5.2: інваріантність Лоренца та двостороннє множення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63561

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для Ермітієвих матриць:\(K^{\dagger} = K, \bar{K} = \tilde{K}\) і те саме для Р. Чому двостороннє множення? Для усунення нефізичних факторів вказується як\(\underbrace{}\).

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {e^{(\mu-i \phi)/2}}&{0}\\ {0}&{e^{-(\mu-i \phi)/2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {k_{0}+k_{3}}&{k_{1}-i k_{2}}\\ {k_{1}+i k_{2}}&{k_{2}-k_{3}} \end{pmatrix} =}\\ {\begin{pmatrix} {e^{\mu/2}(k_{0}+\mu_{3}) \underbrace{e^{-i \phi/2}}}&{\underbrace{e^{\mu/2}}(k_{1}-i k_{2}) e^{-i \phi/2}}\\ {\underbrace{e^{-\mu/2}}(k_{1}+i k_{2}) e^{-i \phi/2}}&{e^{\mu/2}(k_{0}-k_{3}) \underbrace{e^{i \phi/2}}} \end{pmatrix} \times}\\ {\begin{pmatrix} {k_{0}+k_{3}}&{k_{1}-ik_{2}}\\ {k_{1}+ik_{2}}&{k_{2}-k_{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^{(\mu+i \phi)/2}}&{0}\\ {0}&{e^{-(\mu+i \phi)/2}} \end{pmatrix} =}\\ {\begin{pmatrix} {e^{\mu/2}(k_{0}+\mu_{3}) \underbrace{e^{i \phi/2}}}&{\underbrace{e^{-\mu/2}}(k_{1}-i k_{2}) e^{-i \phi/2}}\\ {\underbrace{e^{-\mu/2}}(k_{1}+i k_{2}) e^{i \phi/2}}&{e^{\mu/2}(k_{0}-k_{3}) \underbrace{e^{-i \phi/2}}} \end{pmatrix} \times}\\ {\begin{pmatrix} {e^{(\mu-i \phi)/2}}&{0}\\ {0}&{e^{-(\mu-i \phi)/2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {k_{0}+k_{3}}&{k_{1}-i k_{2}}\\ {k_{1}+i k_{2}}&{k_{2}-k_{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^{(\mu+i \phi)/2}}&{0}\\ {0}&{e^{-(\mu+i \phi)/2}} \end{pmatrix} =}\\ {\begin{pmatrix} {e^{\mu/2}(k_{0}+\mu_{3})}&{e^{-i \phi/2} (k_{1}-i k_{2})}\\ {e^{i \phi/2} (k_{1}+i k_{2})}&{e^{\mu/2}(k_{0}-k_{3})} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Або, в\(4 \times 4\) матричному вигляді:

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {k_{1}'}\\ {k_{2}'}\\ {k_{3}'}\\ {k_{0}'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\cos \phi}&{-\sin \phi}&{0}&{0}\\ {\sin \phi}&{\cos \phi}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{\cosh \mu}&{\sinh \mu}\\ {0}&{0}&{\sinh \mu}&{\cosh \mu} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {k_{1}'}\\ {k_{2}'}\\ {k_{3}'}\\ {k_{0}'} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Кругове обертання навколо\(\phi\) осі z за допомогою і гіперболічне обертання по тій же осі на гіперболічний кут\(\mu\): Лоренца чотиригвинтовий:\(\mathcal{L}(\phi, \hat{z}, \mu)\). Ці перетворення утворюють абелеву групу.

В алгебрі Паулі формальна простота цих відносин зберігається навіть для довільних осьових напрямків. Щоб бути впевненим, отримання явних результатів від двосторонніх продуктів може стати деяким. Однак стандартні векторні результати можуть бути легко витягнуті.