Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5.1: Формули суми добутку для синуса та косинуса

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54832

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Співвідношення суми або різниці двох тригонометричних функцій до добутку.

    Чи можете ви вирішити проблеми, які передбачають суму синусів або косинусів? Для прикладу розглянемо рівняння:

    \(\cos 10t+\cos 3t\)

    Ви можете просто обчислити кожен вираз окремо і додати їх значення в кінці. Однак є більш простий спосіб зробити це. Можна спочатку спростити рівняння, а потім вирішити.

    Формули синуса та косинуса до добутку

    У деяких задачах добуток двох тригонометричних функцій зручніше знаходити на суму двох тригонометричних функцій за допомогою тотожностей.

    Ось приклад:

    \(\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

    Це можна перевірити, скориставшись формулами суми та різниці:

    \ (\ почати {масив} {l}
    2\ sin\ dfrac {\ альфа+\ бета} {2}\ cos\ dfrac {\ альфа-\ бета} {2}\\
    =2\ ліворуч [\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ альфа} {2}\ бета} {2}\ праворуч)\ cos\ ліворуч (\ dfrac {\ альфа} {2} -\ dfrac {\ бета} {2}\ праворуч)\\ праворуч]\\
    =2\ ліворуч [\ ліворуч (\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2} +\ cos \ dfrac {\ альфа} {2}\ sin\ dfrac {\ бета} {2}\ праворуч)\ вліво (\ cos\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2}\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ право]\ dfrac {2}\ право]\\\\\
    ліворуч [\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos ^ {2}\ dfrac {\ бета} {2} +\ sin ^ {2}\ dfrac {\ альфа} {2}\ dfrac {\ бета} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2} +\ sin\ dfrac {\ бета} {2}\ cos ^ {2}\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2}\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ dfrac {\ бета} {2}\ cos\ dfrac {} {2}\ праворуч]\\
    =2\ ліворуч [\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ альфа} {2}\ ліворуч (\ sin ^ {2}\ dfrac {\ бета} {2}\ dfrac {\ бета} {2}\ праворуч) +\ sin\ dfrac {\ бета} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2}\ ліворуч (\ sin ^ {2}\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos ^ {2}\ альфа} {2}\ праворуч]\\\ праворуч]\\\
    =2\ ліворуч [\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ альфа} {2} +\ sin\ dfrac {\ бета} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2}\ право]\\
    =2\ sin\ dfrac {\ альфа} {2}\ cos\ dfrac {\ альфа} {2} +2\ sin\ dfrac {\ бета} {2}\ cos\ dfrac {\ бета} {2}\\
    =\ sin\ ліворуч (2\ cdot\ dfrac {\ альфа} {2}\ праворуч) +\ sin\ beta\ left (2\ cdot\ dfrac {\ бета}\ право)\
    =\ sin\ альфа+\ sin\ бета
    \ кінець {масив}\)

    Подібним чином можна вивести такі варіації:

    \(\begin{aligned} \sin \alpha −\sin \beta &=2\sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta &=2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2} \\ \cos \alpha −\cos \beta &=−2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\end{aligned}\)

    Ось деякі проблеми з використанням такого типу перетворення від суми термінів до добутку термінів.

    1. \(\sin 5x−\sin 9x\)Переодягатися в продукт.

    Скористайтеся формулою\(\sin \alpha −\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\).

    \(\begin{aligned} \sin 5x−\sin 9x&=2\sin \dfrac{5x−9x}{2} \cos \dfrac{5x+9x}{2} \\&=2\sin (−2x)\cos 7x \\ &=−2\sin 2x\cos 7x \end{aligned}\)

    2. \(\cos (−3x)+\cos 8x\)Переодягатися в продукт.

    Використовуйте формулу\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

    \(\begin{aligned} \cos (−3x)+\cos (8x)&=2\cos \dfrac{−3x+8x}{2} \cos \dfrac{−3x−8x}{2} \\&=2\cos (2.5x)\cos (−5.5x)\\&=2\cos (2.5x)\cos (5.5x) \end{aligned}\)

    3. \(2\sin 7x\cos 4x\)Змінити на суму.

    Це навпаки того, що було зроблено в попередніх двох прикладах. Дивлячись на чотири формули вище, візьміть ту, яка має синус і косинус як добуток,\(\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\). Тому\(7x=\dfrac{\alpha +\beta }{2}\) і\(4x=\dfrac{\alpha −\beta }{2}\).

    \(\begin{aligned} 7x&=\dfrac{\alpha +\beta }{2} & 4x&=\dfrac{\alpha −\beta }{2} \\ & \qquad \qquad \qquad \text{and}& & \\ 14x&=\alpha +\beta & 8x&=\alpha −\beta \\ \alpha &=14x−\beta & 8x&=[14x−\beta ]−\beta \\ & \qquad \qquad \qquad \text{so}& &\\ \alpha &=14x−3x & −6x&=−2\beta \\ \alpha &=11x & 3x&=\beta \end{aligned}\)

    Отже, це перекладається на\(\sin (11x)+\sin (3x)\). Ярликом для цієї проблеми було б помітити, що сума\(7x\) і\(4x\) є\(11x\) і різниця є\(3x\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили вирішити

    \(\cos 10t+\cos 3t\)

    Рішення

    Ви можете легко перетворити це рівняння на добуток двох тригових функцій за допомогою:

    \(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

    Підставляємо відомі величини:

    \(\cos 10t+\cos 3t=2\cos \dfrac{13t}{2} \times \cos \dfrac{7t}{2}=2\cos (6.5t)\cos (3.5t)\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Висловіть суму у вигляді добутку:\(\sin 9x+\sin 5x\)

    Рішення

    Використовуючи формулу сума-добуток:

    \(\begin{aligned} &\sin 9x+\sin 5x \\ &2\left(\sin \left(\dfrac{9x+5x}{2}\right)\cos \left(\dfrac{9x−5x}{2}\right)\right) \\ & 2\sin 7x\cos 2x \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Висловіть різницю як продукт:\(\cos 4y−\cos 3y\)

    Рішення

    Використовуючи формулу різниці до продукту:

    \(\begin{aligned} &\cos 4y−\cos 3y \\ &−2\sin \left(\dfrac{4y+3y}{2}\right) \sin \left(\dfrac{4y−3y}{2}\right) \\ &−2\sin \dfrac{7y}{2} \sin \dfrac{y}{2} \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Перевірте особу (використовуючи формулу суми до продукту):\(\dfrac{\cos 3a−\cos 5a}{\sin 3a−\sin 5a}=−\tan 4a\)

    Рішення

    Використання формул різниці до продукту:

    \(\begin{aligned} \dfrac{\cos 3a−\cos 5a}{\sin 3a−\sin 5a}&=−\tan 4a \\ \dfrac{−2\sin \left(\dfrac{3a+5a}{2}\right)\sin \left(\dfrac{3a−5a}{2}\right) }{2\sin \left(\dfrac{3a−5a}{2}\right) \cos \left(\dfrac{3a+5a}{2}\right)}& \\ −\dfrac{\sin 4a}{\cos 4a }&\\ −\tan 4a & \end{aligned}\)

    Рецензія

    Змініть кожну суму або різницю на товар.

    1. \(\sin 3x+\sin 2x\)
    2. \(\cos 2x+\cos 5x\)
    3. \(\sin (−x)−\sin 4x\)
    4. \(\cos 12x+\cos 3x\)
    5. \(\sin 8x−\sin 4x\)
    6. \(\sin x+\sin \dfrac{1}{2} x\)
    7. \(\cos 3x−\cos (−3x)\)

    Змініть кожен товар на суму або різницю.

    1. \(−2\sin 3.5x\sin 2.5x\)
    2. \(2\cos 3.5x\sin 0.5x\)
    3. \(2\cos 3.5x\cos 5.5x\)
    4. \(2\sin 6x\cos 2x\)
    5. \(−2\sin 3x\sin x\)
    6. \(2\sin 4x\cos x\)
    7. Покажіть, що\(\cos \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A−B}{2}=\dfrac{1}{2}(\cos A+\cos B)\).
    8. Нехай\(u=\dfrac{A+B}{2}\) і\(v=\dfrac{A−B}{2}\). Покажіть, що\(\cos u\cos v=\dfrac{1}{2}(\cos (u+v)+\cos (u−v))\).

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.13.

    Лексика

    Термін Визначення
    Формула суми до добутку Формула суми добутку пов'язує суму або різницю двох тригонометричних функцій до добутку двох тригонометричних функцій.

    Додаткові ресурси

    Відео: Формули суми до продукту - огляд