3.4.5: Формули половинного кута

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54895

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Виведення синусоїдних і косинусних формул для половини заданого кута

Після всього вашого досвіду роботи з функціями trig, ви відчуваєте себе досить добре. Ви знаєте значення функцій трига для багатьох загальних кутів, таких як\(30^{\circ} \), і\(60^{\circ}\) т.д. а для інших кутів ви регулярно використовуєте свій калькулятор. Припустимо, хтось дав вам таке рівняння:

\(\cos 75^{\circ}\)

Чи могли б ви вирішити це без калькулятора? Ви можете помітити, що це половина\(150^{\circ} \). Це може дати вам підказку!

Формули половинного кута

Тут ми спробуємо вивести та використовувати формули для триг-функцій кутів, які є половиною певного значення.

Для цього почнемо з формули подвійного кута для косинуса:\(\cos 2\theta =1−2\sin ^2\theta \). Встановити\(\theta =\dfrac{\alpha}{2}\), так рівняння вище стає\(\cos 2\dfrac{\alpha}{2}=1−2\sin ^2\dfrac{\alpha}{2}\).

Вирішуючи це для\(\sin \dfrac{\alpha}{2}\), отримуємо:

\(\begin{aligned} \cos 2\dfrac{\alpha}{2}&=1−2\sin 2\dfrac{\alpha}{2} \\ \cos \alpha&=1−2\sin 2\dfrac{\alpha}{2} \\ 2 \sin ^2\dfrac{\alpha}{2}&=1−\cos \alpha \\ \sin ^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1−\cos \alpha }{ 2} \\ \sin \dfrac{\alpha}{2}&=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}} \end{aligned}\)

\(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в першому, або в другому квадранті.

\(\sin \dfrac{\alpha}{2}=−\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться в третьому або четвертому квадранті.

Ця формула показує, як знайти синус половини якогось конкретного кута.

Однією з інших формул, яка була виведена для косинуса подвійного кута, є:

\(\cos 2\theta =2\cos ^2\theta −1\). Встановити\(\theta =\dfrac{\alpha}{2}\), так рівняння стає\(\cos 2\dfrac{\alpha}{2}=−1+2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}\). Вирішуючи це для\(\cos \dfrac{\alpha}{2}\), отримуємо:

\(\begin{aligned} \cos 2\dfrac{\alpha}{2}&=2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}−1 \\ \cos \alpha&=2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}−1 \\ 2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}&=1+\cos \alpha \\ \cos ^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1+\cos \alpha }{2} \\ \cos \dfrac{\alpha}{2} &=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\end{aligned}\)

\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в першому, або в четвертому квадранті.

\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)якщо\(\dfrac{\alpha}{2}\) знаходиться або в другому, або в четвертому квадранті.

Ця формула показує, як знайти косинус половини якогось конкретного кута.

Давайте подивимося кілька прикладів цих двох формул (синус і косинус половинних кутів) в дії.

1. Визначте точне значення\(\sin 15^{\circ} \).

Використовуючи половину кута ідентичності\(\alpha =30^{\circ} \), і\(15^{\circ} \) розташовується в першому квадранті. Тому,\(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\).

\(\begin{aligned} \sin 15^{\circ} &=\sqrt{\dfrac{1−\cos 30^{\circ} }{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2−\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2−\sqrt{3}}{4}} \end{aligned}\)

Підключення цього до калькулятора,\(\sqrt{\dfrac{2−\sqrt{3}}{4}}\approx 0.2588\). Використання функції синуса на калькуляторі підтверджує правильність цієї відповіді.

2. Використовуйте тотожність половини кута, щоб знайти точне значення\(\sin 112.5^{\circ}\)

Оскільки\(\sin \dfrac{225^{\circ} }{2}=\sin 112.5^{\circ} \), використовуйте формулу половинного кута для синуса, де\(\alpha =225^{\circ} \). У цьому прикладі кут\(112.5^{\circ} \) є другим кутом квадранта, а SIN [1] кута другого квадранта - позитивним.

\(\begin{aligned} \sin 112.5^{\circ} &=\sin \dfrac{225^{\circ} }{2} \\&=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos 225^{\circ} }{2}}\\ &=+\sqrt{\dfrac{1−\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} \end{aligned}\)

3. Скористайтеся формулою половинного кута для функції косинуса, щоб довести, що наступний вираз є тотожністю:\(2\cos ^2 \dfrac{x}{2}−\cos x=1\)

Скористайтеся формулою\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}\) і підставляйте її на ліву частину виразу.

\(\begin{aligned} 2 \left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \theta }{2}}\right)^2−\cos \theta&=1 \\ 2\left(\dfrac{1+\cos \theta }{2}\right)−\cos \theta&=1\\ 1+\cos \theta −\cos \theta&=1 \\ 1&=1 \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили знайти\(\cos 75^{\circ} \). Якщо використовувати формулу половинного кута, то\(\alpha =150^{\circ}\)

Підставивши це в формулу половинного кута:

Рішення

\(\sin \dfrac{150^{\circ} }{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\dfrac{1−\cos 150^{\circ} }{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Доведіть особу:\(\tan \dfrac{b}{2} =\dfrac{\sec b}{\sec b \csc b+\csc b}\)

Рішення

Крок 1: Змініть праву сторону на синус і косинус.

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан\ dfrac {b} {2} &=\ dfrac {\ сек б} {\ сек б\ csc b}\\ csc b}\\
&=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ csc b (\ сек б+1)\\
&=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ csc b (\ сек б+1)\\ =\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ dfrac {1} {\ sin b}\ ліворуч (\ dfrac {1} {\ cos b} +1\ праворуч)\\
&=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ dfrac {1} {\\ сін б}\ ліворуч (\ dfrac {1+\ cos b} {\ cos b}\ праворуч)\\
&=\ dfrac {1} {\ cos b}\ dfrac {1+\ cos b} {\ sin b\ cos b}\\
&=\ dfrac {1} {\ cos b}\ cdot\ dfrac {\ sin b\ cos b} 1+\ cos b}\\
&=\ dfrac {\ sin b} {1+\ cos b}
\ кінець {вирівняний}\)

Крок 2: На останньому кроці вище ми максимально спростили праву сторону, тепер спрощуємо ліву сторону, використовуючи формулу половинного кута.

\ (\ почати {вирівняний}
\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos b} {1+\ cos b}} &=\ dfrac {\ sin b} {1+\ cos b}
\\ dfrac {1-\ cos b} {1+\ cos b} &=\ dfrac {\ sin ^ {2} b} {(1+\ cos b) ^ {2}}\\
(1-\ cos b) (1+\ cos b) ^ {2} &=\ sin ^ {2} b (1+\ cos b)\\
(1-\ cos b) (1+\ cos b) &=\ sin ^ {2} b\ \
1-\ cos ^ {2} b &=\ sin ^ {2} б
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Підтвердити особу:\(\cot \dfrac{c}{2} =\dfrac{\sin c}{1-\cos c}\)

Рішення

Крок 1: змініть котангенс на косинус над синусом, потім перехресне множення.

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos\ dfrac {c} {2} &=\ dfrac {\ sin c} {1-\ cos c}\\
&=\ dfrac {\ cos {1\ cos {1-\ cos c} {1-\ cos c}}\\ sqrt {\ dfrac {1+
\ cos c} {1-\ cos c}} &=\ dfrac {\ sin c} {1-\ cos c}\\ dfrac {1+\ cos c} {1-\ cos c} &
амп; =\ dfrac {\ sin ^ {2} c} {(1-\ cos c) ^ {2}}\\
(1+\ cos c) (1-\ cos c) ^ {2} &=\ sin ^ {2} c (1-\ cos c)\\ (1+\ cos c) (1-\ cos c) &=\ sin ^ {2} c\\\
(1+\ cos c) (1-\ cos c) &=\ sin ^ {2} c\\\
1-\ cos ^ {2} c &=\ sin ^ {2} c
\ end {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Доведіть, що\(\sin x \tan \dfrac{x}{2}+2\cos x=2\cos ^2 \dfrac{x}{2}\)

Рішення

\ (\ почати {масив} {л}
\ син х\ тан\ dfrac {x} {2} +2\ cos x =\ sin x\ лівий (\ dfrac {1-\ cos x} {\ sin x}
\ право) +2\ cos x\\ sin x\\ sin х\ тан\ dfrac {x} {2} +2\ cos x = 1+\ cos х\\ sin x\\ sin x\\ tan
\ dfrac {x} {2} +2\ cos x = 2\ cos ^ {2
}\ dfrac {x} {2}
\ кінець {масив}\)

Рецензія

Використовуйте тотожності половини кута, щоб знайти точні значення кожного виразу.

\(\sin 22.5^{\circ}\)
\(\sin 75^{\circ}\)
\(\sin 67.5^{\circ}\)
\(\sin 157.5^{\circ}\)
\(\cos 22.5^{\circ}\)
\(\cos 75^{\circ}\)
\(\cos 157.5^{\circ}\)
\(\cos 67.5^{\circ}\)
Скористайтеся двома тотожними половинними кутами, представленими в цьому розділі, щоб довести це\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\).
Скористайтеся результатом попередньої проблеми, щоб показати це\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1−\cos x}{\sin x}\).
Скористайтеся результатом попередньої проблеми, щоб показати це\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).

Використовуйте тотожності половини кута, щоб допомогти вам знайти всі рішення наступних рівнянь у інтервалі\([0,2\pi)\).

\(\sin ^2x=\cos ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
\(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}\)
\(\cos ^2x=\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
\(\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=2\cos ^2x−1\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.11.

Лексика

Термін	Визначення
Половина кута ідентичності	Точність половинного кута пов'язує тригонометричну функцію однієї половини аргументу до набору тригонометричних функцій, кожна з яких містить вихідний аргумент.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Формули напівкута - огляд