7.4: Графік лінійних рівнянь у двох змінних
- Page ID
- 58576
Рішення та лінії
Відомо, що розв'язки лінійних рівнянь у двох змінних можуть бути виражені у вигляді впорядкованих пар. Значить, рішення можуть бути представлені точкою в площині. Ми також знаємо, що фраза «граф рівняння» означає знайти рішення даного рівняння в площині. Розглянемо рівняння\(y−2x=−3\). Ми намалюємо шість розв'язків (впорядкованих пар) до цього рівняння в системі координат нижче. Ми знайдемо рішення, вибравши\(x\) -значення (від\(−1\) до\(+4\)), підставляючи їх у рівняння\(y−2x=−3\), а потім вирішимо для отримання відповідних\(y\) f-значень. Ми можемо відстежувати впорядковані пари за допомогою таблиці.
\(y-2x = -3\)
| Якщо\(x=\) | Тоді\(y=\) | Впорядковані пари |
| −1 | −5 | (−1, −5) |
| 0 | −3 | (0, −3) |
| 1 | −1 | (1, −1) |
| 2 | 1 | (2, 1) |
| 3 | 3 | (3, 3) |
| 4 | 5 | (4, 5) |
Ми склали лише шість розв'язків рівняння\(y−2x=−3\). Рішень, як відомо, нескінченно багато. Спостерігаючи за шістьма точками, які ми намалювали, ми можемо спекулювати щодо розташування всіх інших точок. Шість точок, які ми намічали, здається, лежать на прямій лінії. Це змусило б нас повірити, що всі інші моменти (рішення) також лежать на тій самій лінії. Дійсно, це правда. Насправді саме тому рівняння першого ступеня називаються лінійними рівняннями.
Лінійний
↕ Лінійний
Загальна форма лінійного рівняння
Існує стандартна форма, в якій записуються лінійні рівняння в двох змінних. Припустимо\(a, b\), що, і\(c\) є будь-якими дійсними числами\(a\) і що і\(b\) не може бути нулем одночасно. Потім лінійне рівняння в двох змінних
\(ax+by=c\)
Кажуть, що в загальному вигляді.
Ми повинні обумовити це\(a\) і\(b\) не можуть одночасно дорівнювати нулю, бо якби вони були, ми б мали
\(0x+0y=c\)
\(0=c\)
Це твердження вірно тільки в тому випадку, якщо\(c=0\). \(c\)Якби було будь-яке інше число, ми отримаємо помилкове твердження.
Тепер у нас є наступне:
Графік всіх впорядкованих пар, які вирішують лінійне рівняння в двох змінних, дає пряму лінію.
Це означає,
Графік лінійного рівняння в двох змінних є прямою.
З цих тверджень можна зробити висновок,
Якщо впорядкована пара є розв'язком лінійного рівняння в двох змінних, то вона лежить на графіку рівняння.
Крім того,
Будь-яка точка (впорядковані пари), яка лежить на графіку лінійного рівняння у двох змінних, є рішенням цього рівняння.
Метод перехоплення графіків
Коли ми хочемо навести графік лінійного рівняння, це, безумовно, недоцільно графувати нескінченно багато точок. Оскільки пряма визначається лише двома точками, нам потрібно знайти лише два рішення рівняння (хоча третя точка корисна як перевірка).
Перехоплює
Коли лінійне рівняння в двох змінних дається загалом від\(ax+by=c\), часто дві найбільш зручні точки (рішення) для штрафу називаються перехопленнями: це точки, в яких лінія перехоплює координатні осі. Звичайно, горизонтальна або вертикальна лінія перехоплює тільки одну вісь, тому цей спосіб не застосовується. Горизонтальні та вертикальні лінії легко розпізнаються, оскільки містять лише одну змінну. (Див. Набір зразків C.)
\(y\)-Перехоплення
Точка, в якій пряма перетинає\(y\) -вісь, називається \(y\)-перехопленням. \(x\)Значення -в цій точці дорівнює нулю (оскільки точка не знаходиться ні ліворуч, ні праворуч від початку).
\(x\)-Перехоплення
Точка, в якій лінія перетинає\(x\) вісь -, називається\(x\) -intercept, а\(y\) -значення в цій точці дорівнює нулю. \(y\)-Перехоплення можна знайти, підставивши значення\(0\) для\(x\) в рівняння і розв'язавши для\(y\). \(x\)-Перехоплення можна знайти, підставивши значення\(0\) для\(y\) в рівняння і розв'язавши для\(x\).
Метод перехоплення
Оскільки ми графуємо рівняння шляхом знаходження перехоплень, ми називаємо цей метод методом перехоплення
Набір зразків A
Графік наступних рівнянь за допомогою методу перехоплення.
\(y - 2x = -3\)
Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x = 0\) і\(y = b\).
\ (\ begin {вирівняний}
b - 2 (0) &=-3\\
b-0&=-3\
b&=-3
\ end {вирівняний}\)
Таким чином, у нас є сенс\((0, 3)\). Так якщо\(x = 0, y = b = -3\).
Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y=0\) і\(x=a\).
\ (\ почати {вирівняний}
0-2a&=-3\\
-2a&=-3&\ текст {Розділити на} -2\
a&=\ dfrac {-3} {-2}\\
a&=\ dfrac {3} {2}
\ кінець {вирівняний}\)
Таким чином, у нас є сенс\((\dfrac{3}{2}, 0)\). Отже, якщо\(x=a=\dfrac{3}{2}, y=0\).
Побудуйте систему координат, побудуйте ці дві точки і проведіть через них лінію. Майте на увазі, що кожна точка на цій лінії є рішенням рівняння\(y−2x=−3\).
\(-2x + 3y = 3\)
Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x = 0\) і\(y = b\).
\ (\ почати {вирівняний}
-2 (0) + 3B & = 3\\
0 + 3b&= 3\\
3b&= 3\\
b&= 1
\ кінець {вирівняний}\)
Таким чином, у нас є сенс\((0, 1)\). Отже, якщо\(x = 0, y = b = 1\).
Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y = 0\) і\(x = a\).
\ (\ почати {вирівняний}
-2а + 3 (0) &=3\\
-2a+0&=3\\
-2a&=\ dfrac {3} {-2}\
a&=-\ dfrac {3} {2}
\ кінець {вирівняний}\)
Таким чином, у нас є сенс\((-\dfrac{3}{2}, 0)\). Отже, якщо\(x = a = -\dfrac{3}{2}, y=0\).
Побудуйте систему координат, побудуйте ці дві точки і проведіть через них лінію. Майте на увазі, що всі розв'язки рівняння\(−2x+3y=3\) знаходяться саме на цій лінії.
\(4x + y = 5\)
Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x = 0\) і\(y = b\).
\ (\ почати {вирівняний}
4 (0) + B & = 5\\
0+b&b = 5\\
b&= 5
\ end {вирівняний}\)
Таким чином, у нас є сенс\((0, 5)\). Отже, якщо\(x = 0, y = b = 5\).
Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y = 0\) і\(x = a\).
\ (\ почати {вирівняний}
4a+0&= 5\\
4a&= 5\\
a&=\ dfrac {5} {4}
\ кінець {вирівняний}\)
Побудуйте систему координат, побудуйте ці дві точки і проведіть через них лінію.
Практика Set A
Графік\(3x+y=3\) за допомогою методу перехоплення.
- Відповідь
-
Коли\(x=0, y=3\); коли\(y=0, x=1\)
Графік з використанням будь-яких двох або більше точок
Графіки, які ми побудували до цих пір, були зроблені шляхом знаходження двох конкретних точок - перехоплення. Власне, підійде будь-які два пункти. Ми вирішили використовувати перехоплення, оскільки з ними, як правило, найпростіше працювати. У наступному прикладі ми проведемо графік двох рівнянь, використовуючи точки, відмінні від перехоплень. Ми будемо використовувати три точки, додаткова точка служить перевіркою.
Набір зразків B
\(x - 3y = -10\)
Ми можемо знайти три точки, вибравши три\(x\) -значення та обчисливши, щоб знайти відповідні\(y\) -значення. Ми помістимо наші результати в таблицю для зручності читання.
Оскільки ми збираємося вибрати\(x\) -values, а потім обчислити, щоб знайти відповідні\(y\) -значення, нам буде на користь вирішити дане рівняння для\(y\).
\ (\ begin {вирівняний}
x-3y&=-10&\ text {Відняти} x\ text {з обох сторін.} \\
-3y&=-x-10&\ text {Розділити обидві сторони на} -3\\
y&=\ dfrac {1} {3} x +\ dfrac {10} {3}
\ end {вирівняний}\)
| \(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
| \(1\) | Якщо\(x = 1\), то\(y = \dfrac{1}{3}(1) + \dfrac{10}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{11}{3}\) | \((1, \dfrac{11}{3})\) |
| \(-3\) | Якщо\(x = -3\), то\(y = \dfrac{1}{3}(-3) + \dfrac{10}{3} = -1 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{3}\) | \((-3, \dfrac{7}{3})\) |
| \(3\) | Якщо\(x = 3\), то\(y = \dfrac{1}{3}(3) + \dfrac{10}{3} = 1 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{13}{3}\) | \((3, \dfrac{13}{3})\) |
Таким чином, ми маємо три впорядковані пари (точки),\((1, \dfrac{11}{3}), (-3, \dfrac{7}{3}), (3, \dfrac{13}{3})\). При бажанні ми можемо змінити неправильні дроби на мішані числа. \((1, 3\dfrac{2}{3}), (-3, 2\dfrac{1}{3}), (3, 4\dfrac{1}{3})\).
\(4x + 4y = 0\)
Вирішуємо для\(y\).
\ (4у = -4х\\
у = -х\)
| \(x\) | \(y\) | \((x, y)\) |
| \(0\) | \(0\) | \((0, 0)\) |
| \(2\) | \(-2\) | \((2, -2)\) |
| \(-3\) | \(3\) | \((-3, 3)\) |
Зверніть увагу, що\(x\) і\(y\) -перехоплення - це одна і та ж точка. Таким чином, метод перехоплення не дає достатньо інформації для побудови цього графіка.
Коли рівняння дається в загальному вигляді\(ax+by=c\), зазвичай найбільш ефективним підходом до побудови графа є використання методу перехоплення, коли він працює.
Практика Set B
Графік наведено нижче рівняння.
\(x−5y=5\)
- Відповідь
-
\(x+2y=6\)
- Відповідь
-
\(2x+y=1\)
- Відповідь
-
Графік прямої, що проходить через дві точки з координатами нуль, одна і одна, від'ємна.
Похилі, горизонтальні та вертикальні лінії
У всіх графіках, які ми спостерігали до цих пір, лінії були похилими. Це завжди буде так, коли обидві змінні з'являться в рівнянні. Якщо в рівнянні фігурує тільки одна змінна, то лінія буде або вертикальною, або горизонтальною. Щоб зрозуміти чому, розглянемо конкретний випадок:
Використовуючи загальну форму прямої\(ax+by=c\), ми можемо отримати рівняння з рівно однією змінною\(a=0, b=5\), вибравши, і\(c=15\). Рівняння\(ax+by=c\) тоді стає
\(0x+5y=15\)
Так як\(0 \cdot (\text{Any Number}) = 0\), термін\(0x\) призначений\(0\) для будь-якого числа, для якого вибирається\(x\).
Таким чином,
\(0x + 5y = 15\)
стає\(0 + 5y = 15\).
Але,\(0\) є адитивна ідентичність і\(0 + 5y = 5y\).
\(5y = 15\).
Тоді, вирішуючи для\(y\) ми отримуємо:
\(y = 3\)
Це рівняння, в якому фігурує рівно одна змінна.
Це означає, що незалежно від того\(x\), для якого числа ми виберемо, відповідне\(y\) -значення є\(3\). Оскільки\(y\) значення -завжди таке ж, як ми рухаємося зліва направо через\(x\) -значення, висота лінії над\(x\) -віссю завжди однакова (в даному випадку 3 одиниці). Цей тип ліній повинен бути горизонтальним.
Аргумент, подібний до наведеного вище, покаже, що якщо єдина змінна\(x\), яка з'являється, ми можемо очікувати отримати вертикальну лінію.
Набір зразків C
Графік\(y=4\).
Єдина змінна, що з'являється, є\(y\). Незалежно від того, який\(x\) -value ми вибираємо,\(y\) -value завжди\(4\). Всі точки з\(y\) -значенням\(4\) задовольняють рівнянню. Таким чином ми отримаємо\(4\) одиницю горизонтальної лінії над\(x\) -віссю.
| \(x\) | \(y\) | \((x, y)\) |
| \(−3\) | \(4\) | \((−3, 4)\) |
| \(−2\) | \(4\) | \((−2, 4)\) |
| \(−1\) | \(4\) | \((−1, 4)\) |
| \(0\) | \(4\) | \((0, 4)\) |
| \(1\) | \(4\) | \((1, 4)\) |
| \(2\) | \(4\) | \((2, 4)\) |
| \(3\) | \(4\) | \((3, 4)\) |
| \(4\) | \(4\) | \((4, 4)\) |
Графік\(x=−2\).
Єдина змінна, яка з'являється, це\(x\). Незалежно від того, який\(y\) -value ми виберемо,\(x\) значення -value завжди буде\(−2\). Таким чином, ми отримуємо вертикальну лінію на дві одиниці зліва від\(y\) -осі.
| \(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
| \(−2\) | \(−4\) | \((−2, −4)\) |
| \(−2\) | \(−3\) | \((−2, −3)\) |
| \(−2\) | \(−2\) | \((−2, −2)\) |
| \(−2\) | \(−1\) | \((−2, −1)\) |
| \(−2\) | \(0\) | \((−2, 0)\) |
| \(−2\) | \(1\) | \((−2, 1)\) |
| \(−2\) | \(2\) | \((−2, 0)\) |
| \(−2\) | \(3\) | \((−2, 3)\) |
| \(−2\) | \(4\) | \((−2, 4)\) |
Практика Set C
Графік\(y=2\).
- Відповідь
-
Графік\(x=−4\).
- Відповідь
-
Підсумовуючи наші результати, ми можемо зробити наступні спостереження:
- Коли лінійне рівняння в двох змінних записується у вигляді\(ax+by=c\), ми говоримо, що воно пишеться в загальному вигляді.
- Для побудови графіка рівняння в загальному вигляді іноді зручно використовувати метод перехоплення.
- Лінійне рівняння, в якому з'являються обидві змінні, буде графувати як похилу лінію.
- Лінійне рівняння, в якому з'являється лише одна змінна, буде графувати як вертикальну, так і горизонтальну лінію.
\(x=a\)графіки у вигляді вертикальної лінії, що проходить\(a\) на\(x\) -осі.
\(y=b\)графіки у вигляді горизонтальної лінії, що проходить\(b\) на\(y\) -осі.
Вправи
Для наступних задач складіть графік рівнянь.
\(−3x+y=−1\)
- Відповідь
-
\(3x−2y=6\)
\(−2x+y=4\)
- Відповідь
-
\(x−3y=5\)
\(2x−3y=6\)
- Відповідь
-
\(2x+5y=10\)
\(3(x−y)=9\)
- Відповідь
-
\(−2x+3y=−12\)
\(y+x=1\)
- Відповідь
-
\(4y−x−12=0\)
\(2x−y+4=0\)
- Відповідь
-
\(−2x+5y=0\)
\(y−5x+4=0\)
- Відповідь
-
\(0x+y=3\)
\(0x+2y=2\)
- Відповідь
-
\(0x + \dfrac{1}{4}y = 1\)
\(4x+0y=16\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{2}x + 0y = -1\)
\(\dfrac{2}{3}x + 0y = 1\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{3}{2}\)
\(y=3\)
\(y=−2\)
- Відповідь
-
\(y=−2\)
\(−4y=20\)
\(x=−4\)
- Відповідь
-
\(−3x=−9\)
\(−x+4=0\)
- Відповідь
-
Побудувати графік всіх точок, які мають координати\((a, a)\), тобто для кожної точки\(x\) і\(y\) -значення однакові.
\(2.53x+4.77y=8.45\)
- Відповідь
-
\(1.96x+2.05y=6.55\)
\(4.1x−6.6y=15.5\)
- Відповідь
-
\(626.01x−506.73y=2443.50\)
Вправи для рецензування
Назвіть властивість дійсних чисел, що робить\(4+x=x+4\) істинне твердження.
- Відповідь
-
комутативна властивість додавання
Поставити відсутнє слово. Абсолютне значення числа\(a\), що позначається\(|a|\), - це від\(a\) до\(0\) на числовому рядку.
Знайдіть товар\((3x+2)(x−7)\).
- Відповідь
-
\(3x^2−19x−14\)
Розв'яжіть рівняння\(3[3(x−2)+4x]−24=0\)
Поставити відсутнє слово. Осі координат ділять площину на чотири рівні області, які називаються.
- Відповідь
-
квадранти