1.2: Фактори, продукти та показники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58550

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Огляд

Фактори
Експоненціальне позначення

Фактори

Почнемо наш огляд арифметики з згадання значення множення для цілих чисел (підрахунку чисел і нуль)

множення

Множення - опис повторного додавання.

При додаванні

$7+7+7+7 $

число 7 повторюється у вигляді додавання* 4 рази. Тому ми говоримо, що у нас чотири рази сім і описуємо це, написавши

$4 · 7$

Піднята точка між числами 4 і 7 вказує на множення. Крапка спрямовує нас на помноження двох чисел, які вона розділяє. В алгебрі крапка є крапкою перед символом × для позначення множення, оскільки буква x часто використовується для представлення числа. Таким чином,

$4 · 7=7+7+7+7$

Фактори та продукти

У множенні множаться числа називаються множниками. Результат множення називається твором. Наприклад, при

$4 · 7=28 $

множенні числа 4 і 7 - множники, а число 28 - добуток. Ми говоримо, що 4 і 7 - це фактори 28. (Вони не є єдиними факторами 28. Чи можете ви думати про інших?)

Тепер ми знаємо, що

(множник) · (множник) = добуток

Це вказує на те, що перше число є множником другого числа, якщо перше число ділиться на друге число без залишку. Наприклад, оскільки

$4 · 7=28$

і 4, і 7 є факторами 28, оскільки і 4, і 7 діляться на 28 без залишку.

Експоненціальне позначення

Досить часто конкретне число буде повторюватися як коефіцієнт при множенні. Наприклад, при

$7 · 7 · 7 · 7$

множенні число 7 повторюється як множник 4 рази. Ми опишемо це письмовим способом$7^{4}$. Таким чином,

$7 · 7 · 7 · 7=7^4$

повторюваний коефіцієнт - це нижнє число (база), а число, яке записує, скільки разів коефіцієнт повторюється, є більшим числом (верхнім індексом). Верхнє число називається експонентою.

Визначення: Показник

Показник - це число, яке записує, скільки разів число, до якого він приєднаний, відбувається як коефіцієнт множення.

Набір зразків A

Для прикладів 1, 2 та 3 висловіть кожен продукт за допомогою експонентів.

Приклад$\PageIndex{1}$

$3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3$ Оскільки 3 зустрічається як фактор 6 разів,

$3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3=3^6$

Приклад$\PageIndex{2}$

$8 · 8$ Оскільки 8 зустрічається як фактор 2 рази,

$8 · 8=8^2$

Приклад$\PageIndex{\3}$

$5 · 5 · 5 · 9 · 9$Оскільки 5 відбувається як коефіцієнт 3 рази, ми маємо $5^{3}$. Оскільки 9 зустрічається як фактор 2 рази, ми маємо $9^{2}$. Ми повинні побачити наступні заміни.

$clipboard_e74e4dcd2b156c7095fea0e623c3b12c7.png$
Тоді у нас є

$5 · 5 · 5 · 9 · 9=5^3 · 9^2$

Приклад$\PageIndex{4}$

Розгорнути$3^{5}$. Основа дорівнює 3, тому це повторюваний фактор. Показник дорівнює 5, і він записує кількість разів повторення бази 3. Таким чином, 3 слід повторити як коефіцієнт 5 разів.

$3^5 =3 · 3 · 3 · 3 · 3$

Приклад$\PageIndex{5}$

Розгорнути$6^{2}$ ·$10^{4}$. Позначення$6^{2}$ ·$10^{4}$ фіксує наступні два факти: 6 слід повторити як коефіцієнт 2 рази, а 10 - повторювати як коефіцієнт 4 рази. Таким чином,

$6^2 · 10^4=6 · 6 · 10 · 10 · 10 · 10$

Вправи

Для наступних проблем висловіть кожен продукт за допомогою експонентів.

Вправа$\PageIndex{1}$

8 · 8 · 8

Відповідь: $8^3$

Вправа$\PageIndex{2}$

12 · 12 · 12 · 12 · 12

Відповідь: $12^5$

Вправа$\PageIndex{3}$

1 · 1

Відповідь: $1^2$

Вправа$\PageIndex{4}$

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 4 · 4

Відповідь: $3^5$·$4^2$

Вправа$\PageIndex{5}$

2 · 2 · 2 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9

Відповідь: $2^3$·$9^8$

Вправа$\PageIndex{6}$

3 · 3 · 10 · 10

Відповідь: $3^2$·$10^3$

Вправа$\PageIndex{7}$

3 · 3 · 3 · 4 · 4

Відповідь: $3^5$·$4^2$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо, що букви x і y використовуються для представлення чисел. Використовуйте експоненти для вираження наступного продукту.

$x$·$x$ ·$x$ ·$y$ ·$y$

Відповідь: $x^3$·$y^2$

Вправа$\PageIndex{9}$

$x$·$x$ ·$x$ ·$x$ · ·$x$ ·$y$ ·$y$ ·$y$

Відповідь: $x^5$·$y^3$

Для наступних проблем розгорніть кожен продукт (не обчислюйте фактичне значення).

Вправа$\PageIndex{10}$

$3^4$

Відповідь: 3 · 3 · 3 · 3

Вправа$\PageIndex{11}$

$4^3$

Відповідь: 4 · 4 · 4

Вправа$\PageIndex{12}$

$2^5$

Відповідь: 2 · 2 · 2 · 2

Вправа$\PageIndex{13}$

$9^6$

Відповідь: 9 · 9 · 9 · 9 · 9

Вправа$\PageIndex{14}$

$5^3$·$6^2$

Відповідь: 5 · 5 · 5 · 6 · 6

Вправа$\PageIndex{15}$

$2^7$·$3^4$

Відповідь: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3

Вправа$\PageIndex{16}$

$x^4$·$y^4$

Відповідь: $x$·$x$ ·$x$ ·$x$ ·$y$ · $y$ · $y$ · $y$

Вправа$\PageIndex{17}$

$x^6$·$y^2$

Відповідь: $x$·$x$ ·$x$ ·$x$ ·$x$ · $x$ · $y$ · $y$

Для наступних завдань вкажіть всі цілі числові коефіцієнти кожного числа. Наприклад, повний набір цілих числових коефіцієнтів 6 дорівнює 1, 2, 3, 6.

Вправа$\PageIndex{18}$

Відповідь: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Вправа$\PageIndex{19}$

Відповідь: 1, 2, 7, 14

Вправа$\PageIndex{20}$

Відповідь: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Вправа$\PageIndex{21}$

Відповідь: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Вправа$\PageIndex{22}$

Відповідь: 1, 3, 7, 21

Вправа$\PageIndex{23}$

Відповідь: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Вправа$\PageIndex{24}$

Відповідь: 1, 11

Вправа$\PageIndex{25}$

Відповідь: 1, 17

Вправа$\PageIndex{26}$

Відповідь: 1, 19

Вправа$\PageIndex{27}$

Відповідь: 1, 2

Огляд

Фактори

Експоненціальне позначення

Визначення: Показник

Набір зразків A

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{\3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправи