7.3: Побудова точок на площині

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58569

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Літак

Впорядковані пари

Нас зараз цікавить вивчення графіків лінійних рівнянь в двох змінних. Ми знаємо, що розв'язки рівнянь у двох змінних складаються з пари значень, по одному значенню для кожної змінної. Ми назвали ці пари значень впорядкованими парами. Оскільки у нас є пара значень для графіка, ми повинні мати пару осей (числових ліній), на яких значення можуть бути розташовані.

Походження

Ми намалюємо осі так, щоб вони були перпендикулярні один одному і так, щоб вони перетиналися один з одним у своїх 0 х. Ця точка називається початком.

$Координатна площина xy з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком один на обох осях.$

Прямокутна система координат

Ці дві лінії утворюють так звану прямокутну систему координат. Вони також визначають площину.

$xy$-літак

Площина - це плоска поверхня, і в результаті геометрії зазначено, що через будь-які дві пересічні лінії (осі) може бути пропущена рівно одна площина (плоска поверхня). Якщо ми маємо справу з лінійним рівнянням у двох змінних$x$ і$y$, ми іноді говоримо, що ми графікуємо рівняння за допомогою прямокутної системи координат, або що ми графікуємо рівняння в$xy$ -площині.

Квадрант

Зверніть увагу, що дві пересічні координатні осі ділять площину на чотири рівні області. Оскільки існує чотири регіони, ми називаємо кожну з них квадрантом і нумеруємо їх проти годинникової стрілки, використовуючи римські цифри.

$Прямокутна система координат з квадрантами, позначені як I, II, III і IV, починаючи з квадранта, розташованого у верхній правій частині і йде навколо проти годинникової стрілки.$

Нагадаємо, що при першому вивченні числової лінії ми спостерігали наступне:

Для кожного дійсного числа існує унікальна точка на числовій лінії, і для кожної точки на числовій лінії ми можемо зв'язати унікальне дійсне число.

Аналогічна ситуація у нас і для літака.

Для кожної$(a, b)$ впорядкованої пари існує унікальна точка на площині, і до кожної точки на площині ми можемо пов'язати унікальну впорядковану пару$(a, b)$ дійсних чисел.

Координати точки

Координати точки

Числа в впорядкованій парі, які пов'язані з певною точкою, називаються координатами точки. Перше число в впорядкованій парі виражає горизонтальну відстань і напрямок точки (ліворуч або праворуч) від початку. Друге число виражає вертикальну відстань і напрямок точки (вгору або вниз) від початку.

Координати визначають відстань і напрямок

Позитивне число означає напрямок вправо або вгору. Від'ємне число означає напрямок вліво або вниз.

$Точка з від'ємними координатами два, три нанесені на прямокутну систему координат з текстовим повідомленням «Ця точка розташована на двох одиницях ліворуч від початку і на три одиниці вгору від початку.» написано у зовнішній області площини.$

Графік точок

Оскільки точки та впорядковані пари настільки тісно пов'язані, ці два терміни іноді використовуються взаємозамінно. Наступні дві фрази мають однакове значення:

Помістіть крапку$(a, b)$.
Змова на впорядковану пару$(a, b)$.

Побудова точки

Обидві фрази означають: Знайдіть у площині точку, пов'язану з впорядкованою парою,$(a, b)$ і намалюйте позначку в цьому положенні.

Набір зразків A

Приклад$\PageIndex{1}$

Змова на впорядковану пару$(2, 6)$.

Починаємо з початку. Перше число в впорядкованій парі, 2, говорить нам, що ми рухаємо 2 одиниці вправо ($+2$означає 2 одиниці праворуч) Друге число в впорядкованій парі, 6, говорить нам, що ми рухаємо 6 одиниць вгору ($+6$означає 6 одиниць вгору).

$Координатна площина xy від негативних десяти до десяти з кроком один. Графік містить стрілку від початку до точки на дві одиниці праворуч від початку та іншу стрілку від кінця першої стрілки до точки на шість одиниць вище. Координати точки, де закінчується друга стрілка, дві, шість. Існує текстове повідомлення з графіком, що говорить: «Іноді корисно прочитати два, шість» як «якщо х дорівнює двом, то y дорівнює шести».$

Іноді корисно читати$(2,6)$ як «якщо$x = 2$, то$y = 6$.

Практика Set A

Завдання практики$\PageIndex{1}$

Ділянка впорядкованих пар.

$(1, 3), (4, −5), (0, 1), (−4, 0)$.

$Координатна площина xy з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком один на обох осях.$

Відповідь

(Зверніть увагу, що пунктирні лінії на графіку призначені лише для ілюстрації і не повинні бути включені при побудові точок.)

$Координатна площина xy з лініями сітки, позначені негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком один на обох осях. Графік містить чотири побудовані координатні пари: від'ємні чотири, нуль; один, три; нуль, один; і чотири, негативні п'ять.$

вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Побудуйте наступні впорядковані пари. (Не малюйте стрілки, як на практиці Set A)
$(8, 2), (10, −3), (−3, 10), (0, 5), (5, 0), (0, 0), (−7, -\dfrac{3}{2})$.

$Координатна площина xy з лініями сітки, позначені негативними десятками і десятьма з кроком один на обох осях.$

Відповідь: $Всього сім точок, нанесених на площину координат xy. Координати цих точок - від'ємні три, десять; нуль, п'ять; нуль, нуль; п'ять, нуль; вісім, два; десять, негативні три; і негативні сім, негативні три над двома.$

Вправа$\PageIndex{2}$

Як можна точніше вкажіть координати точок, які були побудовані на наступному графіку.

$Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними десятками і десятьма з кроком один на обох осях і мітками кожні дві одиниці. Точки A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P наносяться без вказівки координат кожної точки.$

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуючи впорядковані парні позначення, які координати походження?

Відповідь: Координати походження є$(0,0)$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Відомо, що розв'язки лінійних рівнянь у двох змінних можуть бути виражені у вигляді впорядкованих пар. Значить, рішення можуть бути представлені у вигляді точок на площині. Розглянемо лінійне рівняння$y=2x−1$. Знайдіть щонайменше десять розв'язків цього рівняння, вибравши$x$ -значення між$−4$$5$ і і обчислюючи відповідні значення y. Покладіть ці рішення на системі координат нижче. Заповніть таблицю, щоб допомогти вам відстежувати впорядковані пари.

$x$

$y$

$Координатна площина xy з лініями сітки, від негативних десяти до десяти з кроком один на обох осях і мітками кожні дві одиниці.$

Маючи на увазі, що існує нескінченно багато впорядкованих парних рішень$y=2x−1$, спекулюйте на геометричній структурі графіка всіх розв'язків. Заповніть наступну заяву:

Назва типу геометричної структури графа всіх розв'язків лінійного рівняння
$y=2x−1$ начебто __________.

Де ця цифра перетинає вісь y? Чи фігурує це число в рівнянні$y=2x−1$?

Помістіть олівець в будь-яку точку на малюнку (можливо, вам доведеться з'єднати точки, щоб чітко бачити малюнок). Перемістіть олівець рівно на одну одиницю вправо (горизонтально). Щоб повернутися до фігури, ви повинні переміщати олівець або вгору, або вниз на певну кількість одиниць. Скільки одиниць ви повинні рухатися вертикально, щоб повернутися до фігури, і чи бачите ви це число в рівнянні$y=2x−1$?

Вправа$\PageIndex{5}$

Розглянемо$xy$ -площину.

$Прямокутна система координат з квадрантами, позначеними I, II, III та IV, починаючи з квадранта, розташованого у верхній правій частині та рухаючись проти годинникової стрілки.$

Доповніть таблицю, написавши відповідні нерівності.

Я	II	III	IV
$x > 0$	$x < 0$	$x$	$x$
$y > 0$	$y$	$y$	$y$

У наступних задачах графіки точок називаються діаграмами розсіювання і часто використовуються статистиками, щоб визначити, чи існує зв'язок між двома розглянутими змінними. Перший компонент впорядкованої пари називається вхідною змінною, а другий компонент - вихідною змінною. Побудувати діаграми розсіювання. Визначте, чи існує зв'язок між двома розглянутими змінними, зробивши наступні спостереження: Зв'язок може існувати, якщо

як одна змінна збільшується, інша змінна збільшується
як одна змінна збільшується, інша змінна зменшується

Відповідь

Я	II	III	IV
$x > 0$	$x < 0$	$x < 0$	$x > 0$
$y > 0$	$y > 0$	$y < 0$	$y < 0$

Вправа$\PageIndex{6}$

Психолог, вивчаючи вплив плацебо на працівників конвеєрної лінії на конкретному промисловому майданчику, зазначив час, необхідний для складання певного предмета, перш ніж суб'єкту було дано плацебо$x$, і час, який знадобився для складання подібного предмета після того, як випробуваному дали плацебо,$y$. Дані психолога

$x$	$y$
10	8
12	9
11	9
10	7
14	11
15	12
13	10

$Координатна площина xy без ліній сітки. Вісь X йде до п'ятнадцяти, а вісь y - до дванадцяти. Вісь х розбивається, щоб почати з десяти, а потім збільшується з інтервалом в одну одиницю. Вісь Y розбивається, щоб почати з шести, а потім збільшується з інтервалом в дванадцять.$

Вправа$\PageIndex{7}$

Наступні дані були отримані в інженерному дослідженні взаємозв'язку між величиною тиску, що використовується для формування частини машини$x$, і кількістю дефектних одиниць вироблених машин,$y$.

$x$	$y$
50	0
60	1
65	2
70	3
80	4
70	5
90	5
100	5

$Координатна площина xy без ліній сітки. Вісь X йде до ста, а вісь у - до шести. Вісь х розбивається, щоб почати в п'ятдесят, а потім збільшується з інтервалом в десять одиниць. Вісь Y йде до шести з кроком в один.$

Відповідь

Так, здається, є відношення.

$Всього вісім точок, нанесених в координатній площині xy без ліній сітки. Вісь X йде до ста, а вісь у - до шести. Вісь х починається з п'ятдесяти, а потім збільшується з інтервалом в десять одиниць. Вісь Y йде до шести з кроком в один. Координати точок - п'ятдесят, нуль; шістдесят, один; шістдесят п'ять, два; сімдесят, три; сімдесят, п'ять; вісімдесят, чотири; дев'яносто, п'ять; і сто, п'ять.$

Вправа$\PageIndex{8}$

Наступні дані представляють кількість робочих днів, пропущених за рік$x$, співробітниками страхової компанії та кількість хвилин, які вони прибувають із запізненням з обіду,$y$.

$x$	$y$
1	3
6	4
2	2
2	3
3	1
1	4
4	4
6	3
5	2
6	1

$Координатна площина xy без ліній сітки. Вісь X йде до семи з кроком один, а вісь y - до п'яти з кроком в один.$

Вправа$\PageIndex{9}$

Виробник стоматологічного обладнання має наступні дані про вартість одиниці (в доларах)$y$, конкретної позиції та кількості одиниць$x$, виготовлених для кожного замовлення.

$x$	$y$
1	85
3	92
5	99
3	91
4	100
1	87
6	105
8	111
8	114

$Координатна площина xy без ліній сітки. Вісь X йде до десяти з кроком в один. Вісь y розбита, щоб почати з вісімдесяти п'яти і йде з кроком п'ятнадцять після цього, з останньою міткою сто п'ятнадцять. Вісь X йде до десяти з кроком в один.$

Відповідь

Так, здається, є відношення.

$Всього дев'ять точок, нанесених у площині координат xy, без ліній сітки. Вісь X йде до десяти, а вісь у - до ста п'ятнадцяти. Вісь Y починається з вісімдесяти п'яти, а потім збільшується з інтервалом в п'ять одиниць. Вісь X йде до десяти з кроком в один. Координати точок одна, вісімдесят п'ять, одна, вісімдесят сім, три, дев'яносто один, три, дев'яносто два, чотири, сто, п'ять, дев'яносто дев'ять, шість, сто п'ять, вісім, сто одинадцять, і вісім, сто чотирнадцять.$

Вправи для рецензування

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити$(\dfrac{18x^5y^6}{9x^2y^4})^5$

Вправа$\PageIndex{11}$

Поставити відсутнє слово. An - твердження, що два алгебраїчні вирази рівні.

Відповідь: рівняння

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити вираз$5xy(xy−2x+3y)−2xy(3xy−4x)−15xy^2$.

Вправа$\PageIndex{13}$

Визначте рівняння$x + 2 = x + 1$ як ідентичність, протиріччя або умовне рівняння.

Відповідь: протиріччя

Вправа$\PageIndex{14}$

Поставити відсутню фразу. Система осей, побудована для побудови графіків рівняння, називається

Я	II	III	IV
\(x > 0\)	\(x < 0\)	\(x\)	\(x\)
\(y > 0\)	\(y\)	\(y\)	\(y\)

Я	II	III	IV
\(x > 0\)	\(x < 0\)	\(x < 0\)	\(x > 0\)
\(y > 0\)	\(y > 0\)	\(y < 0\)	\(y < 0\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)