7.2: Графік лінійних рівнянь та нерівностей в одній змінній

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58575

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Графіки

Ми до теперішнього часу в нашому вивченні алгебри розробили і використовували кілька методів отримання розв'язків лінійних рівнянь як в одній, так і в двох змінних. Досить часто корисно отримати картину розв'язків рівняння. Ці зображення називаються графіками, і вони можуть виявити інформацію, яка може не бути очевидною лише з рівняння.

Графік рівняння

Геометричне зображення (малюнок) розв'язків рівняння називається графом рівняння.

Осі, системи координат та розміри

Вісь

Базовою структурою графіка є вісь. Саме по відношенню до осі розташовані всі розв'язки рівняння. Найбільш фундаментальним типом осі є числова лінія.

Числовий рядок є віссю

$Числова лінія зі стрілками на кожному кінці і позначається від негативних п'яти до п'яти з кроком в один. Існує стрілка, що вказує на цифрову лінію з міткою: «Ця цифрова лінія є віссю».$

У нас є такі загальні правила щодо осей.

Кількість змінних і кількість осей

Рівняння в одній змінній вимагає однієї осі.
Рівняння в двох змінних вимагає двох осей.
Рівняння в трьох змінних вимагає трьох осей.
... Рівняння в nn змінних вимагає nn осей.

Ми завжди будемо малювати вісь як пряму лінію, і якщо потрібно більше однієї осі, ми намалюємо їх так, щоб всі вони були взаємно перпендикулярними (лінії, що утворюють осі, будуть під кутом 90° один до одного).

Система координат

Система осей, побудована для побудови графіків рівняння, називається системою координат.

Фраза, графічне рівняння Фраза, що графує рівняння, використовується часто і її слід інтерпретувати як значення геометричного розташування розв'язків рівняння.

Співвідношення кількості змінних та кількості осей

Ми не почнемо фактично графічні рівняння до розділу 7.3, але в наступних прикладах ми будемо співвідносити кількість змінних у рівнянні з кількістю осей у системі координат.

1. Одновимірні графіки:

Якщо ми хочемо скласти графік рівняння$5x+2=17$, нам потрібно буде побудувати систему координат, що складається з однієї осі (однієї числової лінії), оскільки рівняння складається лише з однієї змінної. Позначаємо вісь змінною, яка фігурує в рівнянні.

$Числовий рядок зі стрілками на кожній стороні позначені від негативних чотирьох до шести з кроком в один. Числовий рядок позначено x. На числовій лінії є стрілка, яка вказує на цифрову лінію з міткою: «Ця вісь є лінією, а лінії мають одновимірну довжину». Існує ще одна стрілка, що вказує на цифру три з міткою: «Графіки - це точки».$

Ми могли б інтерпретувати рівняння в одній змінній як надання інформації в одновимірному просторі. Оскільки ми живемо в тривимірному просторі, одновимірний простір може бути важко уявити. Об'єкти в одновимірному просторі мали б тільки довжину, без ширини або глибини.

2. Двовимірні графіки:

Для побудови рівняння у двох змінних, таких як$y=2x–3y$, нам потрібно побудувати систему координат, що складається з двох взаємно перпендикулярних числових ліній (осей). Ми називаємо перетин двох осей початком і позначаємо його 0. Дві осі - це просто числові лінії; одна намальована горизонтально, одна намальована вертикально.

$Площина xy з лініями сітки та прямою лінією, що проходить через квадранти один, три та чотири. У напрямку до цієї лінії є стрілка з міткою «Загалом, графіки є кривими (прямими або кривими)». Існує ще одна стрілка, що вказує на площину xy з міткою «Це площина, а площини двовимірні: довжина і ширина».$

Нагадаємо, що рівняння в двох змінних вимагає, щоб рішення було парою чисел. Розв'язки можуть бути записані у вигляді впорядкованих пар$(x,y)$. Оскільки рівняння$y=2x–3$ включає змінні$x$ і$y$, ми позначаємо одну вісь,$x$ а іншу вісь$y$. У математиці прийнято позначати горизонтальну вісь незалежною змінною, а вертикальну вісь - залежною змінною.

Ми могли б інтерпретувати рівняння в двох змінних як надання інформації в двовимірному просторі. Об'єкти в двовимірному просторі мали б довжину і ширину, але без глибини.

3. Тривимірні графіки:

Рівняння в трьох змінних, наприклад$3x^2–4y^2+5z=0$, вимагає трьох взаємно перпендикулярних осей, по одній для кожної змінної. Ми б побудували наступну систему координат і графік.

$Тривимірна площина x y z і графік довільної поверхні. На поверхні є стрілки з наступними мітками: 'Це тривимірний: довжина, ширина і глибина. Графіки - це поверхні. Ми не будемо розглядати ці типи графіків, оскільки вони занадто складні для малювання».$

Ми могли б інтерпретувати рівняння в трьох змінних як надання інформації про тривимірний простір.

4. Чотиривимірні графіки

Для графіка рівняння в чотирьох змінних, наприклад$3x–2y+8x–5w=–7$, потрібно чотири взаємно перпендикулярні числові лінії. Ці графіки залишаються на уяві.

Ми могли б інтерпретувати рівняння в чотирьох змінних як надання інформації в чотиривимірному просторі. Чотиривимірні об'єкти мали б довжину, ширину, глибину та деякі інші розміри.

Чорні діри

Ці інші простори нам важко уявити, але існування «чорних дір» робить можливість інших всесвітів одного-, двох-, чотирьох- або n-вимірів не зовсім малоймовірною. Хоча нам «3-D» людям може бути важко подорожувати в іншому вимірному просторі, принаймні ми могли б бути впевнені, що наша математика все одно буде працювати (оскільки вона не обмежується лише трьома вимірами)!

Графік в одному вимірі

Графік лінійного рівняння в одній змінній передбачає вирішення рівняння, потім розташування рішення на осі (числовій лінії) та позначення точки в цьому місці. Ми спостерігали, що графіки можуть виявляти інформацію, яка може не бути очевидною з вихідного рівняння. Графіки лінійних рівнянь в одній змінній не дають багато, якщо такі є, інформації, але служать основою для графіків вищої розмірності (графіків двох змінних і трьох змінних).

Набір зразків A

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік рівняння$3x–5=10$.

Вирішити рівняння для$x$ і побудувати вісь. Так як є тільки одна змінна, нам потрібна тільки одна вісь. Позначте вісь$x$.

\ (\ почати {вирівняний}
3x-5&=&10\\
3x&=&15\\
x&=&5
\ кінець {вирівняний}\)

$Числовий рядок з позначкою x зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних трьох до семи, з кроком один. Є замкнуте коло на п'ятірку.$

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік рівняння$3x + 4 + 7x - 1 + 8 = 31$.

Вирішуючи рівняння отримаємо,

\ (\ почати {вирівняний}
10x+11&=&31\\
10x&+&20\\
x&=&2
\ кінець {вирівняний}\)

$Числовий рядок з позначкою x зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних п'яти до п'яти, з кроком один. Є замкнуте коло на двох.$

Практика Set A

Завдання практики$\PageIndex{1}$

Графік рівняння$4x + 1 = -7$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x = -2$

$Числовий рядок з позначкою x зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних п'яти до п'яти, з кроком один. На негативних два є замкнуте коло.$

Набір зразків B

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік лінійної нерівності$4x /ge 12$.

Приступаємо до вирішення нерівності.

\ (\ begin {вирівняний}
4x&\ ge&12&\ text {Розділити кожну сторону на} 4\
x &\ ge&3
\ end {вирівняний}\)

Як ми знаємо, будь-яке значення більше або рівне 3 задовольнить вихідну нерівність. Отже, у нас є нескінченно багато рішень і, таким чином, нескінченно багато моментів, які слід відзначити на нашому графіку.

$Числовий рядок з позначкою x зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних чотирьох до шести, з кроком один. Є замкнуте коло на трьох з темною затіненою стрілкою праворуч від трьох.$

Замкнуте коло на 3 означає, що 3 включається як розчин. Всі точки, що починаються з 3 і в напрямку стрілки, є розв'язками.

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік лінійної нерівності$-2y-1 > 3$.

Спочатку вирішуємо нерівність.

\ (\ begin {вирівняний}
-2y-1 & > &3\\
-2y& > &4\\
y& < &-2&\ text {Символ нерівності змінив напрямок, тому що ми розділили на} -2
\ end {вирівняний}\)

Таким чином, всі числа строго менше, ніж$-2$ задовольнять нерівність і, таким чином, є розв'язками.

Так як$-2$ сам по собі не повинен бути включений в якості рішення, малюємо розімкнуте коло при$−2$. Рішення знаходяться зліва від$−2$ тому ми малюємо стрілку, що вказує ліворуч від,$−2$ щоб позначити область розв'язків.

$Числовий рядок, позначений y зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних п'яти до п'яти, з кроком один. На негативних двох є відкрите коло з темною затіненою стрілкою зліва від негативних двох.$

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік нерівності$-2 \le y+1 < 1$.

Ми визнаємо цю нерівність складною нерівністю і вирішуємо її, віднімаючи 1 з усіх трьох частин.

\ (\ begin {вирівняний}
-2\ le y+1 < 1\\
-3\ le y < 0
\ end {вирівняний}\)

Таким чином, розв'язком є всі числа від −3 до 0, точніше всі числа більші або рівні −3, але строго менше 0.

$Числовий рядок, позначений y зі стрілками на кожному кінці, і позначений від негативних п'яти до п'яти з кроком один. Існує замкнуте коло на негативних трьох і відкрите коло на нулі, з чорною затіненою лінією, що з'єднує два кола.$

Приклад$\PageIndex{6}$

Графік лінійного рівняння$5x = -125$.

Рішення є$x = -25$. Масштабування осі за одиницями$1$,$5$ а не, отримаємо

$Числовий рядок, позначений x зі стрілками на кожному кінці, і позначений від негативних п'ятдесяти до п'ятдесяти з кроком десять. Існує замкнуте коло, позначене негативним двадцять п'ять, на півдорозі між негативними тридцятьма та негативними двадцятьма.$

Практика Set B

Завдання практики$\PageIndex{2}$

Графік нерівності$3x \le 18$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x \le 6$

$Числовий рядок з позначкою x зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних двох до восьми, з кроком один. Зліва від шести є замкнуте коло на шість з темною затіненою стрілкою.$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

Графік нерівності$−3m+1<13$.

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$m>−4$

$Числовий рядок з позначкою m зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних п'яти до п'яти, з кроком один. На негативній четвірці відкрите коло з темною затіненою стрілкою праворуч від негативних чотирьох.$

Завдання практики$\PageIndex{4}$

Графік нерівності$−3≤x−5<5$.

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$2≤x<10$

$Числовий рядок, позначений x зі стрілками на кожному кінці, і позначений від одинадцяти до одинадцяти з кроком один. Існує замкнуте коло на двох і відкрите коло на десять, з чорною затіненою лінією, що з'єднує два кола.$

Завдання практики$\PageIndex{5}$

Графік лінійного рівняння$−6y=480$.

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$y=−80$

$Числовий рядок, позначений y зі стрілками на кожному кінці, позначений від від'ємної сотні до нуля, з кроком десять. Є замкнуте коло на негативні вісімдесят.$

Вправи

Для задач 1 - 25 графують лінійні рівняння та нерівності.

Вправа$\PageIndex{1}$

$4x+7=19$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x=3$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних двох до чотирьох з кроком один. Є замкнуте коло на три.$

Вправа$\PageIndex{2}$

$8x−1=7$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{3}$

$2x+3=4$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x = \dfrac{1}{2}$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних двох до чотирьох з кроком один. Існує замкнуте коло в точці між нулем і одиницею.$

Вправа$\PageIndex{4}$

$x+3=15$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{5}$

$6y+3=y+8$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$y=1$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних двох до чотирьох з кроком один. У одного є замкнуте коло.$

Вправа$\PageIndex{6}$

$2x=0$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{7}$

$4+1−4=3z$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$z = \dfrac{1}{3}$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативного до двох з кроком в одну третину. Є замкнуте коло на одну третину.$

Вправа$\PageIndex{8}$

$x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{3}$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{9}$

$7r = \dfrac{1}{4}$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$r = \dfrac{1}{28}$

$Числова лінія зі стрілками на кожному кінці, позначена з негативним один над двадцять вісім до трьох понад двадцять вісім з кроком один двадцять восьмий. Існує замкнуте коло при негативному один понад двадцять вісім.$

Вправа$\PageIndex{10}$

$2x - 6 = \dfrac{2}{5}$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{11}$

$x+7≤12$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x≤5$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативного до шести, з кроком один. Є замкнуте коло на п'ять. Темна стрілка бере початок з цього кола і прямує ліворуч від п'яти.$

Вправа$\PageIndex{12}$

$y−5<3$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{13}$

$x+19>2$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x>−17$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативних двадцяти до нуля, з кроком п'ять. Виникає відкрите коло при негативних сімнадцяти. Темна стрілка бере початок з цього кола, і прямує праворуч від негативних сімнадцяти.$

Вправа$\PageIndex{14}$

$z+5>11$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{15}$

$3m−7≤8$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$m≤5$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від негативного до восьми, з кроком один. Є замкнуте коло на п'ять. Темна стрілка бере початок з цього кола і прямує ліворуч від п'яти.$

Вправа$\PageIndex{16}$

$−5t≥10$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{17}$

$−8x−6≥34$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$x≤−5$

$Числова лінія зі стрілками на кожному кінці, позначена від негативних восьми до негативних двох, з кроком один. Існує замкнуте коло при негативній п'ятірці. Темна стрілка бере початок з цього кола і прямує ліворуч від негативної п'ятірки.$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{x}{4} < 2$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{y}{7} \le 3$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$y≤21$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від п'ятнадцяти до двадцяти трьох, з кроком в один. Виникає замкнуте коло в двадцять один. Темна стрілка бере початок з цього кола і прямує ліворуч від двадцяти одного.$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{2y}{9} \ge 4$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{-5y}{8} \le 4$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$y \ge -\dfrac{32}{5}$

$Числова лінія зі стрілками на кожному кінці, позначена від негативних семи до негативних двох, з кроком один. Існує замкнуте коло в точці між негативними шістьма і негативними сімома, позначені як негативні тридцять два над п'ятьма. Темна стрілка бере початок з цього кола, і прямує праворуч від негативних тридцяти двох.$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{-6a}{7} < -4$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{23}$

$−1≤x−3<0$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$2≤x<3$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від нуля до чотирьох з кроком один. У двох є замкнуте коло, а відкрите коло - на три. Ці кола з'єднуються чорною лінією.$

Вправа$\PageIndex{24}$

$6≤x+4≤7$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Вправа$\PageIndex{25}$

$−12<−2x−2≤−8$

$Горизонтальна лінія зі стрілками на обох кінцях.$

Відповідь

$3≤x<5$

$Числовий рядок зі стрілками на кожному кінці, позначений від двох до п'яти з кроком в один. Є замкнуте коло на три і відкрите коло на п'ять. Ці кола з'єднуються чорною лінією.$

Вправи для рецензування

Вправа$\PageIndex{26}$

Спростити$(3x^8y^2)^3$.

Вправа$\PageIndex{27}$

Перерахуйте, якщо такі мають з'явитися, загальні фактори у виразі$10x^4−15x^2+5x^6$.

Відповідь: $5x^2$

Вправа$\PageIndex{28}$

Вирішити нерівність$−4(x+3)<−3x+1$.

Вправа$\PageIndex{29}$

Вирішити рівняння$y=−5x+8$ якщо$x=−2$.

Відповідь: $(−2,18)$

Вправа$\PageIndex{30}$

Вирішити рівняння$2y=5(3x+7)$ якщо$x=−1$.

Графіки

Графік рівняння

Осі, системи координат та розміри

Система координат

Графік в одному вимірі

Набір зразків A

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Практика Set A

Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

Набір зразків B

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Практика Set B

Завдання практики\(\PageIndex{2}\)

Завдання практики\(\PageIndex{3}\)

Завдання практики\(\PageIndex{4}\)

Завдання практики\(\PageIndex{5}\)

Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Вправи для рецензування

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

Вправа\(\PageIndex{28}\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

Вправа\(\PageIndex{30}\)