4.3: Поляризоване світло
- Page ID
- 63611
Поляризаційна оптика забезпечує найбільш підходящу область застосування для алгебри Паулі та спінорного формалізму. Історично, звичайно, це пішло навпаки, і різні аспекти формалізму були висунуті багатьма авторами, часто через самостійне відкриття у відповідь на практичну потребу.
У цій дискусії ми відмовляємося від історичного підходу і, використовуючи вже розроблену математику для малізму, ми приходимо до консолідації та впорядкування багато нероз'єднаного матеріалу.
Іншим фактором, який спрощує наш аргумент, є те, що ми не намагаємося описати поляризацію у всій складності реальної ситуації, а зосереджуємося спочатку на простій математичній моделі, двовимірному ізотропному, гармонічному осциляторі. Це, звичайно, стандартний метод елементарної теорії, однак, переводячи цей опис в спіноріальний формалізм, ми поставили основу для узагальнень. Потенційне узагальнення полягало б у встановленні зв'язку зі статистичною теорією когерентності. Однак на сучасному етапі ми будемо більше перейматися додатками до квантової механіки.
Розглянемо монохроматичну, поляризовану плоску хвилю, що поширюється в напрямку z, і запишемо для x і y складових електричного поля
\[\begin{array}{c} {E_{x} = p_{1} \cos(\omega t+ \phi_{1}) = p_{1} \cos \tau}\\ {E_{y} = p_{2} \cos(\omega t+ \phi_{2}) = p_{2} \cos (\tau-\phi)} \end{array} \label{EQ4.3.1}\]
із
\[\begin{array}{cc} {\phi = \phi_{1}-\phi_{2}}&{p_{1}, p_{2} \ge 0} \end{array} \label{EQ4.3.2}\]
Визначимо нові параметри:
\[\begin{array}{c} {p_{1} = p \cos \theta}\\ {0 \le \theta \le \pi}\\ {p_{2} = p \sin \theta} \end{array} \label{EQ4.3.3}\]
Зручно висловлювати інформацію, що міститься в Рівняннях 4.3.1—4.3.3 з точки зору спінора
\[\begin{array}{c} {| \hat{k} \rangle = p \begin{pmatrix} {e^{-i \phi/2}}&{\cos (\theta/2)}\\ {e^{i \phi/2}}&{\sin (\theta/2)} \end{pmatrix} e^{-i \phi/2}} \end{array} \label{EQ4.3.4}\]
Тут\(\phi = \omega t + \phi_{1}\) представлена загальна фаза двох компонентів, яка не впливає
стан поляризації. Однак наявність цього третього кута відповідає нашому визначенню спінора в Рівняннях 4.1.10 та 4.1.11 у розділі 4.1. Він виявиться значущим у задачі розщеплення та складу променя. Нормалізуючи інтенсивність та налаштування\(p = 1\), спінор\ ref {EQ4.3.4} відповідає нашій унітарній нормалізації розділу 4.1.
Використовуючи рівняння 4.1.30, 4.1.36 та 4.1.38 розділу 4.1 отримуємо
\[\begin{array}{c} {| \hat{k} \rangle \langle \hat{k} | = \frac{1}{2} (1+ \hat{k} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.3.5}\]
із
\[\begin{array}{c} {k_{1} = \langle \hat{k} | \sigma_{1} | \hat{k} \rangle = \sin \theta \cos \phi = 2p_{1}p_{2} \cos phi}\\ {k_{2} = \langle \hat{k} | \sigma_{2} | \hat{k} \rangle = \sin \theta \sin \phi = 2p_{1}p_{2} \sin phi}\\ {k_{3} = \langle \hat{k} | \sigma_{3} | \hat{k} \rangle = \cos \theta = p_{2}^{2}-p_{1}^{2}} \end{array}\]
Таким чином спінор\ ref {EQ4.3.5}, а отже, кожен стан поляризації відображається на поверхні одиничної сфери, так званої\(Poincar \acute{e}\) сфери.
Ми бачимо, що одиничний вектор\((1, 0, 0)(\theta = \pi/2, \phi = 0)\) відповідає лінійній поляризації уздовж
\[\begin{array}{ccc} {\frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{x}+\hat{y})}&{or}&{|45^{\circ} \rangle} \nonumber \end{array}\]
\((0, 1, 0)(\theta = \pi/2, \phi = \phi/2)\)відповідає прямому циркулярно поляризованому світлу\(| R \rangle\), і\((0, 0, 1)\) або\(\theta = 0\) лінійної поляризації в\(\hat{x}\) напрямку:\(| \hat{x} \rangle\). (Див. Малюнки 4.3 і 4.4.)
Існує альтернативний, а ще більш сприятливий метод параметризації\(Poincar \acute{e}\) сфери, при якому краща вісь для визначення сферичних координат відповідає світлу позитивної спіралі\(| R \rangle\). Цей вибір має на увазі новий набір сферичних кутів, скажімо,\(\alpha, \beta\) для заміни\(\phi, \theta\). Їх співвідношення зображено геометрично на малюнках 4.3 і 4.4. Відповідна алгебраїчна обробка підсумовується наступним чином.
Позначаємо декартові осі в «\(Poincar \acute{e}\)просторі» як
\[\begin{array}{c} {k_{3} = s_{1} = \sin \beta \cos \alpha}\\ {k_{1} = s_{2} = \sin \beta \sin \alpha}\\ {k_{2} = s_{3} = \cos \beta} \end{array} \label{EQ4.3.7}\]
Вектор\(\hat{s}\) пов'язаний з унітарним спінором
\[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle = \begin{pmatrix} {e^{-i \alpha/2}}&{\cos (\beta/2)}\\ {e^{i \alpha/2}}&{\sin (\beta/2)} \end{pmatrix}} \end{array}\]
і
\[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle \langle \hat{s} | = \frac{1}{2} (1+ \hat{s} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]
Перевага такого вибору в тому, що кути\(\alpha, \beta\) мають просте значення. Ми стверджуємо, що
\[\begin{array}{c} {a_{1} = a \cos (\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\beta))}\\ {a_{2} = a \sin (\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\beta))} \end{array} \label{EQ4.3.10}\]
де\(a_{1}, a_{2}\) половина великих і другорядних осей еліпса простежується\(\vec{E}\) вектором; ми пов'язуємо позитивну і негативну\(a_{2}\) з еліпсом, обведеним у позитивному та негативному сенсі відповідно. Причому кут\(\alpha\) в два рази перевищує кут нахилу великої осі проти осі х (рис. 5.4-д). Кут\(\gamma\) відноситься до загальної фазі в повній аналогії до\(\psi\).
Доказ цих тверджень є в Born and Wolf (див. С. 24-32 [BW64], більш пізні видання практично не змінюються). Далі слід дещо спрощена деривація.
Спочатку доведено, що рівняння\ ref {EQ4.3.1} і\ ref {EQ4.3.2} дійсно забезпечують параметричне зображення еліпса. Виключення\(\tau\) з двох рівнянь\ ref {EQ4.3.1} дає
\[\begin{array}{c} {(\frac{E_{1}}{p_{1} \sin \phi})^{2}- \frac{2E_{1}E_{2} \cos \phi}{p_{1}p_{2} \sin^{2} \phi}+(\frac{E_{1}}{p_{1} \sin \phi})^{2}} \end{array} \label{EQ4.3.11}\]
Це рівняння виду
\[\begin{array}{c} {\sum_{1}^{2} a_{ik}x_{i}x_{k} = 1} \end{array}\]
з\(a_{ik}\), реальним, симетричним, і\(a_{11} > 0\),
\[\begin{array}{c} {a_{11}a_{22}-a_{12}^2 > 0} \end{array}\]
Осі еліпса походять від задачі на власні значення:
\[\begin{array}{c} {(a_{11}-\lambda) x_{1}+a_{12}x_{2} = 0}\\ {a_{21}x_{1}+(a_{22}-\lambda) x_{2} = 0} \end{array} \label{EQ4.3.14}\]
Звідси
\[\begin{array}{c} {\lambda^{2}-(a_{11}+a_{22}) \lambda+a_{11}a_{22}-a_{12} = 0} \end{array}\]
із
\[\begin{array}{cc} {\lambda_{1} = \frac{1}{a_{1}^{2}}}\\ {\lambda_{2} = \frac{1}{a_{2}^{2}}} \end{array}\]
де половина\(a_{1}, a_{2}\) основних і половина другорядних осей відповідно.
Ми маємо, вставляючи для\(a_{ik}\), з рівняння\ ref {EQ4.3.11}
\[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{11}+a_{22} = (\frac{1}{p_{1}^{2}}+\frac{1}{p_{2}^{2}}) \frac{1}{\sin^{2} \phi}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \frac{1}{p_{1}^{2}p_{2}^{2} \sin^{2} \phi}} \end{array}\]
З цих рівнянь ми маємо
\[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{1}^{2} a_{2}^{2} = p_{1}^{2}p_{2}^{2} \sin^{2} \phi} \end{array} \label{EQ4.3.19}\]
\[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{1}^{2}+a_{2}^{2} = p_{1}^{2}+p_{2}^{2}} \end{array}\]
З рівняння\ ref {EQ4.3.19} ми маємо\(a_{1} a_{2} = \pm p_{1}p_{2} \sin \phi\). Ми вимагаємо
\[\begin{array}{c} {a_{1} a_{2} = p_{1}p_{2} \sin \phi} \end{array}\]
і нехай\(a_{2} < 0\) за\(\sin \phi < 0\).
Введемо допоміжний кут 3, як визначено в Equation\ ref {EQ4.3.10}. При такому\(\beta = 0\) призначенні\(\pi\) відповідають дійсно правий і лівий кругополяризоване світло\(| R \rangle, | \bar{R} \rangle\) відповідно. Більш того\(a_{1} \ge |a_{2}|\). \(a_{1}\)Звідси і половина великої осі. З рівнянь\ ref {EQ4.3.3},\ ref {EQ4.3.19} і\ ref {EQ4.3.10} отримуємо
\[\begin{array}{c} {\cos \beta = \sin \theta \sin \phi} \end{array} \label{EQ4.3.22}\]
Ми завершуємо параметризацію еліптичності введенням\(\alpha/2\) для кута між великою віссю і\(\hat{x}\) напрямком (рис. 5.4-c).
З рівняння\ ref {EQ4.3.14} ми маємо
\[\begin{array}{c} {\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{\lambda-a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{\lambda-a_{22}}} \end{array}\]
і
\[\begin{array}{c} {\tan \alpha = \frac{\tan \frac{\alpha}{2}+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2} \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\lambda-a_{11}}{a_{12}}+\frac{a_{12}}{\lambda-a_{22}}}{\frac{\lambda-a_{11}}{\lambda-a_{22}}}}\\ {= \frac{(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22}) \frac{1}{a_{12}}+a_{12}}{a_{11}-a_{22}} = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}\\ {= \frac{2p_{1}p_{2} \cos \phi}{p_{1}^{2}-p_{2}^{2}} = \frac{\sin \theta \cos \phi}{\cos \theta} = \tan \theta \cos \phi} \end{array} \label{EQ4.3.24}\]
З Equation\ ref {EQ4.3.22} очевидно, що вісь дійсно\(s_{3}\) може бути ідентифікована з\(k_{2}\). Крім того, рівняння\ ref {EQ4.3.24} дає
\[\begin{array}{c} {\frac{s_{2}}{s_{1}} = \frac{k_{1}}{k_{3}}} \end{array}\]
Оскільки\(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2} = 1 = s_{1}^{2} = s_{2}^{2} = s_{2}^{3}\) ми дійшли до решти ідентифікації, запропонованої в Equation\ ref {EQ4.3.7}.
Ми будемо посилатися на формалізм, заснований на параметризаціях\(\hat{k}(\phi, \theta, \psi)\) і\(\hat{s}(\alpha, \beta, \gamma)\) як\(\hat{k}\) -схема і\(\hat{s}\) -схема відповідно. Так як будь-яка з двох пар кутів\(\phi, \theta\) і\(\alpha, \beta\) дає задовільний опис стану поляризації, варто розібратися з обома схемами.
Роль «третього кута»\(\phi\) або\(\gamma\), відповідно, більш тонка. Добре відомо, що спінор може бути візуалізований як вектор і кут, «флагшток» і «прапор» в термінології Пенроуза Однак кут являє собою фазу, і як такий має горезвісно амбівалентні властивості. Хоча одна фаза, як правило, неважлива, фазові відносини часто є найбільш значущими. Хоча можна вирішити конкретні проблеми в поляризаційній оптиці з точки зору сфери Пуанкаре без явного використання третього кута, для нас ці проблеми є лише сходинками для більш глибоких проблем, і ми вважаємо за краще представляти їх як приклади загального формалізму. Незалежно від того, якщо це здається дещо важким пістолетом для цієї мети.
Продовжуючи таким чином, ми повинні ігнорувати деякі тонкі відмінності; таким чином ми призначаємо\(| \xi \rangle\) і\(- | \xi \rangle\) до того ж стану поляризації. Перевагою ми вважаємо, що формалізм має резервну здатність використовувати згодом для таких задач, як спін електронів.
Ми демонструємо корисність спінорного формалізму, переводячи одне з його простих пропозицій на те, що можна назвати фундаментальною теоремою поляризаційної оптики.
Розглянемо дві пари сполучених спінор\(| \xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle\) і\(| \xi' \rangle, | \bar{\xi'} \rangle\).
Існує однозначно визначена одномодульна унітарна матриця U така, що
\[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle = U | \xi \rangle}\\ {| \bar{\xi'} \rangle = U | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]
- Доказ
-
Використовуючи рівняння 5.1.27 розділу 5.1, ми розглядаємо унітарні матриці, пов'язані зі спінорними парами:
\[\begin{array}{c} {V = (| \xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle)} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {V' = (| \xi' \rangle, | \bar{\xi'} \rangle)} \end{array}\]
Матриця\(U = V'V^{-1}\) має бажані властивості, так як\(UV = V'\).
Нехай одновісна параметризація U буде\(U (\hat{u}, \chi /2)\). Використовуючи рівняння 4.1.58 та 4.1.59 Розділу 45.1 ми бачимо, що U має два власні спінори:
\[\begin{array}{c} {U | \hat{u} \rangle = \exp (-i \chi/2) | \hat{u} \rangle} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {U | \bar{\hat{u}} \rangle = \exp (i \chi/2) | \hat{u} \rangle} \end{array}\]
Звідси U виробляє зсув фаз між сполученими станами\(| \hat{u} \rangle\) і\(| \hat{u} \rangle\); крім того, він обертає їх лінійні комбінації:
\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle = a_{0} | \hat{u} \rangle + a_{1} | \hat{u} \rangle} \end{array}\]
де
\[\begin{array}{c} {|a_{0}|^2+|a_{1}|^2 = 1} \end{array}\]
Ці результати переводяться в поляризаційну оптику наступним чином. Довільний, повністю поляризований промінь може бути перетворений в інший пучок такого ж виду фазовращательнимі, вісь\(\hat{u}\) якого однозначно визначається в плані спінорного представлення заданих пучків. Оскільки результатом є обертання сфери Пуанкаре, вісь фазовращатель може бути визначена також геометрично.
Щоб протидіяти повній загальності конструкції Пуанкаре, розглянемо особливі випадки
\[\begin{array}{c} {U = U(\hat{k}_{3}, \frac{\Delta \phi}{2})} \end{array} \label{EQ4.3.33}\]
\[\begin{array}{c} {U = U(\hat{s}_{3}, \frac{\Delta \alpha}{2})} \end{array} \label{EQ4.3.34}\]
Фазовращатель, Equation\ ref {EQ4.3.33}, називається лінійним сповільнювачем, він встановлює фазове відставання між одним станом лінійної поляризації і його антиподальним станом. Бо у\(\Delta \phi = \pi/2\) нас є чверть хвильової пластини, яка перетворює еліптичну в лінійну поляризацію або навпаки.
Фазовращатель, Equation\ ref {EQ4.3.34}, створює фазове відставання між правим і лівим кругово поляризованими променями. (Круговий двогранний кристал, скажімо, кварц розрізається перпендикулярно оптичній осі: ефект гвинтових сходів.)
Оскільки лінійно поляризований промінь є лінійним складом,\(| R \rangle\) а\(| L \rangle\) фазовий лаг проявляється у обертанні площини поляризації, отже, обертання навколо\(\hat{s}_{3}\). Пристрій називається ротатором.
Таким чином, обертання сфери Пуанкаре може призвести або до зміни форми, або зміни орієнтації в звичайному просторі.
Ми можемо додати, що, об'єднавши дві чверті хвильових пластин з одним загальним ротатором, ми можемо реалізувати довільний фазовий перемикач\(U(\hat{u}, \chi/2)\).
Наша основна теорема про подання перетворення повністю поляризованих пучків, очевидно, є аналогом теореми Ейлера про зміщення гіроскопа, згаданої на сторінці 56.
Хоча у нас є формальна ідентичність, в тому сенсі, що ми маємо в обох випадках обертання тріади, існує велика різниця у фізичній інтерпретації. Обертання відбувається зараз у абстрактному просторі, ми можемо назвати його простором Пуанкаре. Також велика різниця в тому, що кутові швидкості обертового об'єкта тепер замінені тимчасовими темпами зміни різниці фаз між парами сполучених поляризацій. Переходячи від жорстких тіл до поляризованих хвиль (вироджених вібрацій), нам не потрібно модифікувати формалізм, але нова інтерпретація відкриває нові можливості. Поняття фазової різниці викликає ідею когерентної суперпозиції як контрасту з некогерентним складом. Ці питання не мають аналогу в разі жорсткого обертання, і ми тепер перейдемо до розгляду нових можливостей.
Розглянемо поляризований пучок, представлений на\(\hat{s}(\alpha, \beta)\) схемі спінором\(| \hat{s} \rangle\), де
\[\begin{array}{c} {S = | \hat{s} \rangle \langle \hat{s} | = \frac{1}{2} (1+\hat{s} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]
або, як варіант,
\[\begin{array}{c} {S = \begin{pmatrix} {s_{0}s_{0}^{*}}&{s_{0}s_{1}^{*}}\\ {s_{1}s_{0}^{*}}&{s_{0}s_{1}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array}\]
S називають матрицею щільності або матрицею когерентності, пов'язаної з поляризованим пучком (чистий стан в квантовій механіці). Як ми вже бачили, він ідемпотентний і детермінантний\(|S| = 0\).
Аналізуємо цей промінь за допомогою приладу\(U(u, \Delta \psi/2)\) де\(\hat{u} \ne \hat{s}\), і отримуємо
\[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle = a_{0} | \hat{u} \rangle+a_{1} | \bar{\hat{u}} \rangle} \end{array}\]
із
\[\begin{array}{cc} {a_{0} = \langle \hat{u} | \hat{s} \rangle}&{a_{1} = \langle \bar{\hat{u}} | \hat{s} \rangle} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {|a_{0}|^2+|a_{1}|^2 = 1} \end{array} \label{EQ4.3.39}\]
З рівнянь 4.1.58 ми маємо
\[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle =U(\hat{u}, \frac{\Delta \psi}{2}) | \hat{s} \rangle}\\ {= a_{0} \exp(-i \frac{\Delta \psi}{2}) | \hat{u} \rangle a_{1} \exp(i \frac{\Delta \psi}{2}) | \bar{\hat{u}} \rangle}\\ {= a_{0} | \hat{u}, \frac{\psi + \Delta \psi}{2} \rangle a_{1} | \overline{\hat{u}, \frac{\psi + \Delta \psi}{2}} \rangle} \end{array} \label{EQ4.3.40}\]
Давайте тепер припустимо, що інструмент U подвоюється за допомогою зворотного інструменту, який возз'єднує два промені, які були розділені на першому кроці. Таке возз'єднання може статися після того, як на розділених балках були виконані певні маніпуляції. Такий пристрій, так званий цикл аналізу, використовувався більше для концептуального аналізу квантового механічного формалізму, ніж для практичних цілей поляризаційної оптики.
Залежно від характеру маніпуляцій у нас є ряд різних ситуацій, які ми приступаємо до розплутування під рукою наступних формул.
Отримаємо з Рівняння\ ref {EQ4.3.40}
\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}S' =| \hat{s'} \rangle \langle \hat{s'} | = |a_{0}|^{2} | \hat{u} \rangle \langle \hat{u} |+|a_{1}|^{2} | \bar{\hat{u}} \rangle \langle \bar{\hat{u}} |+a_{0}a_{1}^{*} \exp (-i \Delta \psi) | \hat{u} \rangle \langle \bar{\hat{u}} |} \end{array} \label{EQ4.3.41}\]
\(S'\)Ось ідемпотентний і детермінантний нуль так само, як S є, оскільки\(| \hat{s'} \rangle\) виникає\(| \hat{s} \rangle\) за допомогою унітарної операції.
Розглянемо тепер інший випадок, коли різниця фаз між двома частковими пучками була рандомізована. Насправді, спочатку візьміть крайній випадок, коли терміни втручання зникають:
\[\begin{array}{c} {\langle a_{0}a_{1}^{*} \exp (-i \Delta \psi) \rangle_{av} = \langle a_{1}a_{0}^{*} \exp (i \Delta \psi) \rangle_{av} = 0} \end{array} \label{EQ4.3.42}\]
Отримано з рівнянь\ ref {EQ4.3.41},\ ref {EQ4.3.42} і\ ref {EQ4.3.39}
\[\begin{array}{c} {S' = 1+(|a_{0}|^{2}-|a_{1}|^{2}) \hat{u} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
Пишемо S' як
\[\begin{array}{c} {S' = 1 +s' \hat{u} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
де\(0 \le s' < 1\) і
\[\begin{array}{c} {0 < |S| = 1+s'^{2} \le 1} \end{array}\]
Тепер ми маємо узагальнену форму матриці щільності, пов'язану з частково поляризованим або навіть природним світлом (якщо\(s' = 0\)). У квантовій механіці ми говоримо про суміш станів.
Звичайно в оптиці змінювати нормалізацію і встановлювати для частково поляризованого променя.
\[\begin{array}{c} {S = s_{0}+s \hat{s} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
де\(s_{0}\) - сумарна інтенсивність і s інтенсивність поляризованої складової. Ми маємо для визначника
\[\begin{array}{c} {0 \le |S| = s_{0}^{2}-s^{2} \le s^{2}} \end{array}\]
що дорівнює нулю для поляризованого світла та позитивного в іншому випадку.
На додаток до збереження або руйнування фазових відносин, можна працювати безпосередньо на інтенсивність, а також. Якщо один з компонентів аналізатора, скажімо,\(| \hat{u} \rangle\) або\(| \bar{\hat{u}} \rangle\) заблокований, прилад діє як ідеальний поляризатор.
Формально, ми можемо дозволити оператору проекції
\[\frac{1}{2} (1 \pm \hat{u} \cdot \vec{\sigma})\]
діють на матрицю щільності променя, яка може поляризуватися повністю, частково або зовсім не поляризуватися. Неполяризоване або природне світло можна розглядати як статистичний ансамбль поляризованих світлових пучків, рівномірно розподілених по сфері Пуанкаре. (Див. Проблема #15.)
Недосконалий поляризатор (наприклад, лист поляроїда) демонструє нерівномірне поглинання двох спряжених лінійних поляризацій. Його можна представити у вигляді ермітієвого оператора, що діє на С.
Вище ми бачили, що несхожий склад двох пучків аналізатора враховується шляхом додавання матриці щільності.
І навпаки, кожен частково поляризований пучок може бути побудований таким чином. (Див. Проблема #13.)
Тим не менш, ми можемо побажати додати незв'язно довільний набір частково поляризованих променів, і це завжди досягається шляхом додавання їх матриць щільності.
Тоді виникає питання: Чи не могли б ми діяти феноменологічно з точки зору щільності matri ces поодинці?
Справа розглядалася вже Стоукс (1852), який ввів стовпчастий вектор з чотирма складовими I, M, C, S, відповідними нашій\(s_{0}, \vec{s}\). Загальний інструмент представлений реальною\(4 \times 4\) матрицею. Зверніть увагу, що «інструмент» може бути також молекулою, що виробляє зміну поляризації при розсіюванні.
\(4 \times 4\)Матриці прийнято називати матрицями Мюллера. Цей формулізм зазвичай згадується разом з обчисленням Джонса\(2 \times 2\) складних матриць. Це було розроблено Р. Кларком Джонсом з Polaroid Co. та його співробітниками в довгій серії робіт у журналі Американського оптичного товариства в 1940-х роках (цитується, наприклад, Shurcliff та C. Whitney). Це в основному двокомпонентна спінор теорія для боротьби з інструментами, які змінюють поляризацію без де поляризації або втрати інтенсивності. Вона розроблялася в тісному контакті з експериментом без опори на існуючий математичний формалізм.
Мюллер любив підкреслювати чисто феноменологічний характер свого формалізму. Параметри чотирьох токів балки можуть бути визначені з вимірювань чотирма фільтрами. Однак складність цього феноменологічного підходу полягає в тому, що не кожна\(4 \times 4\) матриця відповідає фізично реалізованому приладу або об'єкту розсіювання. Це означає, що так званий пасивний інструмент не повинен ні збільшувати загальну інтенсивність, ні створювати фазові кореляції. Ситуація простіше в\(2 \times 2\) матричній формулюванні, в якій були усунені надлишкові параметри.
Однак ми не вникаємо в такі подробиці, оскільки поляризаційна оптика не є нашою першочерговою турботою. Фактично, двоцінність повного спінорного формалізму викликає певне ускладнення, яке виправдано тим, що наш основний інтерес полягає у застосуваннях до квантової механіки. Ми порівняємо різні типи додатків, які доступні на цьому етапі в розділі 4.5.
Тим часом у наступному розділі ми покажемо, що поняття унітарного спінора можна узагальнити до релятивістських ситуацій. Це незамінне, якщо формалізм повинен застосовуватися також до поширення, а не лише поляризації світла.