5.5: Про параметризацію та інтеграцію

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63568

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Явне виконання двостороннього множення забезпечує зв'язок між параметрами обертання і елементами\(4 \times 4\) матриць. Ми розглядаємо тут тільки чисте обертання, породжене

\[\begin{array}{c} {U = \exp(-i \frac{\phi}{2} \hat{u} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

Нехай

\[\begin{array}{cc} {l_{0} = \cos \phi/2,}&{l_{1} = \sin \phi/2 \hat{u}_{1}} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {l_{2} = \sin \phi/2 \hat{u}_{3}}&{l_{3} = \sin \phi/2 \hat{u}_{3}} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {u_{1} = \cos( \hat{u} \cdot \hat{x}), \cdots, etc.}&{} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} = 1}&{} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {k'_{1}}\\{k'_{2}}\\ {k'_{3}}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {l_{0}^{2}+l_{1}^{2}-l_{2}^{2}-l_{3}^{2}}&{2(l_{1}l_{2}-l_{0}l_{3})}&{2(l_{1}l_{3}+l_{0}l_{2})}\\ {2(l_{1}l_{2}+l_{0}l_{3})}&{l_{0}^{2}-l_{1}^{2}+l_{2}^{2}-l_{3}^{2}}&{2(l_{1}l_{3}-l_{0}l_{2})}\\ {2(l_{1}l_{3}-l_{0}l_{3})}&{2(l_{2}l_{3}+l_{0}l_{1})}&{l_{0}^{2}-l_{1}^{2}-l_{2}^{2}+l_{3}^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {k_{1}}\\{k_{2}}\\ {k_{3}}\\ \end{pmatrix}} \end{array}\]

Таке вираження, звичайно, не дуже практичне. Зазвичай розглядають нескінченно малі відносини з параметрами\(d \phi \mu k\). Інтеграція нескінченно малих операцій в операції скінченної групи може бути досягнута в рамках загальної теорії груп Лі та алгебр Лі.

У нашому підході інтеграція досягається шляхом явної побудови для окремий випадок обмеженої групи Лоренца. Це перший крок у нашій програмі використання теорії груп для доповнення або заміни методу диференціальних рівнянь.