Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4.3: Спрощення тригонометричних виразів з двокутовими ідентичностями

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54913

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Спростити синус, косинус і тангенс кутів помножити або розділити на 2.

    Як агент тригонометрії, вам дається наступна загадкова підказка. Як ви могли спростити цю підказку?

    \(\dfrac{\tan 2x}{\dfrac{\tan x}{1+\tan x}}\)

    Спрощення тригонометричних виразів

    Ми також можемо використовувати формули подвійного кута та напівкута для спрощення тригонометричних виразів.

    Давайте спростимо\(\dfrac{\cos 2x}{\sin x\cos x}\).

    Використовуйте,\(\cos 2a=\cos ^2a−\sin ^2a\) а потім фактор.

    \(\begin{aligned} \dfrac{\cos 2x}{\sin x\cos x}&=\dfrac{\cos ^2x−\sin ^2x}{\sin x+\cos x} \\&=\dfrac{(\cos x−\sin x)\cancel{(\cos x+\sin x)}}{\cancel{\sin x+\cos x }}\\&=\cos x−\sin x \end{aligned}\)

    Тепер, давайте знайдемо формулу для\(\sin 3x\).

    Вам потрібно буде використовувати формулу суми та формулу подвійного кута. \ гріх 3х=\ гріх (2х+х)

    \(\begin{aligned} \sin 3x&=\sin (2x+x) \\&=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x \\&=2\sin x\cos x\cos x+\sin x(2\cos ^2x−1) \\ &=2\sin x\cos ^2x+2\sin x\cos ^2x−\sin x \\&=4\sin x\cos ^2x−\sin x \\&=\sin x(4\cos ^2x−1) \end{aligned}\)

    Нарешті, давайте перевіримо особу\(\cos x+2\sin ^2 \dfrac{x}{2}=1\).

    Спростити ліву сторону скористайтеся формулою напівкута.

    \(\begin{aligned} &\cos x+2\sin ^2\dfrac{x}{2} \\ &\cos x+2\left(\sqrt{\dfrac{1−\cos x}{2}}\right)^2 \\ &\cos x+2\cdot \dfrac{1−\cos x}{2} \\ &\cos x+1−\cos x \\ &1 \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили спростити\(\dfrac{\tan 2x}{\dfrac{\tan x}{1+\tan x}}\).

    Рішення

    Використовуйте,\(\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1−\tan ^2a}\) а потім фактор.

    \(\begin{aligned}\dfrac{\tan 2x}{\dfrac{\tan x}{1+\tan x}}&=\dfrac{2\tan x}{1−\tan ^2x}\cdot \dfrac{1+\tan x}{\tan x} \\&=\dfrac{2\tan x}{(1+\tan x)(1−\tan x)}\cdot \dfrac{1+\tan x}{\tan x}=\dfrac{2}{1−\tan x}\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Спростити\(\dfrac{\sin 2x}{\sin x}\).

    Рішення

    \(\dfrac{\sin 2x}{\sin x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Перевірте\(\cos x+2\cos ^2 \dfrac{x}{2}=1+2\cos x\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \cos x+2\cos ^2\dfrac{x}{2}&=1+2\cos x \\ \cos x+2 \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}&= \\ \cos x+1+\cos x&= \\ 1+2\cos x&= \end{aligned}\)

    Рецензія

    Спростіть наступні вирази.

    1. \(\sqrt{2+2\cos x} \left(\cos \dfrac{x}{2}\right)\)
    2. \(\dfrac{\cos 2x}{\cos ^2x}\)
    3. \(\tan 2x(1+\tan x)\)
    4. \(\cos 2x−3\sin ^2x\)
    5. \(\dfrac{1+\cos 2x}{\cot x}\)
    6. \((1+\cos x)^2 \tan \dfrac{x}{2}\)

    Перевірте наступні посвідчення.

    1. \(\cot \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1−\cos x}\)
    2. \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1−\cos x}{\sin x}\)
    3. \(\dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\tan x\)
    4. \((\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\)
    5. \(\sin x\tan \dfrac{x}{2}+2\cos x=2\cos ^2 \dfrac{x}{2}\)
    6. \(\cot x+\tan x=2\csc 2x\)
    7. \(\cos 3x=4\cos ^3x−3\cos x\)
    8. \(\cos 3x=\cos ^3x−3\sin ^2x\cos x\)
    9. \(\sin 2x−\tan x=\tan x\cos 2x\)
    10. \(\cos ^4x−\sin ^4x=\cos 2x\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.16.