5.4: Про використання інволюцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63560

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Існування трьох інволюцій (див. Рівняння A.1.1 вище) забезпечує велику кількість гнучкості. Однак найбільш ефективне використання цих понять вимагає певної обережності.

Для будь-якої матриці\(\mathcal{A}_{2}\)

\[\begin{array}{c} {A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{|A|} |A| = \frac{1}{2} Tr(A \tilde{A})} \end{array}\]

У випадку ермітієвих матриць у нас є дві альтернативи:

\[\begin{array}{c} {k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r} = \frac{1}{2} Tr(K \tilde{R})} \end{array}\]

або

\[\begin{array}{c} {k_{0}r_{0}-\vec{k} \cdot \vec{r} = \frac{1}{2} Tr(K \bar{R})} \end{array}\]

Однак з пізніших дискусій з'явиться, що складне відображення рівняння A.4.3 більш доцільно описати перехід від контраваріантних до коваріантних сутностей.

Справа в тому, що формальне представлення дзеркального відображення чотиривектора в площині з нормаль уздовж\(\hat{x}_{1}\). У нас є

\[\begin{array}{c} {K' = \sigma_{1} \bar{K} \sigma_{1} = \sigma_{1} (k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}-k_{2} \sigma_{2}-k_{3} \sigma_{3}) \sigma_{1}}\\ {= \sigma_{1}^{2} (k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}+k_{2} \sigma_{2}+k_{3} \sigma_{3})}\\ {= k_{0}1-k_{1} \sigma_{1}+k_{2} \sigma_{2}+k_{3} \sigma_{3}} \end{array}\]

Більш загально, дзеркальне відображення в площині з нормальним x досягається за допомогою операції.

\[\begin{array}{c} {K' = \hat{a} \cdot \vec{\sigma} \bar{K} \hat{a} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Знову ж таки, ми могли б вибрати\(\tilde{K}\) замість\(\bar{K}\).

Однак Eq (22) узагальнює до інверсії електромагнітного шестивектора\(\vec{f} = \vec{E}+i \vec{B}\):

\[\begin{array}{c} {(\vec{E}'+i \vec{B}') \cdot \vec{\sigma} = \overline{(\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}} = (-\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Це співвідношення враховує той факт, що\(\vec{E}\) є полярним і\(\vec{B}\) осьовим вектором.