3.4.6: Тригонометричні рівняння з використанням напівкутових формул

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54914

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Спрощення всіх шести тригонометричних функцій з половиною заданого кута.

Як ви вже багато разів бачили, здатність знаходити значення триг-функцій для різних кутів є критичним компонентом курсу в тригонометрії. Якби вам дали кут як аргумент триг-функції, яка була половиною кута, з яким ви були знайомі, чи могли б ви вирішити функцію трига?

Наприклад, якщо вас попросили знайти

\(\sin 22.5^{\circ}\)

Ви б змогли це зробити? Продовжуйте читати, і в цьому розділі ви дізнаєтеся, як це зробити.

використання напівкутових формул на тригонометричних рівняннях

Легко запам'ятати значення тригонометричних функцій для певних загальних значень\(\theta \). Однак іноді будуть дробові значення відомих триг-функцій, таких як бажання знати синус половини кута, з яким ви знайомі. У подібних ситуаціях, половина кута ідентичність може виявитися цінним, щоб допомогти обчислити значення триг-функції.

Крім того, напівкутові тотожності можуть бути використані для спрощення задач для вирішення певних кутів, які задовольняють вираз. Для цього спочатку запам'ятайте тотожності половини кута для синуса та косинуса:

\(\sin \alpha 2=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в першому, або в другому квадранті.

\(\sin \alpha 2=−\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha}{ 2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться в третьому або четвертому квадранті.

\(\cos \alpha 2=\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{ 2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в першому, або в четвертому квадранті.

\(\cos \alpha 2=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в другому, або в четвертому квадранті.

При спробі вирішити рівняння, використовуючи тотожність півкута, шукайте місце для заміни, використовуючи одну з вищезазначених тотожностей. Це може допомогти спростити розв'язуване рівняння.

Давайте розглянемо деякі проблеми, які використовують формулу половинного кута.

1. Розв'яжіть тригонометричне рівняння\(\sin ^2\theta =2\sin ^2 \dfrac{\theta }{2}\) за інтервалом\([0,2\pi )\).

\(\begin{aligned} \sin ^2\theta&=2\sin ^2 \dfrac{\theta }{2} \\ \sin ^2\theta&=2\left(\dfrac{1−\cos \theta }{2}\right) && \text{ Half angle identity}\\ 1−\cos ^2\theta &=1−\cos \theta &&\text{Pythagorean identity}\\ \cos \theta −\cos ^2\theta&=0 \\ \cos \theta (1−\cos \theta )&=0 \end{aligned}\)

Тоді\(\cos \theta =0\) або\(1−\cos \theta =0\), який є\(\cos \theta\).

\(\theta =0,\; \dfrac{\pi }{2},\; \dfrac{3\pi }{2},\; \text{ or } 2\pi \).

2. Вирішити\(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\) для\(0\leq x<2\pi\)

Для вирішення\(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\) спочатку нам потрібно виділити косинус, потім скористатися формулою половинного кута.

\(\begin{aligned} 2\cos ^2\dfrac{x}{2}&=1 \\ \cos ^2 \dfrac{x}{2}&=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1+\cos x}{2}&=\dfrac{1}{2} \\ 1+\cos x&=1 \\ \cos x&=0 \end{aligned}\)

\(\cos x=0\)коли\(x=\dfrac{\pi }{2},\; \dfrac{3\pi }{2}\)

3. Вирішити\(\tan \dfrac{a}{2}=4\) для\(0^{\circ} \leq a<360^{\circ}\)

Щоб вирішити\(\tan \dfrac{a}{2}=4\), спочатку ізолюйте тангенс, потім скористайтеся формулою половинного кута.

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан\ dfrac {a} {2} &= 4
\\\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos a} {1+\
cos a}} &=4\\ dfrac {1-\ cos a} {1+\ cos a}
&=16\ cos a &=1-\
cos a\\ &=-15\\
\ cos а &=-\ dfrac {15} {17}
\ end {вирівняний}\)

за допомогою графічного калькулятора,\(\cos a=−\dfrac{15}{17}\) коли\(a=152^{\circ} ,\; 208^{\circ}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили розгадати гріх\(22.5^{\circ}\).

Рішення

Знаючи формули половинного кута, можна\(\sin 22.5^{\circ} \) легко обчислити:

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin 22.5^ {\ circ} &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {45^ {\ circ}} {2}\ праворуч)\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 45^ {\ circ}} {2}}\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ dfrac {\ dfrac {\ sqrc {rt {2}} {2}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {2}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {4}}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2-\ sqrt {2}} {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти точне значення\(\cos 112.5^{\circ}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin 105^ {\ circ} &=\ sin\ dfrac {210^ {\ circ}} {2}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 210^ {\ circ}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {2-\ sqrt {3}} {2}} {2}}\
&=\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {3}} {4}}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2-\ sqrt {3}}} {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти точне значення\(\sin 105^{\circ}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть точне значення\(\tan \dfrac{7\pi }{8}\).

Рішення

\(\begin{aligned} \tan \dfrac{7\pi }{8} &=\tan \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7\pi }{4} \\ &=\dfrac{1−\cos \dfrac{7\pi }{4} }{\sin \dfrac{7\pi }{4}} \\ &=\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{−\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &=\dfrac{\dfrac{2−\sqrt{2}}{2}}{−\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\&=−\dfrac{2−\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{−2\sqrt{2}+2}{2} \\ &=−\sqrt{2}+1 \end{aligned}\)

Рецензія

Використовуйте тотожності половини кута, щоб знайти точне значення кожного виразу.

\(\tan 15^{\circ}\)
\(\tan 22.5^{\circ}\)
\(\cot 75^{\circ}\)
\(\tan 67.5^{\circ}\)
\(\tan 157.5^{\circ}\)
\(\tan 112.5^{\circ}\)
\(\cos 105^{\circ}\)
\(\sin 112.5^{\circ}\)
\(\sec 15^{\circ}\)
\(\csc 22.5^{\circ}\)
\(\csc 75^{\circ}\)
\(\sec 67.5^{\circ}\)
\(\cot 157.5^{\circ}\)

Використовуйте тотожності половини кута, щоб допомогти вирішити кожне з наступних рівнянь на інтервалі\([0,2\pi )\).

\(3\cos ^2 \left(\dfrac{x}{2}\right)=3\)
\(4\sin ^2x=8\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.12.

Лексика

Термін	Визначення
Половина кута ідентичності	Точність половинного кута пов'язує тригонометричну функцію однієї половини аргументу до набору тригонометричних функцій, кожна з яких містить вихідний аргумент.