2: Вступ до груп

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105495

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначення 2.1: Групи

Група - це впорядкована пара$(G,*)$, де$G$ є множиною і$*$ є двійковою операцією по$G$ задоволенню наступних властивостей:

$x*(y*z) = (x*y)*z$для всіх$x$$y$,$z$ в$G$.
Існує елемент, що$e \in G$ задовольняє$e*x=x$ і$x*e=x$ для всіх$x$ в$G$.
Для кожного елемента$x$ в$G$ є елемент$y$ в$G$ задовольняє$x*y = e$ і$y*x=e$.

Таким чином, для опису групи потрібно вказати дві речі:

набір, і
двійкову операцію на множині.

Потім потрібно перевірити, що бінарна операція є асоціативною, що в множині є ідентичність, і що кожен елемент множини має зворотну.

Конвенція Якщо зрозуміло, що таке бінарна операція, то на групу$(G,*)$ можна посилатися$G$ лише її базовим набором.

Приклади груп:

$(\mathbb{Z},+)$група з ідентичністю 0. $x \in \mathbb{Z}$Зворотне є$-x$.
$(\mathbb{Q},+)$група з ідентичністю 0. $x \in \mathbb{Q}$Зворотне є$-x$.
$(\mathbb{R},+)$група з ідентичністю 0. $x \in \mathbb{R}$Зворотне є$-x$.
$(\mathbb{Q}-\{0\},\cdot)$група з ідентичністю 1. $x \in \mathbb{Q}-\{0\}$Зворотне є$x^{-1}$.
$(\mathbb{R}-\{0\},\cdot)$група з ідентичністю 1. $x \in \mathbb{R}-\{0\}$Зворотне є$x^{-1}$.
$(\mathbb{Z}_n,+)$група з ідентичністю 0. Обернене значення$x \in \mathbb{Z}_n$ is$n-x$ if$x \ne 0$, обернене 0 дорівнює 0. Див. Слідство C.5 у Додатку C для доказу того, що ця двійкова операція є асоціативною.
$(\mathbb{R}^n,+)$де$+$ векторне додавання. Ідентичність - нульовий вектор,$(0,0,\dots,0)$ а$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ зворотний вектор - вектор$\mathbf{-x}=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)$.
$(\mathbb{Z}_2^n, +)$де$+$ векторне додавання по модулю 2. Ідентичність - це нульовий вектор,$(0,0,\dots,0)$ а$\mathbf{x}$ зворотний вектор - сам вектор.
$(M_2(K),+)$де$K$ - будь-яка з$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}_n$ - група, тотожність якої дорівнює нульовій матриці,\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\] а зворотна\[A=\left [ \nonumber \begin{array} {c c} a & b \\ c & d \end{array} \right]\] матриця - матриця\[\nonumber -A = \left [ \begin{array} {c c} -a & -b \\ -c & -d \end{array} \right].\]

Зверніть увагу, що бінарні операції в наведених вище прикладах є комутативними. З історичних причин існує спеціальна назва таких груп:

Визначення 2.2: Абелян

Кажуть$(G,*)$, що група є абеліаном, якщо$x*y=y*x$ для всіх$x$ і$y$ в$G$. Кажуть, що група не є абелевою, якщо вона не абелівська.

Приклади неабелевих груп:

Для кожного$n \in \mathbb{N}$ множина$S_n$ всіх перестановок на$[n]= \{1,2,\dots, n\}$ - це група під композиціями функцій. Це називається симетричною групою ступеня$n$. Ми детально обговоримо цю групу в наступному розділі. Група$S_n$ неабелівська якщо$n \ge 3$.
$K$Дозволяти бути будь-яким з$\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ або$\mathbb{Z}_p$, де$p$ просте число. $GL(2,K)$Визначте множину всіх матриць$M_2(K)$ з ненульовим визначником. Потім$(GL(2,K), \cdot)$ йде група. Тут$\cdot$ представлено множення матриці. Ідентичність$GL(2,K)$ - це матриця ідентичності,\[\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right ] \nonumber\] а зворотна\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array} \right ]\] - це\[\nonumber \left[ \begin{array}{cc} \frac d{ad-bc}&\frac {-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right ].\]

Математика жарт
Питання: Що таке фіолетовий і їздить на роботу? (Відповідь дивіться в кінці сторінки.)

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$(G,*)$ це група, то:

(а) Ідентичність$G$ є унікальною.

(b) Обернене кожного елемента в$G$ унікальне. $\blacksquare$

Задача 2.1 Довести теорему 2.1. Підказки: Встановити (а) припустити, що$e$ і$e'$ є ідентичностями$G$ і довести це$e = e'$. [Це було зроблено в попередньому розділі, але зробіть це знову так чи інакше.] Для встановлення (b) припустити, що$x$ і$y$ є обома оберненнями якогось елемента$a \in G$. Використовуйте групові аксіоми, щоб довести це$x = y$. Покажіть уважно, як використовується кожна аксіома. Не пропускайте жодних кроків.

Тепер ми можемо говорити про ідентичність групи та зворотну елемента групи. Оскільки$a \in G$ зворотне є унікальним, таке визначення має сенс:

Визначення 2.3:

$(G,*)$Дозволяти бути групою. $a$Дозволяти бути будь-яким елементом$G$. Ми визначаємо,$a^{-1}$ щоб бути зворотним$a$ в групі$G$.

Вищевказане визначення використовується, коли ми думаємо про операцію групи як тип множення або добутку. Якщо замість цього операція позначається$+$, ми маємо замість цього наступне визначення.

Визначення 2.4:

$(G,+)$Дозволяти бути групою. $a$Дозволяти бути будь-яким елементом$G$. Ми визначаємо,$-a$ щоб бути зворотним$a$ в групі$G$.

Теорема$\PageIndex{2}$

$(G,*)$Дозволяти бути групою з ідентичністю$e$. Потім наступне утримання для всіх елементів$a,b,c,d$ в$G$:

Якщо$a*c=a*b$, то$c=b$.
Якщо$c*a=b*a$, то$c=b$.
Дано$a$ і$b$ в$G$ є унікальний елемент$x$ в$G$ такому, що$a*x=b$.
Дано$a$ і$b$ в$G$ є унікальний елемент$x$ в$G$ такому, що$x*a=b$.
Якщо$a*b=e$ тоді$a=b^{-1}$ і$b=a^{-1}$. [Характеристика зворотного елемента.]
Якщо$a*b=a$ для всього одного$a$, то$b = e$.
Якщо$b*a=a$ для всього одного$a$, то$b = e$.
Якщо$a*a=a$, то$a=e$. [Єдиним ідемпотентом у групі є ідентичність.]
$(a^{-1})^{-1} = a$.
$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.

Задача 2.2 Довести теорему 2.2.

Задача 2.3 Рестатувати теорему 2.2 для групи$(G,+)$ з ідентичністю 0. (Див. Визначення 2.4.)

Завдання 2.4 Наведіть конкретний приклад групи і двох конкретних елементів$a$ і$b$ в групі такі, що$(a*b)^{-1} \neq a^{-1}*b^{-1}$.

Завдання 2.5$*$ Дозволяти бути асоціативною двійковою операцією на множині$S$ і нехай$a,b,c,d \in S$. Доведіть наступні твердження. [Будьте обережні, що ви припускаєте.]

$(a*b)*(c*d) =((a*b)*c)*d$.
$(a*b)*(c*d) = a*(b*(c*d))$.
У 1. і 2. ми бачимо три різні способи правильного розміщення дужок у виробі:$a*b*c*d$? Знайдіть всі можливі способи правильно розмістити дужки в$a*b*c*d$ виробі і показати, що всі ведуть до одного елемента в$S$.

Теорема$\PageIndex{3}$

$*$Дозволяти асоціативну двійкову операцію на множині$S$. Якщо$a_1, a_2, \dots, a_n$ є послідовність$n \ge 3$ елементів$S$, то твір\[a_1*a_2* \cdots*a_n\] однозначне; тобто один і той же елемент буде отриманий незалежно від того, як в твір вставлені дужки (в законному порядку).

Доказ: Справа$n=3$ - це лише сам асоціативний закон. Справа$n=4$ встановлена в Задачі 2.3. Загальний випадок можна довести індукцією на$n$. Деталі досить технічні, тому для економії часу ми їх опустимо. Однією з проблем є визначення саме того, що мається на увазі під «вставкою дужок законним способом». Зацікавлений читач може знайти доказ у більшості вступних книг з абстрактної алгебри. Дивіться, наприклад, главу 1.4 книги «Основна алгебра I» Натана Якобсона.

Зауваження

Відтепер, якщо не вказано протилежне, ми будемо приймати Узагальнений асоціативний закон. Тобто ми розмістимо дужки у виробі за бажанням без детального обґрунтування. Зверніть увагу, однак, порядок все ще може бути важливим, тому якщо бінарна операція не є комутаційною, ми все одно повинні звернути пильну увагу на порядок елементів у добутку або сумі.

Проблема 2.6 Показати, що якщо$a_1, a_2, a_3$ є елементами групи, то\[\nonumber (a_1*a_2*a_3)^{-1}=a_3^{-1}*a_2^{-1}*a_1^{-1}.\] Показати, що загалом якщо$n \in \mathbb{N}$ і$a_1, a_2, \dots, a_n$ є елементами групи, то\[\nonumber (a_1*a_2*\cdots*a_n)^{-1}=a_n^{-1}*\cdots*a_2^{-1}*a_1^{-1}.\]

Тепер, коли ми маємо Узагальнений асоціативний закон, ми можемо визначити$a^n$ для$n \in \mathbb{Z}$.

Визначення 2.5:

$(G,*)$Дозволяти бути групою з ідентичністю$e$. $a$Дозволяти бути будь-яким елементом$G$. Визначимо інтегральні повноваження$a^n$$n\in\mathbb{Z}$, наступним чином:\[\begin{aligned} a^0 &=& e \\ a^1 &=& a \\ a^{-1} &=& \mbox{the inverse of $a$} \end{aligned}\] і для$n \ge 2$:
$a^n=a^{n-1}*a$
$a^{-n}=(a^{-1})^n$

Використовуючи це визначення, легко встановити наступну важливу теорему.

Теорема$\PageIndex{4}$ (Laws of Exponents for Groups)

$(G,*)$Дозволяти бути групою з ідентичністю$e$. Тоді для всіх у$n,m \in \mathbb{Z}$ нас є\[a^n*a^m = a^{n+m} \quad \mbox{ for all $a \in G,$}\]\[(a^n)^m = a^{nm} \quad \mbox{ for all $a \in G,$}\] і коли завгодно,$a,b \in G$ і у$a*b=b*a$ нас є\[(a*b)^n = a^n*b^n. \rule{6pt}{6pt} \blacksquare\]

Цю теорему легко перевірити$n, m \in \mathbb{N}$. Повний доказ$n, m \in \mathbb{Z}$ включає в себе ряд випадків і є трохи нудним, але наступна проблема дає деякі вказівки на те, як це можна зробити.

Проблема 2.7$(G,*)$ Дозволяти бути групою з ідентичністю$e$. Доведіть за допомогою визначення 2.3 наступні особливі випадки теореми 2.3. Для$a, b \in G$:

$a^2*a^3 =a^5.$
$a^2*a^{-6} = a^{-4}.$
$a^{-2}*a^6=a^4.$
$a^{-2}*a^{-3} = a^{-5}$
$a^{-2}*a^{2} = a^0$.
Припускаючи$a*b=b*a$,$a^3*b^3=(a*b)^3$.
Припускаючи$a*b=b*a$,$a^{-3}*b^{-3}=(a*b)^{-3}$.

Задача 2.8 Повторити визначення 2.3 для адитивних позначень. (В даному випадку$a^n$ замінюється на$na$.)

Задача 2.9 Рестатувати теорему 2.3 для групи, операція якої є$+$.

Відповідь на жарт: Абелевий виноград.

Визначення 2.1: Групи

Визначення 2.2: Абелян

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Визначення 2.3:

Визначення 2.4:

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Теорема\(\PageIndex{3}\)

Зауваження

Визначення 2.5:

Теорема\(\PageIndex{4}\) (Laws of Exponents for Groups)