2.3: Про кругових та гіперболічних обертаннях

Пропонується розробити уніфікований формалізм для роботи з групою Лоренца\(\mathcal{SO}(3, 1)\) та її підгрупою\(\mathcal{SO}(3)\). Цю програму можна розділити на два етапи. Спочатку розгляньте перетворення Лоренца як гіперболічне обертання та використайте аналогії між круговими та гіперболічними тригонометричними функціями, а також відповідними експоненціальними показниками. Ця проста ідея розроблена в даному розділі з точки зору підгруп\(\mathcal{SO}(2)\) і\(\mathcal{SO}(1, 1)\). Решта цієї глави присвячена узагальненню цих результатів до трьох просторових вимірів з точки зору матричного формалізму.

Розглянемо двокомпонентний вектор в евклідовій площині:

\[\begin{array}{c} {\vec{x} = \vec{x}_{1}\hat{e}_{1}+\vec{x}_{1}\hat{e}_{1}} \end{array}\]

Нас цікавлять перетворення, які залишають\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) інваріантними. Давайте напишемо

\[\begin{array}{c} {x_{1}^{2}+x_{2}^2 = (x_{1}+ix_{2}) (x_{1}-ix_{2})} \end{array}\]

і набір

\[\begin{array}{c} {(x_{1}+ix_{2})' = a(x_{1}+ix_{2})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {(x_{1}-ix_{2})' = a^{*}(x_{1}-ix_{2})} \end{array}\]

де зірка означає сполучений комплекс. Для інваріантності у нас є

\[\begin{array}{c} {aa^{*} = 1} \end{array}\]

або

\[\begin{array}{cc} {a = e^{-i\phi}} & {a^{*} = e^{i\phi}} \end{array}\]

З цих формул ми легко відновлюємо елементарні тригонометричні вирази. У таблиці 3.1 сума наведено уявлення обертальних перетворень через експоненціальні, тригонометричні функції та алгебраїчні ірраціональності за участю нахилу осей. Існує мало, щоб рекомендувати використання останнього, однак він завершує паралель з перетвореннями Лоренца, де ця параметризація сприяє традиції.

Ми підкреслюємо переваги експоненціальної функції, головним чином тому, що вона піддається ітерації, що видно з добре відомої формули де Муавре:

\[\begin{array}{c} {\exp(in \phi) = \cos(n \phi) + i \sin(n \phi) = (\cos(\phi) + i \sin(\phi))^n} \end{array} \label{EQ2.3.7}\]

Ця ж таблиця містить також параметризацію групи Лоренца в одній просторовій змінній. Аналогія між\(\mathcal{SO}(2)\) і\(\mathcal{SO}(1,1)\) є далекосяжною, і Таблиця є зрозумілою. Тим не менш, є ряд додаткових моментів, які варто зробити.

незмінність

\[\begin{array}{c} {x_{0}^{2}-x_{3}^{2} =(x_{0}+x_{3})(x_{0}-x_{3})} \end{array}\]

забезпечується

\[\begin{array}{c} {(x_{0}+x_{3})' = a(x_{1}+x_{2})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {(x_{0}-x_{3})' = a^{-1}(x_{1}-x_{2})} \end{array}\]

для довільного a. встановивши\(a = exp(-\mu)\) в Таблиці ми мовчазно виключаємо негативні значення. Прийняття від'ємного значення для цього параметра означало б обмін майбутнім і минулим. Перетворення Лоренца, які залишають напрямок часу інваріантним, називаються ортохронічними. До подальшого повідомлення це єдині, які ми розглянемо.

Значення параметра\(\mu\) видно з добре відомого співвідношення.

\[\begin{array}{c} {\tanh \mu = \frac{v}{c} = \beta} \end{array} \label{EQ2.3.11}\]

де v - швидкість\(\sum'\) загрунтованої системи, виміряна в\(\sum\). Будучи (неевклідової) мірою швидкості, іноді\(\mu\) називають швидкістю або параметром швидкості.

Таблиця 2.1: Короткий зміст обертальних перетворень. (Ознаки кутів відповідають пасивному тлумаченню.)

Малюнок 2.1: Площа в\((x_{0}, x_{3})\) -площині.

Ми будемо називати\(\mu\) також гіперболічним кутом. Формальна аналогія з \(\phi\)круговим кутом видно з таблиці. Ми поглиблюємо цю паралель за допомогою спостереження, яке\(\mu\) можна інтерпретувати як площу в\((x_{0}, x_{3})\) площині (див. Рис.

Розглянемо гіперболу з рівнянням

\[\begin{array}{c} {(\frac{x_{0}}{a})^{2}-(\frac{x_{3}}{b})^{2} = 1} \end{array}\]

\[\begin{array}{cc} {x_{0} = a \cosh \mu}&{x_{3} = b \sinh \mu} \end{array}\]

Затінена трикутна область (показана на малюнку 2.1) відповідає рівнянню 1.6.2 розділу 1.6:

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} \begin{vmatrix} {x_{3}+dx_{3}}&{x_{3}}\\ {x_{0}+dx_{0}}&{x_{0}} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}(x_{0}dx_{3}+x_{3}dx_{0}) =} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\frac{ab}{2}(\cosh \mu^2-\sinh \mu^2)d = \frac{ab}{2} d \mu} \end{array}\]

Ми могли б діяти аналогічно для кругового кута\(\phi\) і визначити його з точки зору площі кругового сектора, а не дуги. Однак лише область може бути узагальнена для гіперболи.

Хоча формули в таблиці 2.1 застосовуються також до хвильового вектора та чотирьох моментум.і можуть використовуватися в кожному випадку також відповідно до активної інтерпретації, різні ситуації мають свої індивідуальні особливості, деякі з яких тепер будуть обстежені.

Розглянемо спочатку плоску хвилю, напрямок поширення якої складає кут\(\theta\) з\(x_{3}\) напрямком перетворення Лоренца. Запишемо фазу, рівняння\ ref {EQ2.3.11} Розділу 2.2, як

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}[(k_{0}+k_{3})(x_{0}-x_{3})+(k_{0}-k_{3})(x_{0}+x_{3})]-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}} \end{array}\]

Цей вираз є інваріантним, якщо\((k_{0} \pm k_{3})\) трансформується тим\(\exp(\pm \mu)\) же фактором, що і\((x_{0} \pm x_{3})\). Таким чином, ми маємо

\[\begin{array}{c} {k'_{3} = k_{3} \cosh \mu-k_{0} \sinh \mu} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {k'_{0} = -k_{3} \sinh \mu+k_{0} \cosh \mu} \end{array}\]

Оскільки\((k_{0}, \vec{k})\) є нульовим вектором, тобто k має зникаючу довжину, ми встановлюємо

\[\begin{array}{cc} {k_{3} = k_{0} \cos \theta}&{k'_{3} = k'_{0} \cos \theta'} \end{array}\]

і отримаємо для аберації і ефекту Допплера:

\[\begin{array}{c} {\cos \theta' = \frac{\cos \theta \cosh \mu-\sinh \mu}{\cosh \mu-\cos \theta \sinh \mu} = \frac{\cos \theta-\beta}{1-\beta \cos \theta}} \end{array}\]

і

\[\begin{array}{c} {\frac{k_{0}}{k'_{0}} = \frac{w_{0}}{w'_{0}} = \cosh \mu - \cos \theta \sinh \mu} \end{array}\]

Бо у\(\cos \theta = 1\) нас є

\[\begin{array}{c} {\frac{w_{0}}{w'_{0}} = \exp(-\mu) = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}} \end{array}\]

Таким чином, гіперболічний кут безпосередньо пов'язаний з масштабуванням частоти в ефекті Доплера.

Далі переходимо до перетворення чотиримоментного імпульсу масивної частки. Нова особливість полягає в тому, що таку частку можна довести до спокою. Припустимо, частка знаходиться в стані спокою в кадрі\(\sum'\) (кадрі відпочинку), який рухається зі швидкістю\(v_{3} = c \tanh^{-1} \mu\) в кадрі\(\sum\) (лабораторний кадр). Таким чином,\(v_{3}\) можна визначити як швидкість частинок вздовж\(x_{3}\).

Рішення для імпульсу в\(\sum\):

\[\begin{array}{c} {p_{3} = p'_{3} \cosh \mu + p'_{0} \sinh \mu} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {p_{0} = p'_{3} \sinh \mu + p'_{0} \cosh \mu} \end{array}\]

з\(p'_{3} = 0\)\(p'_{0} = mc\), у нас

\[\begin{array}{c} {p_{3} = mc \sinh \mu = \frac{mc \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}\\ {p_{0} = mc \cosh \mu = \frac{mc}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \frac{E}{c}} \end{array} \label{EQ2.3.25}\]

\[\begin{array}{cc} {\gamma = \cosh \mu}&{\gamma \beta = \sinh \mu} \end{array}\]

Таким чином, ми вирішили проблему, поставлену в кінці Розділу 2.2.

Справа в попередньому аргументі полягає в тому, що ми досягаємо переходу від стану спокою частинки до стану руху, кінематичними засобами інерційного перетворення. Очевидно, того ж ефекту можна досягти за допомогою прискорення за рахунок сили, і розглядати цей «приріст» як активне перетворення Лоренца. Припустимо, що частинка несе заряд е і піддається постійній електричній інтенсивності Е. отримуємо з Equation\ ref {EQ2.3.25} для малих швидкостей:

\[\begin{array}{c} {\frac{dp_{3}}{dt} = mc \cosh \mu \frac{d \mu}{dt} \simeq mc \frac{d \mu}{dt}} \end{array}\]

і це узгоджується з класичним рівнянням руху, якщо

\[\begin{array}{c} {E = \frac{mc}{e} \frac{d \mu}{dt}} \end{array}\]

При цьому електрична інтенсивність пропорційна гіперболічної кутової швидкості.

У тісній аналогії круговий рух може вироблятися магнітним полем:

\[\begin{array}{c} {B = -\frac{mc}{e} \frac{d \phi}{dt} = -\frac{mc}{e} w} \end{array}\]

Це добре відоме циклотронне відношення.

Вищевикладені результати заслуговують на увагу з ряду причин. Вони припускають тісний зв'язок між електродинамікою і групою Лоренца і вказують на те, як груповий теоретичний метод надає нам результати, зазвичай отримані рівняннями руху.

Все це наближає нас на крок до нашої програми встановлення значної частини фізики в групових теоретичних рамках, починаючи, зокрема, з групи Лоренца. Однак для того, щоб виконати цю програму, ми повинні узагальнити нашу техніку до трьох просторових вимірів. Для цього у нас є вибір між двома методами.

Перший полягає в тому, щоб представити чотиривектор у вигляді\(4 \times 1\) стовпчастої матриці і оперувати на ньому\(4 \times 4\) матрицями, що включають 16 реальних параметрів, серед яких десять відносин (див. Розділ 1.5).

Другий підхід полягає в картографуванні чотирьох векторів на\(2 \times 2\) ермітівських матрицях

\[\begin{array}{c} {P = \begin{pmatrix} {p_{0}+p_{3}}&{p_{1}-ip_{2}}\\{p_{1}+ip_{2}}&{p_{0}-p_{3}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

і представляють перетворення Лоренца як

\[\begin{array}{c} {P' = VPV^{\dagger}} \end{array}\]

де V і\(V^{\dagger}\) є гермітієвими суміжними одномодульними матрицями в залежності.просто від потрібних шести параметрів.

Виберемо другу альтернативу і покажемо, що математичні параметри мають бажані прості фізичні інтерпретації. Зокрема, ми дійдемо до узагальнень відношення де Муавре, Equation\ ref {EQ2.3.7}.

Баланс цієї глави присвячений математичній теорії\(2 \times 2\) матриць з фізичними додатками до електродинаміки наступним у розділі 4.