4.1: Від тріад та кутів Ейлера до спінорів. Евристичне введення

Як уже згадувалося в розділі 2.4.3, очевидною ідеєю є збагачення формалізму алгебри Паулі шляхом введення складного векторного простору,\(\mathcal{V}(2, C)\) на якому працюють матриці. Двокомпонентні комплексні вектори традиційно називають спінорами. Ми хочемо показати, що вони породжують широкий спектр застосування. Фактично ми введемо спінор поняття як природну відповідь на проблему, яка виникає в контексті обертального руху.

У розділі 2 ми розглянули обертання як операції, що виконуються на векторному просторі. У той час як такий підхід дозволив нам дати групово-теоретичне визначення магнітного поля, вектор не є відповідною конструкцією для обліку обертання орієнтованого об'єкта. Найпростіша математична модель, придатна для цієї мети - декартова (ортогональна) трехкадровая, коротко, тріада. Задача полягає в розгляді двох тріад з збігом витоків, а також описано обертання кадру об'єкта щодо космічного кадру. Тріади представлені у вигляді відповідних одиничних векторів: простір як\(\sum_{s} (\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_{3})\) і кадр об'єкта як\(\sum_{s} (\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3})\). Тут c розшифровується як «корпус», оскільки o для «об'єкт» здається неоднозначним. Вибираємо рамки для правшів.

Ці орієнтовані об'єкти не точкові, і їх параметризація пропонує нові проблеми. У цьому сенсі ми можемо називати тріади «вищими об'єктами», на відміну від точок, які є «нижчими об'єктами». Найлегше спадає на думку думка розглянути дев'ять напрямків косинусів,\(\hat{e}_{i} \cdot \hat{x}_{k}\) але це недоцільно, через шість відносин, що з'єднують ці параметри. Ця складність знімається трьома незалежними Ейлерівськими кутами, найбільш геніальним набором конструкцій, які залишають нас тим не менш з іншою проблемою: ці параметри не мають хороших алгебраїчних властивостей; їх зв'язок зі звичайним евклідовим векторним простором забезпечується досить громіздкими відносинами. Цю остаточну складність вирішує концепція спінора.

Теорія обертання тріад зазвичай розглядається в контексті механіки твердого тіла. Згідно з традиційним визначенням тверде тіло - це «сукупність точкових частинок, що утримують жорсткі відстані». Така система не піддається корисному релятивістському узагальненню. Також це визначення не легко узгоджується з принципом невизначеності Гейзенберга.

Оскільки ця дискусія спрямована на застосування до теорії відносності та квантової механіки, поспішаємо зазначити, що ми розглядаємо тріаду як точну математичну модель для роботи з об'єктами, орієнтованими в просторі.

Хоча ми коротко розглянемо обертання жорсткого тіла в розділі 4.2, поняття жорсткості в визначеному вище значенні не є суттєвим у нашому аргументі.

Тепер ми перейдемо до евристичного аргументу, який веде нас природним чином від обертання тріади до концепції спінора.

Згідно з теоремою Ейлера будь-яке зміщення твердого тіла, закріпленого в точці О, еквівалентно обертанню навколо осі через О. (Див. [Whi64], стор. 2.)

Ця теорема дає обґрунтування\(\sum_{c}\) опису орієнтаційної конфігурації з точки зору унітарної матриці в\(\mathcal{SU}(2)\) тому, що виробляє відповідну конфігурацію зі стандартного положення, в якому збігаються два кадри. Позначення унітарних одномодульних матриць, відповідних двом конфігурації переходом між ними, передається оператором U.\(V_{1}, V_{2}\)

\[\begin{array}{c} {V_{2} = UV_{1}} \end{array} \label{EQ4.1.1}\]

Нехай

\[\begin{array}{c} {V = \cos\frac{\phi}{2}1-i \sin\frac{\phi}{2} \hat{v} \cdot \vec{\sigma}}\\ {= q_{0}1-i \vec{q} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Ось так\(q_{0}, \vec{q}\) звані кватерніонні компоненти, так як\((-i \sigma_{k})\) підкоряються правилам комутації кватерніонних одиниць\(e_{k} : e_{1}e_{2} = -e_{2}e_{1} = e_{3}\). У нас є

\[\begin{array}{c} {|V|=q_{0}^{2}+\vec{q}^2 = q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2} = 1} \end{array} \label{EQ4.1.3}\]

Рівняння 4.1.1 - 4.1.3 можуть бути надані елегантною геометричною інтерпретацією:\(q_{0}, \vec{q}\) розглядаються як координати точки на тривимірній одиничній гіперсфері в чотиривимірному просторі\(\mathcal{V}(4, R)\). Таким чином обертання тріади відображається на обертанні цієї гіперсфери. Операція залишає\ ref {EQ4.1.3} інваріантним.

Формалізм - це еліптична геометрія, аналог гіперболічної геометрії в просторі Мінковського.

Ця геометрія має на увазі під собою «метрику»: «відстань» двох переміщень\(V_{1}\), і\(V_{2}\) визначається як

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr(V_{2} \tilde{V}_{1}) = \cos \frac{\phi_{1}}{2} \cos \frac{\phi_{2}}{2}+\sin \frac{\phi_{1}}{2} \sin \frac{\phi_{2}}{2} \hat{v}_{1} \cdot \hat{v}_{2}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= \cos \frac{\phi}{2} = q_{10}q_{20}+\vec{q}_{1} \cdot \vec{q}_{2}} \end{array}\]

де\(\phi\) - кут повороту перенесення\(V_{1}\), в\(V_{2}\). Зверніть увагу на аналогію з гіперболічною формулою 2.4.67 в розділі 2.4.3.

Ми маємо тут приклад цікавого принципу геометрії: «вищий об'єкт» у нижньому просторі часто можна представити як «нижчий об'єкт», тобто точку у вищому просторі. «Вищий об'єкт» - це тріада в звичайному просторі\(\mathcal{V}(3, R)\). Він представлений у вигляді точки у вищому просторі\(\mathcal{V}(4, R)\).

Ми побачимо, що цей принцип відіграє важливу роль у інтуїтивній інтерпретації квантової механіки. Точки в абстрактних просторах цієї теорії повинні бути пов'язані зі складними об'єктами в звичайному просторі.

Хоча подання оператора обертання U і обертового об'єкта V в умовах однотипної параметризації можна вважати джерелом математичної елегантності, воно також має недолік. Обертові об'єкти можуть мати бажану внутрішню орієнтацію, таку як вісь фігури або спін електронів, для яких немає аналога у рівняннях\ ref {EQ4.1.1} та\ ref {EQ4.1.3}.

Ця ситуація виправляється наступною штукою. Нехай вісь фігури вказує уздовж вектора одиниці\(\hat{e}_{3}\), що збігається в стандартному положенні з\(\hat{x}_{3}\) Замість генерації матриці об'єкта V в терміні одиночного обертання, розглянемо наступну стандартну послідовність, яку потрібно читати справа наліво, (див. Рис.

\[\begin{array}{c} {U(\hat{x}_{3}, \frac{\alpha}{2}) U(\hat{x}_{2}, \frac{\beta}{2})U(\hat{x}_{3}, \frac{\gamma}{2}) = V(\alpha, \beta, \gamma)} \end{array} \label{EQ4.1.6}\]

Ось\(\alpha, \beta, \gamma\) відомі кути Ейлера, а послідовність обертань - один з варіантів, традиційно використовуваних для їх визначення.

Позначення вимагає пояснення. Ми будемо продовжувати використовувати, як ми це робили в розділі 2,\(U(\hat{u}, \phi/2)\) для\(2 \times 2\) унітарної матриці, параметризованої через змінні кута осі. Назвемо це ще й одновісною параметризацією, яку слід відрізняти від двовісної параметризації унітарних матриць V, в якій кращу роль відіграють і просторовий напрямок\(\hat{x}_{3}\)\(\hat{e}_{3}\), і вісь фігури.

У Equation\ ref {EQ4.1.6} обертання визначаються вздовж осей, заданих у просторовому кадрі\(\sum_{s}\). Однак в ході кожної операції вісь фіксується в обох рамах. Таким чином, це просто питання іншого імені (псевдонім I), щоб описати операцію (4) в\(\sum_{c}\). Ми маємо тоді для тієї ж унітарної матриці

\[\begin{array}{c} {V(\alpha, \beta, \gamma) = U(\hat{e}_{3}, \frac{\gamma}{2}) U(\hat{e}_{2}, \frac{\beta}{2})U(\hat{e}_{3}, \frac{\alpha}{2})} \end{array} \label{EQ4.1.7}\]

Зверніть увагу на інверсію послідовності операцій, пов'язаних з обертаннями a і y. це відношення слід інтерпретувати в кінематичному сенсі: рамка тіла рухається від початкової орієнтації збігу з\(\sum_{s}\) в кінцеве положення.

Еквівалентність\ ref {EQ4.1.6} і\ ref {EQ4.1.7} можна розпізнати за геометричною інтуїцією, а також явними перетвореннями між\(\sum_{s}\) і\(\sum_{c}\). (Див. [Got66], стор 268).

У літературі часто розглядається послідовність

\[\begin{array}{c} {U(\hat{x}_{3}'', \frac{\gamma}{2}) U(\hat{x}_{2}', \frac{\beta}{2})U(\hat{x}_{3}, \frac{\alpha}{2})} \end{array}\]

де\(\hat{x}_{2}'\), і\(\hat{x}_{3}''\) є позиції осі після першого і другого кроку відповідно. Ця процедура, здається, має незручну властивість, що різні обертання виконуються в різних просторах. Однак при найближчому розгляді можна помітити, що рівняння 5.1.8 відрізняється лише позначеннями від Equation\ ref {EQ4.1.7}. У звичайній статичній інтерпретації\(\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3}\), використовуються тільки для остаточної конфігурації, і\(\hat{x}_{2}', \hat{x}_{3}''\) вводяться як допоміжні осі. Якщо, навпаки, дивитися на кадр об'єкта кінематично, то розумієш, що в момент конкретних обертань збігаються наступні осі:

\[\begin{array}{ccc} {\hat{x}_{3} = \hat{e}_{3}}&{ \hat{x}_{2}' = \hat{e}_{2}}&{\hat{x}_{3}'' = \hat{e}_{3}} \end{array}\]

Тепер ми пишемо рівняння\ ref {EQ4.1.6} явно як

\[\begin{array}{c} {V(\alpha, \beta, \gamma) = U(\hat{e}_{3}, \frac{\gamma}{2}) U(\hat{e}_{2}, \frac{\beta}{2})U(\hat{e}_{3}, \frac{\alpha}{2})}\\ {= \begin{pmatrix} {e^{-i \alpha/2}}&{0}\\ {0}&{e^{i \alpha/2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\cos(\beta/2)}&{-\sin(\beta/2)}\\ {\sin(\beta/2)}&{\cos(\beta/2)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^{-i \gamma/2}}&{0}\\ {0}&{e^{i \gamma/2}} \end{pmatrix}}\\ {= \begin{pmatrix} {e^{-i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{-i \gamma/2}}&{-e^{-i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{i \gamma/2}}\\ {e^{i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{-i \gamma/2}}&{e^{i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{i \gamma/2}} \end{pmatrix}}\\ {= \begin{pmatrix} {\xi_{0}}&{-\xi_{1}^{*}}\\ {\xi_{1}}&{\xi_{0}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

із

\[\begin{array}{c} {\xi_{0} = e^{-i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{-i \gamma/2}}\\ {\xi_{1} = e^{i \alpha/2} \cos(\beta/2) e^{i \gamma/2}} \end{array} \label{EQ4.1.11}\]

Чотири елементи матриці, що з'являються в цьому відношенні, є так званими параметрами Кейлі-Кляйна. (Див. Рівняння 2.4.43 в розділі 2.4.2.)

Це загальна властивість матриць алгебри\(\mathcal{A}_{2}\), що вони можуть бути представлені або в плані компонентів, або в терміні елементів матриці. Зроблено висновок, що представлення унітарної матриці через елементи придатне для параметризації орієнтаційної конфігурації, тоді як оператор обертання представлений через складові (змінні кута осі).

Залишився ще один крок, щоб висловити цей результат найбільш ефективно. Введемо двокомпонентні комплексні вектори (спінори)\(\mathcal{V}(2, C)\) вже згаданих на початку глави. Зокрема, ми визначаємо два спряжені вектори стовпців, або ключові спінори:

\[\begin{array}{c} {|\xi \rangle = \begin{pmatrix} {\xi_{0}}\\ {\xi_{1}} \end{pmatrix}}\\ {|\bar{\xi} \rangle = \begin{pmatrix} {-\xi_{1}^{*}}\\ {\xi_{0}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

і записати унітарну V матрицю символічно як

\[\begin{array}{c} {V = (\langle \xi |||\xi \rangle)} \end{array}\]

Визначимо відповідні вектори бюстгальтера, розбивши спряжений Герміт V по горизонталі на рядні вектори:

\[\begin{array}{c} {V^{\dagger} = \begin{pmatrix} {\xi_{0}^{*}}&{\xi_{1}^{*}}\\ {-\xi_{1}}&{\xi_{0}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\langle \xi |}\\ {\langle \bar{\xi} |}\\ \end{pmatrix}} \end{array}\]

або

\[\begin{array}{cc} {\langle \xi | = (\xi_{0}^{*}, \xi_{1}^{*})}&{\langle \bar{\xi} | = (-\xi_{1}, \xi_{0})} \end{array}\]

Умова унітарності V може виражатися як

\[\begin{array}{c} {V^{\dagger}V = \begin{pmatrix} {\langle \xi |}\\ {\langle \bar{\xi} |} \end{pmatrix} (| \xi \rangle, |\bar{\xi} \rangle)} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= \begin{pmatrix} {\langle \xi | \xi \rangle}&{\langle \xi | \bar{\xi} \rangle}\\ {\langle \bar{\xi} | \xi \rangle}&{\langle \bar{\xi} | \bar{\xi} \rangle} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}} \end{array}\]

поступаючись одразу умовам ортонормальності

\[\begin{array}{c} {\langle \xi | \xi \rangle = \langle \bar{\xi} | \bar{\xi} \rangle = 1}\\ {\langle \xi | \bar{\xi} \rangle = \langle \bar{\xi} | \xi \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.18}\]

Вони можуть бути, звичайно, перевірені прямим розрахунком. Ортогональні спінори також називають сполученими спінорами.

З цих відносин ми бачимо, що наше визначення спінового відмінювання дійсно є розумним. Однак сенс цього поняття багатший, ніж може припустити аналогія з співвідношенням орто-нормальності в реальній області.

Перш за все, ми виражаємо спінові відмінювання термінами матричної операції. Відношення нелінійне, так як передбачає операцію складного сполучення\(\mathcal{K}\)

У нас є

\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix} \mathcal{K} | \xi \rangle = -i \sigma_{2} \mathcal{K} | \xi \rangle} \end{array}\]

і

\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi} | = \mathcal{K} \langle \xi | \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} = \mathcal{K} \langle \xi | i \sigma_{2}} \end{array}\]

Отримуємо звідси

\[\begin{array}{cc} {| \bar{\bar{\xi}} \rangle = -| \xi \rangle}&{\langle \bar{\bar{\xi}} | = -\langle \xi |} \end{array} \label{EQ4.1.21}\]

Барне позначення для спінового сполучення передбачає зв'язок зі складним відображенням алгебри Паулі. Ми побачимо, що такий зв'язок дійсно існує. Однак ми повинні пам'ятати, що, на відміну від Equation\ ref {EQ4.1.21}, комплексне відображення є інволютивним, тобто його ітерація є тотожністю\(\bar{\bar{A}} = A\).

Поява негативного знака в Equation\ ref {EQ4.1.21} є добре відомою властивістю спінової функції, однак нам доведеться відкласти обговорення цього інтригуючого факту на потім.

Іноді ми будемо називати спінори, нормовані відповідно до Equation\ ref {EQ4.1.18}, як унітарні спінори, щоб відрізнити їх від релятивістських спінорів, нормалізованих як\(\langle \xi | \xi \rangle = k_{0}\) де\(k_{0}\) 0-й компонент чотиривектора.

Розглянемо докладніше зв'язок між спінорами і тріадами. У нашій евристичній процедурі ми почали з об'єктної тріади, визначеної трьома ортонормальними одиничними векторами,\(\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3}\) і досягли еквівалентної специфікації з точки зору асоційованого спінора\(| \xi \rangle\). Наше завдання тепер відштовхуватися від спінора і встановити відповідну тріаду з точки зору його одиничних векторів. Це досягається за допомогою квадратичних виразів.

Розглядаємо так звані зовнішні вироби

\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \xi | = \begin{pmatrix} {\xi_{0}}\\ {\xi_{1}} \end{pmatrix} (\xi_{0}^{*}, \xi_{1}^{*})}\\ {= \begin{pmatrix} {\xi_{0} \xi_{0}^{*}}&{\xi_{0} \xi_{1}^{*}}\\ {\xi_{1} \xi_{0}^{*}}&{\xi_{1} \xi_{1}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ4.1.22}\]

і

\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \bar{\xi} | = \begin{pmatrix} {\xi_{0}}\\ {\xi_{1}} \end{pmatrix} (-\xi_{1}, \xi_{0})}\\ {= \begin{pmatrix} {-\xi_{0} \xi_{1}}&{\xi_{0}^{2}}\\ {-\xi_{1}^{2}}&{\xi_{0} \xi_{1}} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ4.1.23}\]

які можна розглядати як добуток\(1 \times 2\) матриці a\(2 \times 1\) і.

Для того щоб встановити зв'язок з одиничними векторами\(\hat{e}_{k}\), розглянемо спочатку одиничну конфігурацію, в якій збігаються тріади:\(\alpha = \beta = \gamma = 0\), т. Е.

\[\begin{array}{ccc} {\xi_{0} = 1, \xi_{1} = 0}&{or}&{| \xi \rangle = \begin{pmatrix} {1}\\ {0} \end{pmatrix}} \end{array}\]

із

\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle = \begin{pmatrix} {0}\\ {1} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Позначивши ці спінори коротко як\(|1 \rangle\) і\(|\bar{1} \rangle\) відповідно, отримаємо від\ ref {EQ4.1.22} і\ ref {EQ4.1.23}

\[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle 1| = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(1+\sigma_{3}) = \frac{1}{2}(1+\hat{x_{3}} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.1.26}\]

\[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle \bar{1}| = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(\sigma_{1}+i \sigma_{2}) = \frac{1}{2}(\hat{x_{1}}+i \hat{x_{2}}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ4.1.27}\]

Дозволяти V бути унітарна матриця, яка несе кадр об'єкта з позиції одиниці в\(\sum_{c} (\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3})\).

З тих пір, як\(V^{\dagger} = V^{-1}\) і\(\bar{V} = V\), у нас є

\[\begin{array}{cc} {V | 1 \rangle = | \xi \rangle}&{V | \bar{1} \rangle = | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {\langle 1 | V^{-1} = \langle \xi |}&{\langle \bar{1} | V^{-1} = \langle \bar{\xi} |} \end{array}\]

Діючи на\ ref {EQ4.1.26} і\ ref {EQ4.1.27} зліва і справа по V і\(V^{-1}\) відповідно отримуємо

\[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle 1| = \frac{1}{2}(1+\hat{e_{3}} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.1.30}\]

\[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle \bar{1}| =\frac{1}{2}(\hat{e_{1}}+i \hat{e_{2}}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ4.1.31}\]

і, отже, за допомогою рівняння 2.4.13 Розділу 2.4.2,

\[\begin{array}{c} {\hat{e}_{1} = Tr(|\xi \rangle \langle \xi| \vec{\sigma}) = \langle \xi | \vec{\sigma} \xi \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.32}\]

\[\begin{array}{c} {\hat{e}_{1}+ i \hat{e}_{2} = Tr(|\xi \rangle \langle \bar{\xi}| \vec{\sigma}) = \langle \bar{\xi} | \vec{\sigma} \xi \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.33}\]

Ми використали тут правило:

\[\begin{array}{c} {Tr(|\xi \rangle \langle \eta|) = \langle \eta | \xi \rangle} \end{array}\]

Рівняння\ ref {EQ4.1.32} і\ ref {EQ4.1.33} складають найбільш компактний вираз для зв'язку між спінором і пов'язаною з ним тріадою. Звідси можна витягти значення косинусів напряму.

\[\begin{array}{cc} {\hat{e}_{j} \cdot \hat{x}_{k} \equiv e_{jk}}&{ j, k = 1, 2, 3} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\hat{e}_{31} = \langle \xi | \sigma_{1} | \xi \rangle = \xi_{0} \xi_{1}^{*}+\xi_{0}^{*} \xi_{1} = \mathcal{R} (\xi_{0}^{*} \xi_{1})}\\ {\hat{e}_{32} = \langle \xi | \sigma_{2} | \xi \rangle = i(\xi_{0} \xi_{1}^{*}-\xi_{0}^{*} \xi_{1}) = \mathcal{S} (\xi_{0}^{*} \xi_{1})}\\ {\hat{e}_{33} = \langle \xi | \sigma_{3} | \xi \rangle = \xi_{0} \xi_{1}^{*}+\xi_{1}^{*} \xi_{1}} \end{array}. \label{EQ4.1.36}\]

\[\begin{array}{c} {\hat{e}_{11}+i \hat{e}_{21} = \langle \bar{\xi} | \sigma_{1} | \xi \rangle = \xi_{0}^{2}-\xi_{1}^{2}}\\ {\hat{e}_{12}+i \hat{e}_{22} = \langle \bar{\xi} | \sigma_{2} | \xi \rangle = i(\xi_{0}^{2}+\xi_{1}^{2})}\\ {\hat{e}_{13}+i \hat{e}_{23} = \langle \bar{\xi} | \sigma_{3} | \xi \rangle = -2\xi_{0} \xi_{1}} \end{array} \label{EQ4.1.37}\]

За допомогою Equation\ ref {EQ4.1.11} отримано ці величини через кути Ейлера

\[\begin{array}{c} {e_{31} = \sin \beta \cos \alpha}\\ {e_{32} = \sin \beta \sin \alpha}\\ {e_{33} = \cos \beta} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {e_{11} = \cos \gamma \cos \beta \cos \alpha- \sin \gamma \sin \alpha}&{e_{21} = -\sin \gamma \cos \beta \cos \alpha-\cos \gamma \sin \alpha}\\ {e_{12} = \cos \gamma \cos \beta \sin \alpha+\sin \gamma \cos \alpha }&{e_{22} = -\sin \gamma \cos \beta \sin \alpha+ \cos \gamma \cos \alpha }\\ {e_{13} = -\cos \gamma \sin \beta}&{e_{23} = \sin \gamma \sin \beta} \end{array}\]

Співвідношення між векторами та спінорами, відображеними у розділі Рівняння\ ref {EQ4.1.36}, може бути встановлено також за допомогою стереографічної проекції. Цей метод дає більш швидкі результати, ніж нинішнє тривале нарощування, яке, в свою чергу, має більш широкий спектр. Замість обертання векторних просторів ми працюємо над тріадами і таким чином отримуємо також Equation\ ref {EQ4.1.37}. Наскільки мені відомо, це відношення не з'явилося в літературі.

Рівняння\ ref {EQ4.1.36} і\ ref {EQ4.1.37} вирішують задачу параметризації, зазначену на початку цього розділу. Дев'ять взаємопов'язаних напрямків косинусів\(e_{jk}\). Виражаються трьома незалежними параметрами спінора.

Це аналог задачі параметризації щодо дев'яти параметрів\(\mathcal{SO}(3)\) матриць (див. стор. 13), задачі, яка була розв'язана представленням SU (2)\(\mathcal{SO}(3)\) з унітарними матрицями\(U(\hat{u}, \phi/2)\).

Примітно, що вирішальний крок був зроблений в обох випадках Ейлером, який ввів «кути Ейлера»,\(\alpha, \beta, \gamma\) а також параметри ось-кута\(\hat{u}, \phi\) для операторів обертання.

Результати Ейлера реалізуються у версії спінорного числення, в якій спінори, що представляють орієнтаційні стани, параметризуються з точки зору кутів Ейлера та унітарних операторів у терміні\(\hat{u}, \phi\).

Пропонуємо продемонструвати легкість, за допомогою якої цей формалізм піддається алгебраїчним операціям. Особливо це пов'язано з конструкціями\ ref {EQ4.1.30} і\ ref {EQ4.1.31}, в яких ми розпізнаємо сингулярні матриці таблиці 2.2 (сторінка 46).

Визначаємо більш повно

\[\begin{array}{c} {|\xi \rangle \langle \xi| = \frac{1}{2}(1+\hat{e}_{3} \cdot \vec{\sigma}) \equiv E_{3}}\\ {|\bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi}| = \frac{1}{2}(1-\hat{e}_{3} \cdot \vec{\sigma}) \equiv \bar{E}_{3}}\\ {|\xi \rangle \langle \bar{\xi}| = \frac{1}{2}(\hat{e}_{1}+i\hat{e}_{2}) \cdot \vec{\sigma} \equiv E_{+}}\\ {|\bar{\xi} \rangle \langle \xi| = \frac{1}{2}(\hat{e}_{1}-i\hat{e}_{2}) \cdot \vec{\sigma} \equiv E_{-} = - \bar{E}_{+}} \end{array} \label{EQ4.1.40}\]

Ось\(E_{3}, \bar{E}_{3}\) ідемпотентні оператори проекції та\(E_{+}, E_{-}\) нільпотентні оператори кроку. З тих пір\(E_{3}+\bar{E}_{3} = 1\), у нас є

\[\begin{array}{c} {|\eta \rangle = |\xi \rangle \langle \xi | \eta \rangle+| \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} | \eta \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {= |\xi \rangle a_{0}+|\bar{\xi} \rangle a_{1}} \end{array} \label{EQ4.1.42}\]

із

\[\begin{array}{cc} {a_{0} = \langle \xi | \eta \rangle}&{a_{1} = \langle \bar{\xi} | \eta \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.43}\]

Крім того,

\[\begin{array}{cc} {E_{+} | \bar{\xi} \rangle = | \xi \rangle}&{ E_{-}| \xi \rangle = | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {E_{+} | \xi \rangle = 0}&{ E | \bar{\xi} \rangle = 0} \end{array}\]

З рівнянь\ ref {EQ4.1.40} ми бачимо, що перехід\(|\xi \rangle \rightarrow | \bar{\xi} \rangle\) відповідає інверсії осі фігури з одночасною інверсією\(\gamma\) -обертання навколо осі. Тому перетворення відповідає переходу від правого до лівого кадру з одночасною зміною від проти годинникової стрілки до годинникової стрілки як позитивного почуття обертання. Таким чином, ми повинні дивитися на перехід від 4.1.40c до 4.1.40d як\(E_{+} \rightarrow \bar{E}_{+}\), або

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} (\hat{e}_{1}+i \hat{e}_{2}) \cdot \vec{\sigma} \rightarrow 1[-\hat{e}_{1}-i(-\hat{e}_{2})] \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

Все це очевидно також, якщо ми представляємо перехід з\(|\xi \rangle \rightarrow | \bar{\xi} \rangle\) точки зору кутів Ейлера як

\[\begin{array}{c} {\alpha \rightarrow \pi+\alpha} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\beta \rightarrow \pi-\beta} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\gamma \rightarrow \pi-\gamma} \end{array}\]

Відзначимо також наступні відносини для подальшого використання:

\[\begin{array}{cc} {E_{-}E_{+} = \bar{E}_{3}}&{E_{+}E_{-} = E_{3}} \end{array}\]

Окрім коротких символів\(|\xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle\) для спінорів та їх сполучень, ми будемо використовувати також більш явні позначення залежно від контексту:

\[\begin{array}{c} {|\alpha, \beta, \gamma \rangle = |\pi+\alpha, \pi-\beta, \pi-\gamma \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {|\hat{k} \gamma \rangle, |\hat{k} \gamma \rangle = |-\hat{k}, \pi-\gamma \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {|\hat{k} \rangle, |\hat{k} \rangle = |-\hat{k} \rangle} \end{array}\]

\(\hat{k}\)Ось одиничний вектор\(\hat{e}_{3}\), позначений у Рівнянні 5.1.30. Його зв'язок зі спінором видно з наступної проблеми власного значення.

Використовуючи рівняння\ ref {EQ4.1.40} і\ ref {EQ4.1.18} отримуємо

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}(1+\hat{k} \cdot \vec{\sigma}) | \hat{k} \rangle = | \hat{k} \rangle \langle \hat{k} | \hat{k} \rangle = | \hat{k} \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}(1-\hat{k} \cdot \vec{\sigma}) | \bar{\hat{k}} \rangle = | \bar{\hat{k}} \rangle \langle \bar{\hat{k}} | \bar{\hat{k}} \rangle = | \bar{\hat{k}} \rangle} \end{array}\]

Звідси

\[\begin{array}{c} {\hat{k} \cdot \vec{\sigma} | \hat{\rangle} k = | \hat{k} \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.56}\]

\[\begin{array}{c} {\hat{k} \cdot \vec{\sigma} | \hat{\rangle} k = | \hat{k} \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.57}\]

Таким чином\(| k \rangle\) і\(| \hat{k} \rangle\) є власними векторами ермітового оператора\(k \cdot \vec{\sigma}\), з власними значеннями\(+1\) і\(-1\) відповідно. Це добре відомий результат, хоча зазвичай отримується дещо довшим обчисленням.

Використовуючи явний вираз для\(U (\hat{k}, \phi/2)\) отримання з\ ref {EQ4.1.56} і\ ref {EQ4.1.57}

\[\begin{array}{c} {U(\hat{k}, \phi/2) | \hat{k}, \gamma \rangle = \exp (-i \phi/2) | \hat{k}, \gamma \rangle = | \hat{k}, \gamma+ \phi \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {U(\hat{k}, \phi/2) | \overline{\hat{k}, \gamma} \rangle = \exp (i \phi/2) | \overline{\hat{k}, \gamma} \rangle = | \overline{\hat{k}, \gamma+ \phi} \rangle} \end{array}\]

Існує також унітарна діагональна матриця.

\[\begin{array}{c} {U(\hat{x}_{3}, \phi/2) = \begin{pmatrix} {e^{-i \phi/2}}&{0}\\ {0}&{e^{-i \phi/2}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

ефект якого легко описується:

\[\begin{array}{c} {U(\hat{x}_{3}, \phi/2) |\alpha, \beta, \gamma \rangle = |\alpha+\phi, \beta, \gamma \rangle} \end{array}\]

Ці відносини виводять «двовісний» характер спінорів: і те, і інше\(\hat{x}_{3}\), і\(\hat{k}\) грають відмінну роль. Те ж саме стосується унітарної матриці, параметризованої через кути Ейлера:\(V (\alpha, \beta, \gamma)\) або параметри Кейлі-Клейна. Це має бути протиставлено одновісній формі\(U(\hat{u}, \phi/2)\).

Наше обговорення в цьому розділі досі було чисто геометричним, хоча активні перетворення геометричних об'єктів можуть бути надані кінематичну інтерпретацію. Йдемо зараз на крок далі і вводимо поняття часу. \(\phi = \omega t\)Встановлюючи константу\(\omega\) в операторі унітарного обертання, отримаємо опис процесів обертання:

\[\begin{array}{c} {U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \hat{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \hat{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = | \hat{k}, \frac{\gamma+ \omega t}{2} \rangle}\\ {U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \overline{\hat{k}, \frac{\gamma}{2}} \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \hat{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = | \overline{\hat{k}, \frac{\gamma+ \omega t}{2}} \rangle} \end{array} \label{EQ4.1.62}\]

Ці обертання є стаціонарними, тому що U працює на власнихспінорах. Існують різні способи представлення еволюції довільних спінорів, а також. У нас є

\[\begin{array}{c} {U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \eta \rangle = \exp (-i \frac{\omega t}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma}) | \eta \rangle}\\ {\langle \eta | U^{-1}(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) = \langle \eta | \exp (i \frac{\omega t}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.1.63}\]

Або, в диференційованій формі

\[\begin{array}{c} {i | \dot{\eta} \rangle = \frac{\omega}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma} | \eta \rangle}\\ {-i \langle \dot{\eta} | = \langle \eta | \frac{\omega}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ4.1.64}\]

Функції стану, які розв'язують ці диференціальні рівняння, отримані явно за допомогою рівнянь\ ref {EQ4.1.42},\ ref {EQ4.1.43},\ ref {EQ4.1.62} і\ ref {EQ4.1.63}:

\[\begin{array}{c} {| \eta(t) \rangle = U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \eta (0) \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \hat{k} \rangle a_{0} + \exp (i \omega t/2) | \bar{\hat{k}} \rangle a_{1}} \end{array}\]

і аналогічно для\(\langle \eta(t) |\).

Вводячи символ H для ермітового оператора\(H = (\omega t/2) \hat{k} \cdot \vec{\sigma}\) в\ ref {EQ4.1.64}, отримуємо

\[\begin{array}{c} {i | \dot{\eta} \rangle = H | \eta \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {-i \langle \dot{\eta} | = \langle \eta | H} \end{array}\]

Ці рівняння нагадують рівняння Шро дінгера. Також було б легко отримати звідси операторне рівняння типу Гейзенберга.

Для тих, хто знайомий з квантовою механікою, має бути очевидним, що весь наш спінорний формалізм має помітно квантово-механічний аромат. Все це означає, що орієнтованість об'єктів має першорядне значення в квантовій механіці, і концепція тріади надає нам більш прямий шлях до квантування або до деяких його аспектів, ніж традиційний підхід точкової маси.

Для того, щоб скористатися цією можливістю, ми повинні застосувати наш спінорний формалізм до фізичних систем.

Наше використання поняття часу в рівняннях 4.1.62—4.1.66 є досить формальним. Для опису можливих типів стаціонарного обертання лише вибрана однопараметрична підгрупа ротаційної групи.

Ми повинні звернутися до експерименту, або до експериментально встановленої динамічної теорії, щоб вирішити, чи дійсно такі рухи відбуваються в природі. Ми розглянемо це питання у зв'язку з обертанням жорсткого тіла в наступному розділі.

Однак наша головна мета - обговорення поляризованого світла. Тут зв'язок між класичною та квантовою теоріями дуже тісний, і процедура квантування особливо чітка з точки зору спінорного формалізму.

Сам по собі цікавий той факт, що один і той же формалізм може бути налаштований як на рух жорсткого тіла, так і на хвильовий фе номенон. Ми знаємо, що подвійність частинок і хвиль є однією з центральних тем квантової механіки. Контраст між цими об'єктами дуже виражений, якщо ми можемо штрафувати себе до точкових частинок і скалярних хвиль. Примітно, як цей контраст тонізується в контексті обертальних проблем.

Малюнок 4.1: Кути Ейлера: (а) Статична картинка. (б) Кінематичний дисплей.