4.1.2: Закон Сінеса

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54684

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Пропорція заснована на співвідношенні сторін і синусів протилежних кутів для непрямих трикутників.

Коли задано прямокутний трикутник, ви можете використовувати базову тригонометрію для вирішення відсутньої інформації. При наданні SSS або SAS ви можете використовувати Закон косинусів для вирішення відсутньої інформації. Але що відбувається, коли вам дають дві сторони трикутника і кут, який не включений? Існує багато способів показати, що два трикутники є конгруентними, але SSA не є одним з них. Чому б і ні?

Закон Синеса

Коли задано дві сторони і кут, який не входить між двома сторонами, можна використовувати Закон Синес. Закон синусів стверджує, що в кожному трикутнику відношення кожної сторони до\ sin e відповідного кута завжди однакове. По суті, це уточнює загальну концепцію, що навпроти найбільшого кута завжди найдовша сторона.

a\ sin А = B\ sin B = C\ sin C

Ось доказ Закону Синеса:

Дивлячись на правильний трикутник, утворений зліва:

\(\begin{aligned} \sin A &=\dfrac{h}{b}\\ h&=b\sin A\end{aligned}\)

Дивлячись на прямокутний трикутник, утворений праворуч:

\(\begin{aligned} \sin B &=\dfrac{h}{a}\\ h&=a\sin B \end{aligned}\)

Прирівнюючи висоти, які повинні бути однаковими:

\(\begin{aligned} a\sin B&=b\sin A \\ \dfrac{a}{\sin A}&=\dfrac{b}{\sin B} \end{aligned}\)

Найкращий спосіб використовувати Закон Синеса - це малювати надзвичайно послідовну картину кожного разу, навіть якщо це означає перемальовування та позначення зображення. Причина, чому послідовність важлива, полягає в тому, що іноді дана інформація SSA визначає нуль, один або навіть два можливих трикутника.

Завжди малюйте заданий кут в лівому нижньому куті з двома заданими сторонами вище.

У цьому образі сторона a навмисно занадто коротка, але в більшості проблем ви цього не дізнаєтеся. Вам потрібно буде порівняти a з висотою.

\(\begin{aligned} \sin A &=\dfrac{h}{c}\\ h&=c \sin A\end{aligned}\)

Це прийнято називати перевіркою неоднозначного випадку. Існує чотири різних тести для визначення кількості трикутників, які існують з урахуванням вимірювань.

Випадок 1:\(a<h\)

Простіше кажучи, сторона а недостатньо довга, щоб дійти до протилежної сторони і побудувати трикутник неможливо. Нульові трикутники існують.

Випадок 2:\(a=h\)

Сторона a ледве досягає протилежної сторони, утворюючи кут 90^ {\ circ}.

Випадок 3:\(h<a<c\)

У цьому випадку сторона а може гойдатися до внутрішньої частини трикутника або зовнішньої частини трикутника- є два можливих трикутника. Це називається неоднозначним випадком, оскільки дана інформація не однозначно ідентифікує один трикутник. Щоб вирішити для обох трикутників, використовуйте Закон Синусів, щоб\(C_1\) спочатку вирішити кут, а потім використовувати додаток для визначення\(C_2\).

Випадок 4:\(c\leq a\)

При цьому сторона а може тільки розгойдуватися в сторону зовнішньої частини трикутника, тільки виробляючи\(C_1\).

Що стосується SSA, ви завжди повинні перевіряти, скільки трикутників існує, перш ніж починати знаходити заходи. Візьмемо наступний трикутник:

\(\angle A=40^{\circ}\),\(c=13\), і\(a=2\).

Перш ніж намагатися знайти\(\angle C\), потрібно перевірити, чи можливий трикутник і якщо є більше одного рішення. Використовуйте рівняння зверху,

\(\begin{aligned} \sin 40^{\circ} &=\dfrac{h}{13}\\ h&=13\sin 40^{\circ}\approx 8.356 \end{aligned}\)

Оскільки a<h (2<8.356), ця інформація не утворює належного трикутника.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, чому SSA не є методом показати, що два трикутники є конгруентними.

Рішення

SSA не є методом геометрії, який показує, що два трикутники є конгруентними, оскільки він не завжди визначає унікальний трикутник. Іноді немає трикутника, одного трикутника або двох трикутників.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(\angle A=17^{\circ}\),\(c=14\), І\(a=4.0932 \ldots\) Якщо можливо, знайдіть\(\angle C\).

Рішення

Перевірити, чи можна трикутник:

\(\begin{aligned} \sin 17^{\circ} &=\dfrac{h}{14}\\ h&=14 \sin 17^{\circ}\approx 4.0932 \end{aligned}\)

Так як\(a=h\), ця інформація утворює рівно один трикутник і кут С повинен бути\(90^{\circ}\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(\angle A=22^{\circ}\),\(c=11\) і\(a=9\). Якщо є можливість, знайдіть\(\angle C\).

Рішення

Перевірити, чи можна трикутник:

\(\begin{aligned} \sin 22^{\circ} &=\dfrac{h}{11}\\ h&=11 \sin 22^{\circ}\approx 4.12 \end{aligned}\)

Так як\(h<a<c\), для кута C має бути два можливих кута.

Застосовуйте Закон Синеса:

\ (\ почати {вирівняні}
\ розриву {9} {\ sin 22^ {\ circ}} &=\ розриву {11} {\ sin C_ {1}}\\
9\ sin C_ {1} &=11\ sin 22^ {\ circ}\
\ sin C_ {1} &=\ розриву {11\ sin 22^ {\ circ}} {9}\
C_ {1} &=\ sin ^ {-1}\ ліворуч (\ frac {11\ sin 22^ {\ circ}} {9}\ праворуч)\ приблизно 27,24^ {\ circ}\
C_ {2} &=180-C_ {1}\ приблизно 152.75^ {\ circ}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Дано\ Дельта ABC де A = 12^ {\ circ}\(B=50^{\circ}\),,\ (a=14 знайти b.

Рішення

\(\begin{aligned} \dfrac{14}{\sin 12^{\circ}}&=\dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \\ b&=\dfrac{14\sin 50^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}\approx 51.58\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

З огляду на\(\Delta ABC\) де\(A=70^{\circ}\),\(b=8\),\(a=3\), знайти,\(\angle B\) якщо це можливо.

Рішення

\(\begin{aligned} \sin 70^{\circ}&=\dfrac{h}{8} \\ h&=8\sin 70^{\circ}\approx 7.51 \ldots\end{aligned}\)

Тому що\(a<h\), цей трикутник неможливий.

Рецензія

Для 1-3 намалюйте малюнок трикутника і вкажіть, скільки трикутників може бути сформовано з заданими значеннями.

\(A=30^{\circ}\),\(a=13\),\(b=15\)
\(A=22^{\circ}\),\(a=21\),\(b=12\)
\(A=42^{\circ}\),\(a=36\),\(b=37\)

Для 4-7 знайти всі можливі міри\ кута B (якщо такі існують) для кожного з наступних значень трикутника.

\(A=86^{\circ}\),\(a=15\),\(b=11\)
\(A=30^{\circ}\),\(a=24\),\(b=43\)
\(A=48^{\circ}\),\(a=34\),\(b=39\)
\(A=80^{\circ}\),\(a=22\),\(b=20\)

Для 8-12 знайдіть довжину b для кожного з наступних значень трикутника.

\(A=94^{\circ}\),\(a=31\),\(B=34^{\circ}\)
\(A=112^{\circ}\),\(a=12\),\(B=15^{\circ}\)
\(A=78^{\circ}\),\(a=20\),\(B=16^{\circ}\)
\(A=54^{\circ}\),\(a=15\),\(B=112^{\circ}\)
\(A=39^{\circ}\),\(a=9\),\(B=98^{\circ}\)
В\(\Delta ABC\),\(b=10\) і\(\angle A=39^{\circ}\). Яке можливе значення для a, яке б виробляло два трикутники?
В\(\Delta ABC\),\(b=10\) і\(\angle A=39^{\circ}\). Яке можливе значення для a, яке не створить трикутників?
В\(\Delta ABC\),\(b=10\) і\(\angle A=39^{\circ}\). Яке можливе значення для a, який буде виробляти один трикутник?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.6.

Лексика

Термін	Визначення
неоднозначний	Неоднозначне означає, що дана інформація не є конкретною. У контексті геометрії або тригонометрії це означає, що дані не можуть однозначно ідентифікувати одну форму.
SSA	SSA означає сторону, сторону, кут і відноситься до того, що дві сторони і не включений кут трикутника відомі в задачі.

Додатковий ресурс

Відео: Рішення багатоваріантних лінійних систем - огляд

Практика: Закон Сінеса