3.4.2: Подвійні кутові ідентичності

Спрощення тригонометричних функцій з подвоєним заданим кутом.

Ці ідентичності значно більш залучені та менш інтуїтивні, ніж попередні особи. Практикуючи та працюючи з цими передовими ідентичностями, ваш набір інструментів та вільне заміщення та доведення самостійно збільшаться. Кожна ідентичність в цьому понятті названа влучно. Подвійні кути працюють над пошуком,\(\sin 80^{\circ} \) якщо ви вже знаєте\(\sin 40^{\circ} \). Половинні кути дозволяють знайти,\(\sin 15^{\circ} \) якщо ви вже знаєте\(\sin 30^{\circ} \). Зменшення потужності ідентичності дозволяють знайти,\(\sin ^2 15^{\circ} \) якщо ви знаєте синус і косинус\(30^{\circ} \).

Що таке\(\sin ^2 15^{\circ} \)?

Точність подвійного кута, половинного кута та зменшення потужності

Подвійний кут ідентичності

Тотожності подвійного кута доводяться шляхом застосування тотожностей суми та різниці. Їх залишають як проблеми огляду. Це подвійні кутові ідентичності.

• \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
• \(\cos 2x=\cos ^2x−\sin ^2x\)
• \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1−\tan ^2x}\)

Половина кута ідентичності

Половинні кутові ідентичності - це переписана версія ідентичностей, що зменшують владу. Докази залишаються як проблеми з оглядом.

• \(\sin \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{2}}\)
• \(\cos \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}\)
• \(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)

Ідентичності зменшення потужності

Тотожності, що зменшують потужність, дозволяють написати тригонометричну функцію, яка знаходиться в квадраті з точки зору менших потужностей. Докази залишені як приклади та проблеми огляду.

• \(\sin ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{2}\)
• \(\cos ^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)
• \(\tan ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{1+\cos 2x}\)

Ідентичності зменшення потужності є найбільш корисними, коли вас попросять переписати вирази, такі як\ sin 4x, як вираз без повноважень більше одиниці. Хоча\(\sin x\cdot \sin x\cdot \sin x\cdot \sin x\) технічно спрощує цей вираз у міру необхідності, ви повинні спробувати отримати умови, щоб сумувати разом, а не помножити разом.

\(\begin{aligned} \sin ^4x=(\sin ^2x)^2 &=\left(\dfrac{1−\cos 2x}{2} \right)^2 \\&=\dfrac{1−2\cos 2x+\cos ^2 2x}{4} \\&= \dfrac{1}{4}\left(1−2\cos 2x+\dfrac{1+\cos 4x}{2}\right)\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили знайти\(\sin ^2 15^{\circ} \). Для того щоб повністю ідентифікувати\(\sin ^2 15^{\circ} \) потрібно використовувати формулу зменшення потужності.

Рішення

\(\begin{aligned} \sin ^2x&=\dfrac{1−\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}−\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\ \sin ^2 15^{\circ} &=\dfrac{1−\cos 30^{\circ}}{2} \\ &=\dfrac{2−\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Напишіть наступний вираз тільки\(\sin x\) і\(\cos x \):\(\sin 2x+\cos 3x\).

Рішення

\(\begin{aligned} \sin 2x+\cos 3x &=2\sin x\cos x+\cos (2x+x) \\&=2\sin x\cos x+\cos 2x\cos x−\sin 2x\sin x \\&=2\sin x\cos x+(\cos ^2x−\sin ^2x)\cos x−(2\sin x\cos x)\sin x \\ &=2\sin x\cos x+\cos ^3x−\sin ^2x\cos x−2\sin ^2x\cos x \\ &=2\sin x\cos x+\cos ^3x−3\sin ^2x\cos x \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте півкути, щоб знайти точне значення\ tan 22.5^ {\ circ} без використання калькулятора.

Рішення

\(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан 22.5^ {\ circ} &=\ тан\ дфрак {45^ {\ цирк}} {2} =\ пм\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 45^ {\ circ}} {1+\ cos 45^ {\ circ}} =\ пм\ sqrt {\ dfrac {1-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} {1+\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} =\ пм\ sqrt {\ dfrac {2} -\ dfrac {\ sqrt {2}} {\ dfrac {2} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2} {2}}} =\ пм\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {2+\ sqrt {2}}}\\
&=\ пм\ sqrt {\ dfrac {(2-\ sqrt {2}) ^ {2}} {2}}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Доведіть ідентичність зменшення потужності для синуса.

\(\sin ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{2}\)

Рішення

Використання ідентичності подвійного кута для косинуса:

\(\begin{aligned} \cos 2x&=\cos ^2x−\sin ^2x \\ \cos 2x&=(1−\sin ^2x)−\sin ^2x \\ \cos 2x &=1−2\sin ^2x \end{aligned}\)

Цей вираз є еквівалентним виразом подвійного кута ідентичності і часто вважається альтернативною формою.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Спростіть таку ідентифікацію:\(\sin ^4x−\cos ^4x\).

Рішення

Ось кроки:

\(\begin{aligned}\sin ^4x−\cos ^4x&=(\sin ^2x−\cos ^2x)(\sin ^2x+\cos ^2x)\\&=−(\cos ^2x−\sin ^2x)\\&=−\cos ^2x \end{aligned}\)

Рецензія

Доведіть наступні ідентичності.

1. \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
2. \(\cos 2x=\cos^2 x−\sin^2 x\)
3. \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1−\tan^2 x}\)
4. \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)
5. \(\tan^2 x=\dfrac{1−\cos 2x}{1+\cos 2x}\)
6. \(\sin \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{2}}\)
7. \(\cos \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}\)
8. \(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)
9. \(\csc 2x=\dfrac{1}{2} \csc x\sec x\)
10. \(\cot 2x=\dfrac{\cot ^2 x−1}{2\cot x}\)

Знайдіть значення кожного виразу, використовуючи тотожності половинного кута.

11. \(\tan 15^{\circ}\)
12. \(\tan 22.5^{\circ}\)
13. \(\sec 22.5^{\circ}\)
14. Покажіть, що\(\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{1−\cos x}{\sin x}\).
15. Використовуючи свої знання з відповіді на питання 14, покажіть, що\(\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.4.

Лексика

Термін	Визначення
Половина кута ідентичності	Точність половинного кута пов'язує тригонометричну функцію однієї половини аргументу до набору тригонометричних функцій, кожна з яких містить вихідний аргумент.
ідентичність	Ідентичність - це математичне речення, що включає символ «=», що завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
влада зниження ідентичності	Ідентичність, що зменшує потужність, пов'язує ступінь тригонометричної функції, що містить заданий аргумент, до набору тригонометричних функцій, кожна з яких містить вихідний аргумент.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Множинні кутові формули - Огляд