3.5.2: Формули добутку суми для синуса та косинуса

Співвідношення добутку двох тригонометричних функцій до суми або різниці.

Припустимо, ви знаходитесь в класі один день, працюючи над обчисленням значень функцій трига, коли ваш інструктор дає вам рівняння, подібне до цього:

\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\)

Чи можете ви вирішити таке рівняння? Ви можете просто обчислити кожен термін окремо, а потім обчислити результат. Однак є й інший спосіб. Ви можете перетворити цей добуток триг-функцій у суму триг-функцій.

Читайте далі, і до кінця цього уроку ви дізнаєтеся, як вирішити цю задачу, змінивши її на суму триг-функцій.

Формули добутку суми для синуса та косинуса

Тут ми почнемо з виведення формул, як перетворити добуток двох тригових функцій в суму або різницю функцій трига.

Існує дві формули перетворення добутку синуса або косинуса в суму або різницю. Для початку розглянемо добуток синуса двох кутів. Для цього нам потрібно почати з косинуса різниці двох кутів.

\ (\ почати {масив} {л}
\ cos (a-b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin a\ sin b\ текст {і}\ cos (a+b) =\ cos a\ cos a\ cos (a+b) =
\ cos a\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b- (\ cos a\ cos a\ cos b-\ sin a\ sin b)\\ cos (а-б) -
\ cos (а+b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b-\ cos a\ cos b\ cos b+\ sin a\ sin б\
\ cos (а-б) -\ cos (a+b) =2\ sin a\ sin b\\
\ dfrac {1} {2} [\ cos (a-b) -\ cos (a+b)] =\ sin a\ sin b
\ end {масив}\)

Наступний добуток для підсумовування формул можна вивести за допомогою того ж методу:

\(\begin{aligned} \cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )] \\ \sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )] \\ \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )−\sin (\alpha −\beta )] \end{aligned}\)

Використання формули «Добуток для суми»

1. \(\cos 2x\cos 5y\)Змінити на суму.

Скористайтеся формулою\(\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )]\). Набір\(\alpha =2x\) і\(\beta =5y\).

\(\cos 2x \cos 5y=\dfrac{1}{2}[\cos (2x−5y)+\cos (2x+5y)]\)

2. \(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}\)Змінити на товар.

Скористайтеся формулою\(\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )]\). Тому\(\alpha +\beta =11z\) і\(\alpha −\beta =z\). Вирішіть друге рівняння для\ alpha і підключіть його до першого.

\(\begin{aligned} \alpha =z+\beta \rightarrow (z+\beta )+\beta &=11z \qquad \text{ and }\quad \alpha =z+5z=6z\\ z+2\beta &=11z \\ 2\beta &=10z \\ \beta &=5z \end{aligned}\)

\(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}=\sin 6z\cos 5z\). Знову ж таки, сума\(6z\) і\(5z\) є\(11z\) і різниця є\(z\).

3. Вирішити\(\cos 5x+\cos x=\cos 2x\).

Скористайтеся формулою\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\).

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos 5 x+\ cos х & =\ cos 2 х\\
2\ cos 3 х\ cos 2 x & =\ cos 2 х\
\ cos 3 х\ cos 2 х\ cos 2 x-\ cos 2 x & = 0
\ cos 2 x (2\ cos 3 x-1) &= 0\ кінець {вирівняний}\\ початок {вирівняний}
\\\ sarrow\\ quad\ quad & ;\
\ cos 2 x & = 0 & 2\ cos 3 х-1&= 0\\
& & 2\ cos 3 х = 1\\ 2 х =\ dfrac {\ pi} {
2},\ dfrac {3\ pi} {2} &\ текст {і}\ квад\ cos 3 x = &\ dfrac {1} {2}\ x & =\ dfrac {1} {2}\
x & =\ dfrac c {\ pi} {4},\ dfrac {3\ pi} {4} & 3 x&=\ dfrac {\ pi} {3},\ dfrac {5\ pi} {3},\ dfrac {7\ pi} {3},\ dfrac {11\ pi} {3},\ dfrac {3},\ dfrac {17\ pi} {3}\
& & x&=\ dfrac {\ pi} {9},\ dfrac {5\ pi} {9},\ dfrac {7\ pi} {9},\ dfrac {11\ pi} {9},\ dfrac {13\ pi} {9},\ dfrac {17\ pi} {9}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили розгадати гріх\(75^{\circ} \sin 15^{\circ}\).

Рішення

\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\)Перехід на добуток триг-функцій може бути здійснений за допомогою

\(\sin a\sin b=\dfrac{1}{2} [\cos (a−b)−\cos (a+b)]\)

Підстановка в відомі значення дає:

\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}=\dfrac{1}{2} [\cos (60^{\circ})−\cos (90^{\circ})]=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}−0\right]=\dfrac{1}{4}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Висловіть товар у вигляді суми:\(\sin (6\theta )\sin (4\theta )\)

Рішення

Використовуючи формулу «продукт до суми»:

\(\sin 6\theta \sin 4\theta \\ \dfrac{1}{2} (\cos (6\theta −4\theta )−\cos (6\theta +4\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\cos 2\theta −\cos 10\theta )\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Висловіть товар у вигляді суми:\(\sin (5\theta )\cos (2\theta )\)

Рішення

Використовуючи формулу «продукт до суми»:

\(\sin 5\theta \cos 2\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (5\theta +2\theta )−\sin (5\theta −2\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 7\theta −\sin 3\theta )\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Висловіть товар у вигляді суми:\(\cos (10\theta )\sin (3\theta )\)

Рішення

Використовуючи формулу «продукт до суми»:

\(\cos 10\theta \sin 3\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (10\theta +3\theta )−\sin (10\theta −3\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 13\theta −\sin 7\theta ) \)

Рецензія

Висловіть кожен товар у вигляді суми або різниці.

1. \(\sin (5\theta )\sin (3\theta )\)
2. \(\sin (6\theta )\cos (\theta )\)
3. \(\cos (4\theta )\sin (3\theta )\)
4. \(\cos (\theta )\cos (4\theta )\)
5. \(\sin (2\theta )\sin (2\theta )\)
6. \(\cos (6\theta )\sin (8\theta )\)
7. \(\sin (7\theta )\cos (4\theta )\)
8. \(\cos (11\theta )\cos (2\theta )\)

Висловіть кожну суму або різницю як добуток.

9. \(\dfrac{\sin 8\theta +\sin 6\theta }{2}\)
10. \(\dfrac{\sin 6\theta −\sin 2\theta }{2}\)
11. \(\dfrac{\cos 12\theta +\cos 6\theta }{2}\)
12. \(\dfrac{\cos 12\theta −\cos 4\theta }{2}\)
13. \(\dfrac{\sin 10\theta +\sin 4\theta }{2}\)
14. \(\dfrac{\sin 8\theta −\sin 2\theta }{2}\)
15. \(\dfrac{\cos 8\theta −\cos 4\theta }{2}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.14.

Лексика

Термін	Визначення
Формула продукту до суми	Формула добутку суми пов'язує добуток двох тригонометричних функцій до суми двох тригонометричних функцій.

Додаткові ресурси

Відео: Формули від продукту до суми - приклад 1

Практика: Формули добутку суми для синуса та косинуса