4.4: Релятивістські тріади та спінори. Попереднє обговорення
- Page ID
- 63618
Ми дійшли до концепції унітарних спінорів шляхом пошуку належної параметризації евклідової тріади. Ми дійдемо до релятивістських спінорів, параметризуючи релятивістську тріаду. Це не стандартний термін, але здається доцільним так позначити конфігурацію\(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k}\) (електричні та магнітні поля, а також хвильовий вектор) в монохроматичній електромагнітній площині хвилі у вакуумі.
Поширення світла є динамічною проблемою, і ми не готові обговорювати її в геометрично-кінематичному контексті цієї глави.
Мета цього розділу полягає лише в тому, щоб показати, що формалізм унітарних спінор, розроблений до теперішнього часу, може бути поширився на релятивістські ситуації лише з кількома необхідними коригуваннями.
Примітний факт, що взаємна ортогональність вищезазначених векторів є інваріантною властивістю Лоренца. Однак доводиться відмовитися від унітарної нормалізації, оскільки на довжину векторів впливають інерційні перетворення.
Відповідно, встановлюємо релятивістський аналог Рівнянь 4.1.40. Розглядаємо спочатку
\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \xi | = \frac{1}{2} (k_{0}+\vec{k} \cdot \vec{\sigma} = \frac{1}{2} K} \end{array} \label{EQ4.4.1}\]
\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} | = \frac{1}{2} (k_{0}-\vec{k} \cdot \vec{\sigma} = \frac{1}{2} \bar{K}} \end{array} \label{EQ4.4.2}\]
з унітарною нормалізацією змінено на
\[\begin{array}{c} {\langle \xi | \xi \rangle = \langle \bar{\xi} | \bar{\xi} \rangle = k_{0}} \end{array}\]
Властивості трансформації Лоренца спінорів випливають з властивостей K:
\[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle = V | \xi \rangle} \end{array} \label{EQ4.4.4}\]
\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi}' \rangle = \bar{V} | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\langle \xi' | = \langle \xi | V^{\dagger}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi}' | = \langle \bar{\xi} | V^{-1}} \end{array} \label{EQ4.4.7}\]
Якщо\(V = U\) унітарно, ми маємо\(\bar{U} = U, U^{\dagger} = U^{-1}\).
Визначимо другий спінор по
\[\begin{array}{c} {| \eta \rangle \langle \eta |= \frac{1}{2} (r_{0}+\vec{r} \cdot \vec{\sigma}) = \frac{1}{2} R} \end{array}\]
Релятивістський інваріант, (2.2.3a) тепер з'являється як
\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr (R \bar{K}) = \frac{1}{2} Tr (| \eta \rangle \langle \eta | \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} |)}\\ {= \langle \bar{\xi} | \eta \rangle \langle \eta | \bar{\xi} \rangle = | \langle \bar{\xi} | \eta \rangle |^{2}} \end{array}\]
З рівнянь\ ref {EQ4.4.4} і\ ref {EQ4.4.7} випливає, що навіть амплітуда є інваріантною
\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi} | \eta \rangle = invariant} \end{array} \label{EQ4.4.10}\]
Явно вона дорівнює
\[\begin{array}{c} {(-\xi_{1}, \xi_{0}) \begin{pmatrix} {\eta_{0}}\\ {\eta_{1}} \end{pmatrix} = \xi_{0} \eta_{1}-\xi_{1} \eta_{0} = \begin{vmatrix} {\xi_{0}}&{\eta_{0}}\\ {\xi_{1}}&{\eta_{1}} \end{vmatrix}} \end{array} \label{EQ4.4.11}\]
Перейдемо тепер до останніх двох рівнянь 4.1.40 і пишемо за аналогією
\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \bar{\xi} | \sim (\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma} = F} \end{array} \label{EQ4.4.12}\]
\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle \langle \xi | \sim (\vec{E}-i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma} = -F = F^{\dagger}} \end{array} \label{EQ4.4.13}\]
Ми бачимо, що величини полів мають, зважаючи на Рівняння 4.4.4—4.4.7 правильні властивості перетворення.
Виникнення одного і того ж спінора в рівняннях\ ref {EQ4.4.1},\ ref {EQ4.4.2},\ ref {EQ4.4.12} і\ ref {EQ4.4.13} забезпечує очікувані властивості ортогональності тріади.
Однак у рівняннях\ ref {EQ4.4.12} та\ ref {EQ4.4.13} ми пишемо пропорційність замість рівності, тому що ми повинні визнати іншу нормалізацію для чотирьох векторів та шести векторів відповідно. Ми не готові обговорювати це питання на даний момент.
Якщо в Equation\ ref {EQ4.4.10} ми виберемо два спінори однаковими, інваріант зникає:
\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi} | \xi \rangle = 0} \end{array}\]
Те ж саме стосується і інваріанту електромагнітного поля:
\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr (F \tilde{F}) = - \frac{1}{2} Tr F^{2} \simeq -\frac{1}{2} Tr (| \xi \rangle \langle \bar{\xi} | \xi \rangle \langle \bar{\xi} |)}\\ {= -(\langle \bar{\xi} | \xi \rangle)^{2} = 0} \end{array}\]
Таким чином, з одного спінора ми можемо побудувати тільки конструкції, що відповідають площині хвилі. Ми не вступаємо тут в обговорення більш складних ситуацій і відзначимо лише те, що не можемо використовувати пристрій прийняття лінійної комбінації сполучених спінорів в звичайній формі\(a_{0} | \xi \rangle+a_{1} | \bar{\xi} \rangle\), оскільки два терміни мають контраградієнтні властивості перетворення Лоренца. Ми пишемо їх, відображаючи їх перетворення Лоренца як
\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {| \xi' \rangle}\\ {| \bar{\xi}' \rangle} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {S}&{0}\\ {0}&{S} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {| \xi \rangle}\\ {| \bar{\xi} \rangle} \end{pmatrix}} \end{array}\]
Ми приїхали до спінорів типу Дірака. Повертаємося до їх обговорення пізніше.
Завершимо цей розділ розглядом відношення формалізму до стандартного формалізму ван дер Вердена. (Див. Наприклад, [MTW73])
Точка відправлення - Equation\ ref {EQ4.4.4}, застосоване до двох спінорів, що дають детермінантний інваріант\ ref {EQ4.4.11}. Першим характерним аспектом теорії є правило підвищення індексів:
\[\begin{array}{c} {\eta_{1} = \eta^{0} , \eta_{0} = -\eta^{1}} \end{array}\]
Звідси інваріант з'являється як
\[\begin{array}{c} {\xi_{0} \eta_{0}+\xi_{1} \eta_{1}} \end{array}\]
Мотивація для написання інваріанта в цій формі полягає в гармонізації викладу з тензорним формалізмом Стена дарда. На відміну від цього, наш вираз\ ref {EQ4.4.10} є продовженням бракетного формалізму нерелятивістської квантової механіки, що також цілком природно для лінійної алгебри складних векторних просторів.
Друга відмінна риса пов'язана з методом комплексифікації. Ван дер Верден приймає складний сполучений матриці V, приймаючи складний сполучений її елементів, тоді як ми маємо справу з гермітовим сполученим\(V^{\dagger}\) і складним сполученим\(\bar{V}\).
З практичної точки зору ми схильні розвивати унітарні та релятивістські спінори в максимально об'єднаній формі, як можна об'єктивно.