5.3: Розв'язування рівнянь виду ax = b і x/a = b

Властивість рівності ділення та множення

Нагадуючи, що знак рівності рівняння вказує на те, що число, представлене виразом з лівого боку, таке ж, як і число, представлене виразом з правого боку, говорить про властивість рівності ділення і множення, яке говорить:

1. Ми можемо отримати еквівалентне рівняння, розділивши обидві сторони рівняння на одне і те ж ненульове число, тобто якщо$c \not = 0$, то$a = b$ еквівалентно$\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$.
2. Ми можемо отримати еквівалентне рівняння, помноживши обидві сторони рівняння на одне і те ж ненульове число, тобто якщо$c \not = 0$, то$a = b$ еквівалентно$ac=bc$.

Ми можемо використовувати ці результати для виділення x, вирішуючи таким чином рівняння для x.

Приклад$\PageIndex{1}$

Рішення$ax = b$ для$x$

\ (\ begin {масив} {flushleft}
ax&=&b&a\ text {пов'язаний з} x\ text {множенням.}\\
&&&
\ text {Скасувати асоціацію, занурюючи обидві сторони на} a\\ dfrac {ax} {a} &=
\ dfrac {b} {a} &=&\ dfrac {b} {a}\\
1\ cdot x &=&\ dfrac {b} {a} &\ dfrac {a} {a} =1\ text {і} 1\ text {є мультиплікативною ідентичністю.} 1\ cdot x = x
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{2}$

Рішення$\dfrac{x}{a} = b$ для$x$

\ (\ begin {масив} {flushleft}
x&=&\ dfrac {b} {a} &\ text {Це рівняння еквівалентно першому і вирішується} x\
\ dfrac {x} {a} &=&b&a\ text {пов'язаний з} x\ text {шляхом ділення. Скасувати асоціацію}\\
&&&\ текст {множивши обидві сторони на} a\\ a\ cdot\
dfrac {x} {a} &=\ cdot b\\ not {a}\ cdot
\ dfrac {x} {\ not {a}} &ab\ 1\ cdot x&=&ab&\ dfrac {a} {a} =&ab\
1\ cdot x&=&ab&\ dfrac {a} {a} 1\ text {і} 1\ text {є мультиплікативна ідентичність.} 1\ cdot x = x\\
x&=&ab&\ text {Це рівняння еквівалентно першому і вирішується для} x
\ end {масив}\)

Рішення$ax=b$ і$\dfrac{x}{a} = b$ для$x$

Методика вирішення$ax=b$ and $\dfrac{x}{a} = b$

Щоб вирішити$ax = b$ for$x$, розділіть обидві сторони рівняння на$a$.

Щоб вирішити$\dfrac{x}{a} = b$ for$x$, помножте обидві сторони рівняння на$a$.

Набір зразків A

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити$5x = 35$ для$x$.

\ (\ begin {масив} {flushleft}
5x&=&35&5\ text {пов'язаний з} x\ text {шляхом множення. Скасувати асоціацію}\\
&&&\ text {розділивши обидві сторони на} 5. \\
\ dfrac {5x} {5} &=&\ dfrac {35} {5}\
\ dfrac {\ not {5} x} {\ not {5}} &=&7\
1\ cdot x&=&7&\ dfrac {5} {5} =1\ текст {і} 1\ текст {мультиплікативна ідентичність.} 1\ cdot x = х.\\
x&=&&7
\ end {масив}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
5 (7) &=&35&\ текст {Це правильно? }\\
35&=&35&\ текст {Так, це правильно.}
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити$\dfrac{x}{4} = 5$ для$x$.

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {x} {4} &=&5&4\ text {пов'язаний з} x\ text {діленням. Скасувати асоціацію за допомогою}\\
&&&\ text {множення обох сторін на} 4. \\
4\ cdot\ dfrac {x} {4} &=&4\ cdot 5\\
\ not {4}\ cdot\ dfrac {x} {\ not {4}} &=&4\ cdot 5\
\ cdot x&=&20&\ dfrac {4} {4} =1\ текст {і} 1\ текст {є мультиплікативною ідентичністю.} 1\ cdot x = х.\\
x & = &20
\ кінець { масив}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {20} {4} &=&5&\ текст {Чи правильно це? }\\
5&=&5&\ text {Так, це правильно.}
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити$\dfrac{2y}{9} = 3$ для$y$.

Метод (1) (Використання скасування):

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {2y} {9} &=&3&9\ text {пов'язаний з} y\ text {діленням. Скасувати асоціацію за допомогою}\\
&&&\ text {множення обох сторін на} 9. \\
(\ not {9}) (\ dfrac {2y} {не {9}}) &=& (9) (3)\\
2y&=&27&2\ text {пов'язаний з} y {шляхом множення. Скасувати асоціацію}\\
&&&\ text {розділивши обидві сторони на} 2. \\
\ dfrac {не {2} y} {не {2}} &=&\ dfrac {27} {2}\
y&=&\ dfrac {27} {2}
\ end {масив}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {\ not {2} (\ dfrac {27} {\ not {2}})} {9} &=&3&\ text {Це правильно?} \\
\ dfrac {27} {9} &=&3&\ text {Це правильно?} \\
3&=&3&\ text {Так, це правильно.}
\ end {масив}\)

Метод (2) (Використання взаємних):
\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {2y} {9} &=3&\ text {Оскільки}\ dfrac {2y} {9} {9} y,\ dfrac {2} {9}\ text {пов'язаний з} y\ text {множенням}.\\
&&&\ текст {Тоді, так як}\ dfrac {9} {2}\ ddot\ dfrac {2} { 9} =1\ text {, мультиплікативна ідентичність, ми можемо}\\
&&&&\ text {скасувати асоціативну, множивши обидві сторони на}\
dfrac {9} {2}) (\ dfrac {2y} {9}) &=& (\ dfrac {9} {2}) (3)\\\
(фрак {9} {2}\ dot\ drac {2} {9}) y&=&\ dfrac {27} {2}\\
1\ cdot y&=&\ dfrac {27} {2}\\
y&=&\ dfrac {27} {2}
\ кінець {масив}\)

Приклад$\PageIndex{6}$

Розв'яжіть буквальне рівняння$\dfrac{4ax}{m} = 3b$ для$x$.

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {4ax} {m} &=&3b&m\ text {пов'язаний з} x\ text {діленням. Скасувати асоціацію за допомогою}\\
&&&\ text {множення обох сторін на} m.\
\\ not {m} (\ dfrac {4ax} {\ not {m}}) &=&m\ cdot 3b\
4ax&=&3bm&4a\ text {пов'язаний з} x\ text {шляхом множення. Скасувати}\\
&&&\ text {асоціацію шляхом множення обох сторін на} 4a\\
\ dfrac {\ not {4a} x} {\ not {4a}} &=&\ dfrac {3bm} {4a}\\
x&=&\ dfrac {3bm} {4a}
\ кінець {масив}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {4a (\ dfrac {3bm} {4a})} {m} &=&3b&\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {\ not {4a} (\ dfrac {3bm} {\ not {4a}})} {m} &=&3b&\ text {Це правильно?} \\
\ dfrac {3b\ not {m}} {\ not {m}} &=&3b&\ text {Чи правильно це?} \\
3b&=&3b&\ text {Так, це правильно.}
\ end {масив}\)

Практика Set A

Завдання практики$\PageIndex{1}$

Вирішити$6a=42$ для$a$.

Відповідь

$a = 7$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

Вирішити$−12m=16$ для$m$.

Відповідь

$m = -\dfrac{4}{3}$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

Вирішити$\dfrac{y}{8} = -2$ для$y$

Відповідь

$y = -16$

Завдання практики$\PageIndex{4}$

Вирішити$6.42x = 1.09$ для$x$

Відповідь

$x = 0.17$(округлено до двох знаків після коми)

Завдання практики$\PageIndex{5}$

Вирішити$\dfrac{5k}{12} = 2$ для$k$.

Відповідь

$k = \dfrac{24}{5}$

Завдання практики$\PageIndex{6}$

Вирішити$\dfrac{-ab}{2c} = 4d$ для$b$.

Відповідь

$b = \dfrac{-8cd}{a}$

Завдання практики$\PageIndex{7}$

Вирішити$\dfrac{3xy}{4} = 9xh$ для$y$.

Відповідь

$y = 12h$

Завдання практики$\PageIndex{8}$

Вирішити$\dfrac{2k^2mn}{5pq} = -6n$ для$m$.

Відповідь

$m = \dfrac{-15pq}{k^2}$

Вправи

У наступних задачах вирішуйте кожне з умовних рівнянь.

Вправа$\PageIndex{1}$

$3x = 42$

Відповідь

$x = 14$

Вправа$\PageIndex{2}$

$5y = 75$

Вправа$\PageIndex{3}$

$6x = 48$

Відповідь

$x=8$

Вправа$\PageIndex{4}$

$8x = 56$

Вправа$\PageIndex{5}$

$4x = 56$

Відповідь

$x=14$

Вправа$\PageIndex{6}$

$3x = 93$

Вправа$\PageIndex{7}$

$5a = −80$

Відповідь

$a=−16$

Вправа$\PageIndex{8}$

$9m = −108$

Вправа$\PageIndex{9}$

$6p = −108$

Відповідь

$p=−18$

Вправа$\PageIndex{10}$

$12q = −180$

Вправа$\PageIndex{11}$

$−4a = 16$

Відповідь

$a=−4$

Вправа$\PageIndex{12}$

$−20x = 100$

Вправа$\PageIndex{13}$

$−6x = −42$

Відповідь

$x=7$

Вправа$\PageIndex{14}$

$−8m = −40$

Вправа$\PageIndex{15}$

$−3k = 126$

Відповідь

$k=−42$

Вправа$\PageIndex{16}$

$−9y = 126$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{x}{6} = 1$

Відповідь

$x=6$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{a}{5} = 6$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{k}{7} = 6$

Відповідь

$k=42$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{x}{3} = 72$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{x}{8} = 96$

Відповідь

$x = 768$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{y}{-3} = -4$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{m}{7} = -8$

Відповідь

$m = -56$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{k}{18} = 47$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{f}{-62} = 103$

Відповідь

$f = -6386$

Вправа$\PageIndex{26}$

$3.06m= 12.546$

Вправа$\PageIndex{27}$

$5.012k = 0.30072$

Відповідь

$k=0.06$

Вправа$\PageIndex{28}$

$\dfrac{x}{2.19} = 5$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\dfrac{y}{4.11} = 2.3$

Відповідь

$y=9.453$

Вправа$\PageIndex{30}$

$\dfrac{4y}{7} = 2$

Вправа$\PageIndex{31}$

$\dfrac{3m}{10} = -1$

Відповідь

$m = \dfrac{-10}{3}$

Вправа$\PageIndex{32}$

$\dfrac{5k}{6} = 8$

Вправа$\PageIndex{33}$

$\dfrac{8h}{-7} = -3$

Відповідь

$h = \dfrac{21}{8}$

Вправа$\PageIndex{34}$

$\dfrac{-16z}{21} = -4$

Вправа$\PageIndex{35}$

Вирішити$pq = 7r$ для$p$

Відповідь

$p = \dfrac{7r}{q}$

Вправа$\PageIndex{36}$

Вирішити$m^2n = 2s$ для$n$

Вправа$\PageIndex{37}$

Вирішити$2.8ab = 5.6d$ для$b$

Відповідь

$b = \dfrac{2d}{a}$

Вправа$\PageIndex{38}$

Вирішити$\dfrac{mnp}{2k} = 4k$ для$p$

Вправа$\PageIndex{39}$

Вирішити$\dfrac{-8a^2b}{3c} = -5a^2$ для$b$.

Відповідь

$b = \dfrac{15c}{8}$

Вправа$\PageIndex{40}$

Вирішити$\dfrac{3pcb}{2m} = 2b$ для$pc$

Вправа$\PageIndex{41}$

Вирішити$\dfrac{8rst}{3p} = -2prs$ для$t$.

Відповідь

$t = -\dfrac{-3p^2}{4}$

Вправи для рецензування

Вправа$\PageIndex{42}$

Спростити$(\dfrac{2x^0y^0z^3}{z^2})^5$

Вправа$\PageIndex{43}$

Класифікувати$10x^3-7x$ як мономіальний, біноміальний або триноміальний. Викладіть її ступінь і запишіть числовий коефіцієнт кожного пункту.

Відповідь

біноміальний; 3-й ступінь; 10, −7

Вправа$\PageIndex{44}$

Спростити$3a^2-2a+4a(a+2)$

Вправа$\PageIndex{45}$

Вкажіть область рівняння$y = \dfrac{3}{7+x}$.

Відповідь

всі дійсні числа, крім −7

Вправа$\PageIndex{46}$

Розв'яжіть умовне рівняння$x+6=−2$.