3.4.4: Розв'язування рівнянь з двокутовими тотожностями

Розв'яжіть синус, косинус і тангенс кутів, помножених або розділених на 2.

Триг загадка: Я кут х такий, що\(0\leq x<2\pi \). Я задовольняю рівняння\(\sin 2x−\sin x=0\). Який кут я?

Вирішити тригонометричні рівняння

Ми можемо використовувати формули половини та подвійного кута для вирішення тригонометричних рівнянь.

Вирішимо наступні тригонометричні рівняння.

1. Вирішити\(\tan 2x+\tan x=0\) коли\(0\leq x<2\pi \).

Змінити\(\tan 2x\) і спростити.

\(\begin{aligned} \tan 2x+\tan x &=0\\ \dfrac{2\tan x}{1−\tan ^2x}+\tan x &=0\\ 2\tan x+\tan x(1−\tan ^2x) &=0\rightarrow \text{Multiply everything by } 1−\tan ^2x \text{ to eliminate denominator. }\\ 2\tan x+\tan x−\tan ^3x&=0 \\ 3\tan x−\tan ^3x&=0 \\ \tan x(3−\tan ^2x)&=0 \end{aligned}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\(\begin{aligned} & & 3−\tan ^2 x&=0 \\ & & −\tan ^2x&=−3 \\ \tan x&=0 &\text{ and } \qquad \tan ^2x &=3 \\ x&=0 \text{ and } \pi & \tan x&=\pm \sqrt{3} \\ & & x&=\dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)

2. Вирішити\(2\cos \dfrac{x}{2}+1=0\) коли\(0\leq x<2\pi \).

В цьому випадку вам не доведеться використовувати формулу напівкута. Вирішити для\(\dfrac{x}{2}\).

\(\begin{aligned}2\cos \dfrac{x}{2}+1=0 \\ 2\cos \dfrac{x}{2}=−1 \\ \cos \dfrac{x}{2}=−\dfrac{1}{2} \end{aligned}\)

Тепер, давайте знайдемо,\(\cos a=−\dfrac{1}{2}\) а потім вирішимо для х, діливши на 2.

\(\begin{aligned} \dfrac{x}{2}&=\dfrac{2 \pi}{3},\dfrac{4 \pi}{3} \\ &=\dfrac{4 \pi}{3},\; \dfrac{8 \pi}{3} \end{aligned}\)

Тепер другого рішення немає в нашому асортименті, тому єдиним рішенням є\(x=\dfrac{4 \pi}{3}\).

3. Вирішити\(4\sin x\cos x=\sqrt{3} \) для\(0\leq x<2\pi \).

Витягніть 2 з лівої сторони і використовуйте\(\sin 2x\) формулу.

\ почати {вирівняний} 4\ sin x\ cos x & =\ sqrt {3}\\ 2\ cdot 2\ sin x\ cos x & =\ sqrt {3}\\ cdot\ sin 2x&=\ sqrt {3}\\ sqrt {3}\ sqrt {3} {3},\;\ dfrac {5\ пі} {3},\;\ dfrac {7\ пі} {3},\;\ dfrac {11\ пі} {3}\ x&=\ dfrac {\ pi} {6},\;\ dfrac {5\ пі} {6},\;\ dfrac {7\ пі} {6},\;\ dfrac { 11\ pi} {6}\ кінець {вирівняний}

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано знайти кут х, де, такий\(0\leq x<2\pi \), який\(x\) задовольняє рівнянню\(\sin 2x−\sin x=0\).

Рішення

Скористайтеся формулою подвійного кута і спростіть.

\(\begin{aligned} \sin 2x−\sin x&=0 \\ 2\sin x\cos x−\sin x&=0 \\ \sin x(2\cos x−1)&=0 \\ \sin x=0 \text{ OR } \cos x&=\dfrac{1}{2} \end{aligned}\)

Під обмеженням\(0\leq x<2\pi \),\(\sin x=0\) коли\(x=0\) або коли\(x=\pi \). Під цим же обмеженням,\(\cos x=\dfrac{1}{2}\) коли\(x=\dfrac{\pi }{3}\) або коли\(x=\dfrac{5 \pi}{3}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішіть наступне рівняння для\(0\leq x<2\pi \).

\(\sin \dfrac{x}{2}=−1\)

Рішення

\(\begin{aligned} \sin \dfrac{x}{2}&=−1 \\ \dfrac{x}{2} &=\dfrac{3\pi }{2}\\ x&=3\pi \end{aligned}\)

З цього ми бачимо, що в нашому інтервалі немає рішень.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішіть наступне рівняння для\(0\leq x<2\pi \).

\(\cos 2x−\cos x=0\)

Рішення

\(\begin{aligned} \cos 2x−\cos x=0 \\ 2\cos 2x−\cos x−1=&0 \\ (2\cos x−1)(\cos x+1)&=0 \end{aligned}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\(\begin{aligned} 2\cos x−1&=0 \\ 2\cos x&=1 & \cos x+1 &=0\\ \cos x&=\dfrac{1}{2} &\text{ and} \qquad \cos x&=−1\\ x&=\dfrac{\pi }{3},\; \dfrac{5\pi }{3} & x&=\pi \end{aligned}\)

Рецензія

Вирішіть наступні рівняння для\(0\leq x<2\pi \).

1. \(\cos x−\cos \dfrac{1}{2} x=0\)
2. \(\sin 2x\cos x=\sin x\)
3. \(\cos 3x−\cos ^3x=3\sin ^2x\cos x\)
4. \(\tan 2x−\tan x=0\)
5. \(\cos 2x−\cos x=0\)
6. \(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\)
7. \(\tan \dfrac{x}{2}=4\)
8. \(\cos \dfrac{x}{2}=1+\cos x\)
9. \(\sin 2x+\sin x=0\)
10. \(\cos ^2x−\cos 2x=0\)
11. \(\dfrac{\cos 2x}{\cos ^2x}=1\)
12. \(\cos 2x−1=\sin ^2x\)
13. \(\cos 2x=\cos x\)
14. \(\sin 2x−\cos 2x=1\)
15. \(\sin ^2x−2=\cos 2x\)
16. \(\cot x+\tan x=2\csc 2x\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.17.