3.5.3: Формули з потрійним кутом та лінійні комбінації
- Page ID
- 54824
Поєднання формул суми та подвійного кута; множина доданих або відніманих термінів з постійним множником.
В інших уроках ви мали справу з формулами подвійного кута. Це було корисно для пошуку значення кута, який був подвійним вашим добре відомим значенням. Тепер розглянемо ідею «формули потрійного кута». Якщо хтось дав вам таку проблему:
\(\sin 135^{\circ}\)
Не могли б ви обчислити його вартість?
Формули потрійного кута та лінійні комбінації
Подвійні кутові формули відмінно підходять для обчислення значення триг-функції в певних випадках. Однак іноді потрібні різні кратні, ніж два рази та кут. Наприклад, може бути бажано мати втричі більше значення кута для використання в якості аргументу триг-функції.
Об'єднавши формулу суми та формулу подвійного кута, можна знайти формули для потрійних кутів тощо.
Тут ми беремо рівняння, яке приймає лінійну комбінацію синуса і косинуса і перетворює його в простішу функцію косинуса.
\(A\cos x+B\sin x=C\cos (x−D)\), де\(C=\sqrt{A^2+B^2}\),\(\cos D=\dfrac{A}{C}\) і\(\sin D=\dfrac{B}{C}\).
Ви також можете використовувати TI-83 для вирішення тригонометричних рівнянь. Іноді це простіше, ніж розв'язати рівняння алгебраїчно. Просто будьте обережні з вказівками і переконайтеся, що ваша остаточна відповідь знаходиться в тій формі, яка покликана. Калькулятор не може поставити радіани в терміні\ pi.
Пошук формул
Знайдіть формулу для\(\sin 3x\)
Використовуйте як формулу подвійного кута, так і формулу суми.
\(\begin{aligned} \sin 3x&=\sin (2x+x) \\ &=\sin (2x)\cos x+\cos (2x)\sin x \\&=(2\sin x\cos x)\cos x+(\cos 2x−\sin 2x)\sin x \\ &=2\sin x\cos 2x+\cos 2x\sin x−\sin 3x \\&=3\sin x\cos 2x−\sin 3x \\&=3\sin x(1−\sin 2x)−\sin 3x \\&=3\sin x−4\sin 3x \end{aligned}\)
Виконання перетворень
\(3\cos 2x−4\sin 2x\)Трансформувати в форму\(C\cos (2x−D)\)
\(A=3\)і\(B=−4\), так\(C=\sqrt{3^2+(−4)^2}=5\). Тому\(\cos D=\dfrac{3}{5}\) і\(\sin D=−\dfrac{4}{5}\) який робить опорний кут є\(−53.1^{\circ}\) або\(−0.927\) радіани. Оскільки косинус позитивний, а синус негативний, кут повинен бути кутом четвертого квадранта. \(D\)Тому повинні бути\(306.9^{\circ} \) або\(5.36\) радіани. Остаточна відповідь -\(3\cos 2x−4\sin 2x=5\cos (2x−5.36)\).
Розв'язування невідомих значень
Вирішити\(\sin x=2\cos x\) таке, що\(0\leq x\leq 2\pi\) за допомогою графічного калькулятора.
Рішення: В\(y=\), граф\(y_1=\sin x\) і\(y_2=2\cos x\).
Далі використовуйте CALC, щоб знайти точки перетину графіків.
Раніше вас просили розгадати гріх\(135^{\circ} \).
Рішення
Використовуючи формулу потрійного кута, яку ми засвоїли на цьому уроці для синусоїдальної функції, ми можемо розбити кут на три рази відомий кут:
\(\sin 3x=3\sin x−4\sin ^3x\)
ми можемо вирішити цю проблему.
\(\begin{aligned} \sin (3×45^{\circ} )&=3\sin 45^{\circ} −4\sin ^3 45^{\circ} \\&=3\dfrac{\sqrt{2} }{2}−4\left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right)^3 \\ &=3\dfrac{\sqrt{2} }{2}−\left(\dfrac{4(2)^{2/3}}{8}\right) \\ &=\dfrac{3\sqrt{2} −2\sqrt{2} }{2} \\ &=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \end{aligned}\)
\(5\cos x−5\sin x\)Перетворити на форму\(C\cos (x−D)\)
Рішення
Якщо\(5\cos x−5\sin x\), то\(A=5\) і\(B=−5\). За теоремою Піфагора,\(C=5\sqrt{2}\) і\(\cos D=55\sqrt{2} =1\sqrt{2} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}\). Так, тому що\(B\) є негативним,\(D\) знаходиться в IV квадранті. Тому,\(D=\dfrac{7\pi }{4}\). Наша остаточна відповідь\(5\sqrt{2} \cos \left(x−\dfrac{7\pi }{4}\right)\).
\(−15\cos 3x−8\sin 3x\)Перетворити на форму\(C\cos (x−D)\)
Рішення
Якщо\(−15\cos 3x−8\sin 3x\), то\(A=−15\) і\(B=−8\). За теоремою Піфагора,\(C=17\). Тому що\(A\) і\(B\) обидва негативні,\(D\) є в квадранті III, що означає\(D=\cos ^{−1} \left(\dfrac{15}{17}\right)=0.49+\pi =3.63 \text{ rad}\). Наша остаточна відповідь\(17\cos 3(x−3.63)\).
Вивести формулу для\(\tan 4x\).
Рішення
\ (\ почати {вирівняний}
\ тан 4 х &=\ тан (2 х+2 х)\\
&=\ dfrac {\ тан 2 х+\ тан 2 х} {1-\ тан 2 х\ тан 2 х}\\
&=\ dfrac {2\ tan 2 x} {1-\ tan ^ {2} 2 x}\
&=\ dfrac {2\ dfrac {2\ cdot\ ddo\ dfrac розрив {2\ тан х} {1-\ тан ^ {2} х}} {1-\ ліворуч (\ dfrac {2\ тан х} {1-\ тан ^ {2} х}\ праворуч) ^ 2\\
&=\ dfrac {4\ тан х} {1-\ тан ^ {2} х}\ div\ dfrac {\ лівий (1-\ тан ^ {2} х\ вправо) ^ {2} -4\ тан ^ {2} x} {\ tan ^ {2} х\ праворуч) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {4\ тан х} {1-\ тан ^ {2} х}\ div\ dfrac {1-2\ тан ^ {2} х+\ тан ^ {4} х-4\ тан ^ {2} x} {\ лівий (1-\ тан ^ {2} х\ праворуч) ^ {2}}\\
& амп; =\ dfrac {4\ тан х} {1-\ тан ^ {2} х}\ cdot\ dfrac {\ лівий (1-\ тан ^ {2} х\ вправо) ^ {2}} {1-6\ тан ^ {2} x+\ tan ^ {4} х}\\
&=\ dfrac {4\ x-4\ тан ^ {3} х} {1-6\ тан ^ {2} x+\ tan ^ {4} x}
\ кінець {вирівняний}\)
Рецензія
Перетворіть кожний вираз у форму\( C \cos (x−D)\).
- \(3\cos x−2\sin x\)
- \(2\cos x−\sin x\)
- \(−4\cos x+5\sin x\)
- \(7\cos x−6\sin x\)
- \(11\cos x+9\sin x\)
- \(14\cos x+2\sin x\)
- \(−2\cos x−4\sin x\)
Виведіть формулу для кожного виразу.
- \(\sin 4x\)
- \(\cos 6x\)
- \(\cos 4x\)
- \(\csc 2x\)
- \(\cot 2x\)
Знайти всі розв'язки кожного рівняння в інтервалі\([0,2\pi )\).
- \(\cos x+\cos 3x=0\)
- \(\sin 2x=\cos 3x\)
- \(\cos 2x+\cos 4x=0\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.15.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Лінійна комбінація | Лінійна комбінація - це сукупність термінів, які складаються або віднімаються один від одного з мультиплікативною константою перед кожним терміном. |
| Потрійний кут ідентичності | Ідентичність потрійного кута (також називається формулою потрійного кута) пов'язує тригонометричну функцію з трикратним аргументом до набору тригонометричних функцій, кожна з яких містить вихідний аргумент. Приклади: формула потрійного кута для синуса\(\sin (3\theta )=3\sin \theta −4\sin ^3\theta \), формула потрійного кута для\(\cos (3\theta )=−3 \cos \theta +4 \cos ^3\theta \) косинуса та формула потрійного кута для тангенса\(\tan (3\theta )=\dfrac{3 \tan \theta − \tan ^3\theta }{1−3 \tan ^2\theta }\). |