4.5: Огляд SU (2) та попередній перегляд квантування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63605

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Наше введення концепції спінора на початку Розділу 4.1 може бути раціоналізовано на основі наступних вказівок. По-перше, ми вимагаємо певної економії і хочемо уникнути зайвих параметрів при вказівці обертової тріади, як ми раніше вирішували аналогічну задачу для оператора ротації.

По-друге, ми хочемо мати ефективний формалізм для представлення ротаційної проблеми.

Ми бачили, що матриці$\mathcal{SU}(2)$ задовольняють всім цим вимогам, але ми опиняємося осідленими двозначністю подання:$| \xi \rangle$ і$| \xi \rangle$ відповідають тій же конфігурації тріади. Це не є серйозною неприємністю, так як наші ключові відносини 4.1.36 і 4.1.37 квадратичні в$| \xi \rangle$.

Таким чином, двоцінність з'являється тут лише як обчислювальна допомога, яка зникає в кінцевому результаті.

Інша ситуація, якщо подивитися на формули 4.1.42-4.1.66 цього ж розділу (Розділ 4.1). Ці рівняння лінійні, вони мають квантово-механічний характер, і ми знаємо, що вони дійсно застосовні в належному контексті. Прагматичний факт, що двоцінність - це не просто необхідна неприємність, а має фізичний сенс. Але зрозуміти цей сенс - виклик, з яким ми можемо впоратися лише ретельно підібраними кроками.

Ми хочемо дати більш фізичне тлумачення тріаді, але уникнути глухого кута жорсткого тіла. Спочатку ми пов'язуємо абстрактний простір Пуанкаре з фізичною системою двовимірного виродженого осцилятора. Обертання в просторі Пуанкаре пов'язується з фазовим зсувом між сполученими станами, що перекладається на обертання сфери Пуанкаре, інтерпретується в свою чергу як зміна орієнтації або зміна форми коливальних моделей у звичайному просторі.

Це лише м'яке перебільшення сказати, що наш перехід від тріади в евклідовому просторі до простору Пуанкаре - це щось на кшталт «квантування», у тому сенсі, як хвильове рівняння Шро дінгера асоціює хвилю з частинкою. (Планка h повинен увійти найближчим часом!)

У цій теорії ми добре використовуємо сполучені спінори$| \xi \rangle$ та$| \bar{\xi} \rangle$ представляємо протилежні поляризації, але ми повинні ототожнюватися$| \bar{\bar{\xi}} \rangle = -| \xi \rangle$ з$| \xi \rangle$.

Вищесказане все ще є не що інше, як цілком чітко визначена кінематична модель. Наступний крок інший. Як «друге квантування» ми вводимо h Планка для визначення одиночних фотонів. Розщеплення променя, представлене оператором проекції, може бути виражено імовірнісними термінами.

Формально все це легко, і ми відразу мали б багато квантового механічного формалізму, що включає теорію вимірювання.

Далі ми могли б серйозно сприймати дві цінності спінора і отримати формалізм ізоспіна і нейтрино, скажімо, як у Розділі 17, Ферміон держави, в [Kae65].

Нарешті, замість подвійно вироджених вібрацій ми могли б розглянути потрійний вироджений вібратор і обробляти його$\mathcal{SU}(3)$ [Lip02]. Однак ми не будемо розглядати ці узагальнення. Перш ніж далі розширювати формалізм, ми повинні сподіватися краще зрозуміти, що ми вже маємо.

По-перше, формальне зауваження. Наші результати, розроблені до цього часу, однозначно визначаються спінорним формалізмом Розділу 4.1 та програмою розгляду сфери Пуанкаре як базового простору конфігурації, який слід описати звичайними сферичними координатами$\alpha, \beta$ або$\phi, \theta$.

Примітно, що це скромне концептуальне обладнання несе нас досі. Ми отримали спінори, матриці щільності і обговорювали принаймні швидкогерентність, некогерентність, квантову теорію вимірювання та теорію перетворення.

Те, що ми не виходимо з теорії, - це специфічна інтерпретація основного коливального процесу, оскільки формалізм поки що повністю не залежить від нього. Цей факт дає нам деякі під стояння обсягу та межі квантової механіки. Ми можемо застосувати формалізм до явищ, які ми розуміємо дуже мало. Однак, оскільки той же$\mathcal{SU}(2)$ формалізм стосується поляризованого світла, спина, ізоспіна, дивацтва та інших явищ, ми мало дізнаємося про їх відмінні сторони.

Для того, щоб подолати це обмеження, нам потрібно глибше розуміння того, що таке квантований момент моменту в рамках динамічної задачі.

Наступна глава присвячена феноменологічному обговоренню понять частка і хвиля. Спробуємо отримати достатні підказки для розвитку динамічної теорії у вигляді геометрії фазового простору в главі VI.

$Знімок екрана 2020-08-02 о 6.05.07 PM.png$

Малюнок 4.3: Представлення поляризації в сфері Пуанкаре. Зв'язок між схемами: (а)$\hat{k} (\phi, \theta)$ схема і (б)$\hat{s} (\alpha, \beta)$ схема.

$Знімок екрана 2020-08-02 о 6.07.44 PM.png$

Малюнок 4.4: Представлення поляризації в сфері Пуанкаре. Зв'язок між схемами (в) і (г).