1.7: На «псевдонім» та «алібі». Група об'єктів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63575

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Доречно завершити цей огляд алгебраїчних попередніх етапів, сформулювавши правило, яке спрямовує нас у з'єднанні теоретичних понять групи з фізичними принципами.

Однією з турбот фізиків є спостереження, ідентифікація та класифікація частинок. Переслідуючи цю мету, ми повинні бути в змозі сказати, чи спостерігаємо ми один і той же об'єкт при зіткненні в різних умовах в різних станах. Таким чином, ідентичність об'єкта неявно дається сукупністю станів, в яких ми визнаємо його однаковим. Правдоподібно розглянути перетворення, які пов'язують ці стани один з одним, і припустити, що вони утворюють групу. Відповідно, точним способом ідентифікації об'єкта є вказівка пов'язаної групи об'єктів.

Поняття групи об'єктів є надзвичайно загальним, як і повинно бути, з огляду на величезне коло ситуацій, які вона має на меті охопити. Корисно більш детально розглянути конкретні ситуації.

По-перше, один і той же об'єкт може спостерігатися різними інерційними спостерігачами, висновки яких пов'язані перетвореннями інерційної групи, щоб називатися також пасивною кінематичною групою. По-друге, просторово-часову еволюцію об'єкта у фіксованій системі відліку можна розглядати як породжену активною кінематичною групою. Нарешті, якщо об'єкт вказаний у фазовому просторі, ми говоримо про динамічну групу.

Той факт, що лінійним перетворенням у векторному просторі можна дати пасивну та активну інтерпретацію, добре відомо. У математичній літературі вони іноді позначаються барвистими термінами «псевдонім» і «алібі» відповідно. Перший означає, що перетворення основи призводить до нових «імен» для тих же геометричних, або фізичних об'єктів. Другий - це відображення, за допомогою якого об'єкт трансформується в інше «місце» щодо того ж кадру.

Важливі групи інваріантності слід класифікувати як пасивні групи. Не зводячи до мінімуму їх важливість, ми приділимо велику увагу і активним групам. Це дозволить нам обробляти в рамках єдиної групово-теоретичної бази ситуації, які зазвичай описуються з точки зору рівнянь руху, а також так звані «препарати систем», настільки важливі в квантовій механіці.

Саме систематичне спільне використання «алібі» і «псевдоніма» характеризує наступний аргумент.