4.1.1: Закони синусів і косинусів

Розв'язування частин непрямих трикутників за допомогою тригонометрії.

Закон Синеса: Якщо\(\Delta ABC\) має сторони довжини,\(a\),\(b\), і\(c\), то\(\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}\).

Дивлячись на трикутник, довжини a, b і c протилежні кутам однієї літери.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Використовуйте Закон Синеса, коли дано:

• Кут і протилежна його сторона.
• Будь-які два кути і одна сторона.

Дві сторони і не включений кут.

Закон косинусів: Якщо\(\Delta ABC\) має сторони довжини\(a\)\(b\), і\(c\), то:

\(\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2−2bc\cos A \\ b^2&=a^2+c^2−2ac \cos B \\ c^2&=a^2+b^2−2ab \cos C \end{aligned}\)

Незважаючи на те, що існує три формули, всі вони дуже схожі. По-перше, зверніть увагу, що який би кут не знаходився в косинусі, протилежна сторона знаходиться на іншій стороні знака рівності.

Використовуйте закон косинусів, коли дано:

• Дві сторони і включений кут.
• Всі три сторони.

Використання закону Синеса

1. Розв'яжіть трикутник, використовуючи Закон Синеса. Округлення десяткових відповідей до найближчої десятої.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

По-перше, щоб знайти\(m\angle A\), ми можемо використовувати теорему про суму трикутника.

\(\begin{aligned} m\angle A+85^{\circ} +38^{\circ}&=180^{\circ} \\ m\angle A&=57^{\circ} \end{aligned}\)

Тепер використовуйте Закон Синеса, щоб встановити співвідношення для\(a\) і\(b\).

\(\dfrac{\sin 57^{\circ} }{a}=\dfrac{\sin 85^{\circ} }{b}=\dfrac{\sin 38^{\circ} }{12}\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ sin 57^ {\ circ}} {a} &=\ dfrac {\ sin 38^ {\ circ}} {12} &\ sin 85^ {\ circ}} {\ circ} {\ circ} {\ circ}} {\ a\ cdot\
sin 38^ {\ circ} &= 12\ cdot\ sin 57^ {\ circ} & б\ cdot\ sin 38^ {\ circ} &= 12\ cdot\ sin 85^ {\ circ}\
a &=\ dfrac {12\ cdot\ sin 57^ {\ circ}} {\ sin 38^ {\ circ}}\ приблизно 16,4 &\ quad b &=\ dfrac {12\ cdot\ sin 85^ {\ circ}} {\ sin 38^ {\ circ}}\ приблизно 19.4
\ кінець {вирівняний}\)

2. Розв'яжіть трикутник, використовуючи Закон Синеса. Округлення десяткових відповідей до найближчої десятої.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Налаштуйте співвідношення для\(\angle B\) використання закону синусів.

\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 95^{\circ} }{27}&=\dfrac{\sin B}{16} \\ 27\cdot \sin B&=16\cdot \sin 95^{\circ} \\ \sin B&=\dfrac{16\cdot \sin 95^{\circ} }{27}\rightarrow\sin ^{−1}\left(\dfrac{16\cdot \sin 95^{\circ} }{27} \right) =36.2^{\circ} \end{aligned}\)

Для пошуку\(m\angle C\) використовуйте теорему про суму трикутника.

\(m\angle C+95^{\circ} +36.2^{\circ} =180^{\circ} \rightarrow m\angle C=48.8^{\circ}\)

Щоб знайти\(c\), знову скористайтеся Законом Синеса. \(\dfrac{\sin 95^{\circ} }{27}=\dfrac{\sin 48.8^{\circ} }{c}\)

\(\begin{aligned} c\cdot \sin 95^{\circ}&=27\cdot \sin 48.8^{\circ} \\ c&=27\cdot \sin 48.8^{\circ} \sin 95^{\circ} \approx 20.4 \end{aligned}\)

Використання закону косинусів

Розв'яжіть трикутник, використовуючи Закон Косинусів. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте друге рівняння для розв'язання\(\angle B\).

\(\begin{aligned} b^2&=26^2+18^2−2(26)(18)\cos 26^{\circ} \\ b^2&=1000−936\cos 26^{\circ} \\ b^2&=158.7288 \\ b&\approx 12.60 \end{aligned}\)

Щоб знайти\(m\angle A\) або\(m\angle C\), ви можете використовувати або Закон Синеса, або Закон Косинусів. Давайте скористаємося Законом Синеса.

\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 26^{\circ} }{12.60}&=\dfrac{\sin A}{18} \\ 12.60\cdot \sin A&=18\cdot \sin 26^{\circ} \\ \sin A&=18\cdot \sin 26^{\circ} 12.60 \end{aligned}\)

\(\sin ^{−1} \left(18\cdot \sin 26^{\circ} 12.60 \right)\approx 38.77^{\circ} \)Щоб знайти\(m\angle C\), використовуйте теорему про суму трикутника.

\(\begin{aligned} 26^{\circ} +38.77^{\circ} +m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C&=115.23^{\circ} \end{aligned}\)

Приклади

Знайдіть наступні кути в трикутнику нижче. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(m\angle A\)

Рішення

Коли вам даються лише сторони, ви повинні використовувати Закон Косинусів, щоб знайти один кут, а потім ви можете використовувати Закон Синеса, щоб знайти інший.

\(\begin{aligned} 15^2&=22^2+28^2−2(22)(28)\cos A \\ 225&=1268−1232\cos A \\ −1043&=−1232\cos A \\ \dfrac{−1043}{−1232}&=\cos A \rightarrow \cos ^{−1}\left(\dfrac{1043}{1232}\right) \approx 32.16^{\circ}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(m\angle B\)

Рішення

Тепер, коли у нас є кут і його протилежна сторона, ми можемо використовувати Закон Синеса.

\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 32.16^{\circ} }{15} &=\dfrac{\sin B}{22} \\ 15\cdot \sin B &=22\cdot \sin 32.16^{\circ} \\ \sin B &=\dfrac{22\cdot \sin 32.16^{\circ} }{15} \end{aligned}\)

\(\sin ^{−1}\left(\dfrac{22\cdot \sin 32.16^{\circ} }{15}\right)\approx 51.32^{\circ} \).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(m\angle C\)

Рішення

Щоб знайти\(m\angle C\), використовуйте теорему про суму трикутника.

\(\begin{aligned} 32.16^{\circ} +51.32^{\circ} +m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C&=96.52^{\circ} \end{aligned}\)

Рецензія

Використовуйте Закон Синеса або Косинуса для вирішення\(\Delta ABC\). Якщо вам не дали картинку, намалюйте її. Округляйте всі десяткові відповіді до найближчої десятої.

1. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{6}\)

2. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{7}\)

3. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{8}\)

4. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{9}\)

5. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{10}\)

6. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{11}\)

7. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{12}\)

8. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{13}\)

9. 

   Малюнок\(\PageIndex{14}\)

10. \(m\angle A=74^{\circ} \),\(m\angle B=11^{\circ} \),\(BC=16\)
11. \(m\angle A=64^{\circ} \),\(AB=29\),\(AC=34\)
12. \(m\angle C=133^{\circ} \),\(m\angle B=25^{\circ} \),\(AB=48\)

Використовуйте Закон Синеса, щоб вирішити\(\Delta ABC\) нижче.

13. \(m\angle A=20^{\circ} \),\(AB=12\),\(BC=5\)

Нагадаємо, що коли ми дізналися, як довести, що трикутники були конгруентними, ми визначили, що SSA (дві сторони і кут не включені) не визначають унікальний трикутник. Коли ми використовуємо Закон Синусів для вирішення трикутника, і нам дають дві сторони і кут не включений, ми можемо мати два можливих трикутника. Проблема 14 ілюструє це.

14. Скажімо, у нас є\(\Delta ABC\), як ми зробили в задачі 13. У задачі 13 вам дали дві сторони і не включений кут. Цього разу у вас є два кути і сторона між ними (ASA). Вирішити трикутник, враховуючи\(m\angle A=20^{\circ} \), що\(m\angle C=125^{\circ}\),\(AC=8.4\)
15. Чи відповідає трикутник, який ви знайшли в задачі 14, вимогам даної інформації в задачі 13? Як ці два різні\(m\angle C\) пов'язані між собою? Намалюйте два можливих трикутника, що перекриваються, щоб візуалізувати цей зв'язок.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.10.

Додаткові ресурси

Відео: Закон Синеса: Основи