7.6: Графічні рівняння у формі перехоплення нахилу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58572

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Використання нахилу та перехоплення для графування лінії

Коли лінійне рівняння дається в загальному вигляді$ax+by=c$, ми спостерігали, що ефективним графічним підходом є метод перехоплення. Ми$x=0$ дозволили і обчислили відповідне значення$y$, потім нехай$y=0$ і обчислюється відповідне значення$x$.

Коли рівняння записується у формі нахилу-перехоплення$y=mx+b$, існують також ефективні способи побудови графа. Один із способів, але менш ефективний, - вибрати два або три$x$ -значення та обчислити, щоб знайти відповідні$y$ -значення. Однак обчислення стомлюючі, трудомісткі і можуть призвести до помилок. Інший спосіб, метод, перерахований нижче, використовує нахил і$y$ -перехоплення для побудови графіка лінії. Це швидко, просто і не передбачає обчислень.

Метод графіків

Сюжет$y$ -перехоплення$(0, b)$.
Визначити іншу точку можна за допомогою ухилу м.
Проведіть лінію через дві точки.

Нагадаємо, що ухил ми визначили$m$ як коефіцієнт$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Чисельник$y_2−y_1$ являє собою кількість одиниць, що$y$ змінюється, а знаменник$x_2 - x_1$ - кількість одиниць, які$x$ змінюються. Припустимо$m=pq$. Потім$p$ - кількість одиниць, яке$y$ змінюється, і$q$ це кількість одиниць, які$x$ змінюються. Оскільки ці зміни відбуваються одночасно, почніть з вашого олівця на$y$ -перехоплення, перемістіть$p$ юнітів у відповідному вертикальному напрямку, а потім перемістіть$q$ юнітів у відповідному горизонтальному напрямку. Позначте точку в цьому місці.

Набір зразків A

Графік проведіть наступні рядки.

Приклад$\PageIndex{1}$

$y = \dfrac{3}{4}x + 2$

1. $y$-Перехоплення - це точка$(0,2)$. Таким чином, лінія перетинає$2$ одиниці$y$ -осі над початком. Позначте точку на$(0,2)$.

$Координатна площина xy з лініями сітки від негативних п'яти до п'яти з кроком в одну одиницю для обох осей. Точка нуль, дві наноситься і маркується на сітці.$

2. Ухил,$m$, є$\dfrac{3}{4}$. Це означає, що якщо ми почнемо в будь-якій точці на лінії і перемістіть наші$3$ одиниці олівцем вгору, а потім$4$ одиниць вправо, ми повернемося на лінію. Почніть з відомої точки,$y$ -перехоплення$(0, 2)$. Рухайтеся вгору$3$ юнітів, а потім перемістіть$4$ одиниць вправо. Позначте точку в цьому місці. (Зауважте також, що\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {-3} {-4}\). Це означає, що якщо ми почнемо в будь-якій точці лінії і перемістимо наші$3$ одиниці олівця вниз і$4$ одиниць вліво, ми повернемося на лінію. Зверніть увагу також, що$\dfrac{3}{4} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{1}$. Це означає, що якщо ми почнемо в будь-якій точці лінії і перейдемо до правого$1$ блоку, нам доведеться рухатися вгору$\dfrac{3}{4}$, щоб повернутися на лінію.)

$Починаючи з точки з нульовими координатами, два переміщують три одиниці вгору і чотири одиниці вправо, щоб дістатися до точки з координатами чотири, п'ять.$

3. Проведіть лінію через обидві точки.

$Графік лінії, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і чотири, п'ять.$

Приклад$\PageIndex{2}$

$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$

1. $y$-Перехоплення - це точка$(0, \dfrac{7}{2})$. Таким чином, лінія перетинає$\dfrac{7}{2}$ одиниці$y$ -осі над початком. Позначте точку$(0, \dfrac{7}{2})$, або$(0, 3\dfrac{1}{2})$.

$Координатна площина xy з лініями сітки від негативних п'яти до п'яти та кроком однієї одиниці для обох осей. Відзначається і маркується точка нуль, три з половиною.$

2. Ухил,$m$, є$-\dfrac{1}{2}$. Ми можемо писати$-\dfrac{1}{2}$ як$\dfrac{-1}{2}$. Таким чином, ми починаємо з відомої точки,$y$ -перехоплюємо$(0, 3\dfrac{1}{2})$, рухаємося вниз на одну одиницю (через$-1$), потім переміщаємо праві$2$ одиниці. Позначте точку в цьому місці.

$Починаючи з точки з нульовими координатами, три з половиною рухаються на одну одиницю вниз і дві одиниці вправо, щоб дістатися до точки з координатами два, два з половиною.$

3. Проведіть лінію через обидві точки.

$Графік лінії, що проходить через дві точки з координатами нуль, три і одна половина; і дві, дві з половиною.$

Приклад$\PageIndex{3}$

$y = \dfrac{2}{5}x$

1. Ми можемо поставити це рівняння в явний схил-перехоплення, написавши його як$y = \dfrac{2}{5}x + 0$.

$y$-Перехоплення знаходиться в точці$(0, 0)$, походження. Ця лінія йде прямо через початок.

$Координатна площина xy з лініями сітки від негативних п'яти до п'яти та кроком однієї одиниці для обох осей. Походження позначається координатною парою нуль, нуль.$

2. Ухил,$m$, є$\dfrac{2}{5}$. Починаючи з початку, рухаємося вгору$2$ юнітами, потім рухаємося до$5$ потрібних юнітів. Позначте точку в цьому місці.

$Графік лінії, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль; і п'ять, два. Починаючи з точки з нульовими координатами, нуль переміщує дві одиниці вгору і п'ять одиниць вправо, щоб дістатися до точки з координатами п'ять, два.$

3. Проведіть лінію через дві точки.

Приклад$\PageIndex{4}$

$y = 2x - 4$

1. $y$-Перехоплення - це точка$(0, -4)$. Таким чином, лінія перетинає$4$ одиниці$y$ -осі нижче початку. Позначте точку на$(0, -4)$.

$Точка з нульовими координатами, від'ємні чотири, побудовані в площині xy.$

2. Ухил,$m$, є$2$. Якщо ми запишемо нахил як дріб$2 = \dfrac{2}{1}$, ми можемо прочитати, як внести зміни. Почніть з відомої точки$(0, -4)$, перемістіть вгору$2$ юнітів, потім перемістіть правий$1$ блок. Позначте точку в цьому місці.

$Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, від'ємний чотири і один, негативні два.$

3. Проведіть лінію через дві точки.

Практика Набір A

Використовуйте$y$ -intercept і нахил для графіка кожного рядка.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$y = \dfrac{-2}{3} + 4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма і кроком однієї одиниці для обох осей.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, чотири і три, два.$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$y = \dfrac{3}{4}x$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і чотири, три.$

Вправи

Для наступних задач складіть графік рівнянь.

Вправа$\PageIndex{1}$

$y = \dfrac{2}{3} + 1$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, один і три, три.$

Вправа$\PageIndex{2}$

$y = \dfrac{1}{4}x - 2$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{3}$

$y = 5x - 4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, від'ємний чотири і один, один.$

Вправа$\PageIndex{4}$

$y = -\dfrac{6}{5} - 3$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{5}$

$y = \dfrac{3}{2} - 5$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, негативні п'ять і два, негативні два.$

Вправа$\PageIndex{6}$

$y = \dfrac{1}{5}x + 2$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{7}$

$y = -\dfrac{8}{3} + 4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, чотири і три, від'ємні чотири.$

Вправа$\PageIndex{8}$

$y = -\dfrac{10}{3} + 6$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{9}$

$y = 1x - 4$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, від'ємний чотири і один, негативні три.$

Вправа$\PageIndex{10}$

$y = -2x + 1$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{11}$

$y = x + 2$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, два і один, три.$

Вправа$\PageIndex{12}$

$y = \dfrac{3}{5}x$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{13}$

$y = -\dfrac{4}{3}$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і від'ємні три, чотири.$

Вправа$\PageIndex{14}$

$y = x$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{15}$

$y = -x$

$XY-площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, нуль і одиниця, від'ємна одиниця.$

Вправа$\PageIndex{16}$

$3y−2x=−3$

$XY площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправа$\PageIndex{17}$

$6x+10y=30$

$XY площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, три і п'ять, нуль.$

Вправа$\PageIndex{18}$

$x+y=0$

$XY площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{19}$

Вирішити нерівність$2 - 4x \ge x - 3$

Відповідь: $x≤1$

Вправа$\PageIndex{20}$

Графік нерівності$y+3>1.$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{21}$

Графік рівняння$y = -2$.

$XY площину з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма на обох осях.$

Відповідь: $Графік прямої, паралельної осі x у площині xy.The лінія перетинає вісь y на y дорівнює від'ємним двом.$

Вправа$\PageIndex{22}$

Визначте ухил і$y$ -перехоплення лінії$−4y−3x=16$.

Вправа$\PageIndex{23}$

Знайти нахил лінії, що проходить через точки$(−1, 5)$ і$(2, 3)$.

Відповідь: $m = \dfrac{-2}{3}$

Метод графіків

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

Завдання практики\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)