)\)
\(m=−2, (0,1)\)
- Відповідь
-
\(y=−2x+1\)
\((0,0), (3,2)\)
\((0,0), (5,8)\)
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{8}{5}x\)
\((4,1), (6,3)\)
\((2,5), (1,4)\)
- Відповідь
-
\(y=x+3\)
\((5,−3), (6,2)\)
\((2,3), (5,3)\)
- Відповідь
-
\(y=3\)(горизонтальна лінія)
\((−1,5), (4,5)\)
\((4,1), (4,2)\)
- Відповідь
-
\(x=4\)(вертикальна лінія)
\((2,7), (2,8)\)
\((3,3), (5,5)\)
- Відповідь
-
\(y=x\)
\((0,0), (1,1)\)
\((−2,4), (3,−5)\)
- Відповідь
-
\(y = -\dfrac{9}{5}x + \dfrac{2}{5}\)
\((1,6), (−1,−6)\)
\((14,12), (−9,−11)\)
- Відповідь
-
\(y=x−2\)
\((0,−4), (5,0)\)
Для наступних задач читайте тільки з графіка і визначте рівняння ліній.
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{2}{5}x + 1\)
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{1}{4}x + 1\)
- Відповідь
-
\(x=−4\)
- Відповідь
-
\(y=−3x−1\)
Вправи для рецензування
Графік рівняння\(x-3 = 0\)
Поставити відсутнє слово. Точка, в якій пряма перетинає\(y\) вісь -, називається ____
- Відповідь
-
\(y\)-перехопити
Поставити відсутнє слово. ____ лінії - це міра крутизни лінії.
Знайдіть нахил лінії, яка проходить через точки\((4,0)\) і\((−2,−6)\).
- Відповідь
-
\(m=1\)
Графік рівняння\(3y = 2x + 3\)
