3.4.1: Формули подвійного та напівкутового

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54894

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Синус, косинус і тангенс кутів, відмінних від кратних 30, 45 і 60 градусів.

Ви хочете знайти точне значення\(\tan \dfrac{ 3 \pi}{8}\). Як ви могли знайти це значення без u\ sin g калькулятора?

Формули подвійного кута та половини кута

У цій концепції ми навчимося знаходити точні значення функцій трига для кутів, які є половиною або подвійними від інших кутів. Тут ми представимо\(\left(\dfrac{a}{2}\right)\) формули подвійного кута\((2a)\) та напівкута.

Двокутні та напівкутові формули

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos 2 a &=\ cos ^ {2} a-\ sin ^ {2} a &\ sin 2 a & = 2\ sin a\
cos a\\ cos ^ {2} а-1 &\ tan 2 a&=\ dfrac {2\ tan a} {1-\ tan ^ {2} a\\
=1-\ sin {2}} a\\ sin
\ dfrac {a} {2} &=\ пм\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos a} {2}} & амп;\ тан\ dfrac {a} {2} &=\ dfrac {1-\ cos a} {
\ sin a}\\\ cos\ dfrac {a} {2} &=\ пм\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {\ cos a} {1
\ cos a})

Ознаки\(\sin \dfrac{a}{2}\) і\(\cos \dfrac{a}{2}\) залежать від того, в якому квадранті\(\dfrac{a}{2}\) лежить. Для\(\cos 2a\) і\(\tan \dfrac{a}{2}\) будь-яка формула може бути використана для вирішення точного значення.

Давайте знайдемо точне значення\(\cos \dfrac{\pi}{8}\).

\(\dfrac{\pi}{8}\)половина\(\dfrac{\pi}{4}\) і в першому квадранті.

\(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi}{4}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2+\sqrt{2}}{2}} \\&=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\end{aligned}\)

Тепер, давайте знайдемо точне значення\(\sin 2a\) якщо\(\cos a=−\dfrac{4}{5}\) і\(\dfrac{3 \pi}{2}\leq a<2\pi\).

Щоб використовувати синусоїдну формулу подвійного кута, нам також потрібно знайти\(\sin a\), що було б\(\dfrac{3}{5}\) тому, що a знаходиться в\(4^{th}\) квадранті.

\(\begin{aligned} \sin 2a&=2\sin a\cos a \\ &=2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot −\dfrac{4}{5} \\ &=−\dfrac{24}{25}\end{aligned}\)

Нарешті, давайте знайдемо точне значення\(\tan 2a\) for\(a\) з попередньої задачі.

Використовуйте\(\tan a=\sin a\cos a=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{−\dfrac{4}{5}}=−\dfrac{3}{4}\) для вирішення для\(\tan 2a\).

\(\tan 2a=\dfrac{2\cdot −\dfrac{3}{4}}{1−\left(−\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{−\dfrac{3}{2}}{\dfrac{7}{16}}=−\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{16}{7}=−\dfrac{24}{7}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано знайти значення\(\tan \dfrac{ 3 \pi}{8}\) без калькулятора.

Рішення

\(\dfrac{ 3 \pi}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3\pi }{4}\)тому ми можемо використовувати формулу\(\tan \dfrac{a}{2}=\dfrac{\sin a}{1+\cos a }\) для\(a=\dfrac{3\pi }{4}\)

\(\begin{aligned} \tan \dfrac{ 3 \pi}{8}&=\dfrac{\sin \dfrac{3\pi }{4}}{1+\cos \dfrac{3\pi }{4}}\\&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\dfrac{−\sqrt{2}}{2}} \end{aligned}\)

Якщо спростити цей вираз, то отримаємо\(\sqrt{2} +1\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть точне значення\(\cos \left(−\dfrac{5 \pi}{8}\right)\).

Рішення

\(−\dfrac{5 \pi}{8}\)знаходиться в\(3^{rd}\) квадранті.

\(\begin{aligned} −\dfrac{5 \pi}{8}=\dfrac{1}{2}\left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right) &\rightarrow \cos \dfrac{1}{2}\left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right)=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right)}{2}} \\ &=−\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2−\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2−\sqrt{2}}}{2} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Дано функцію\(\cos a=\dfrac{4}{7}\) і\(0\leq a<\dfrac{\pi}{2}\), знайти\(\sin 2a\).

Рішення

Спочатку знайдіть\(\sin a\). \(4^2+y^2=7^2 \rightarrow y=\sqrt{33}\), так\(\sin a=\dfrac{\sqrt{33}}{7}\)

\(\sin 2a=2\cdot \dfrac{\sqrt{33}}{7} \cdot \dfrac{4}{7}=\dfrac{8\sqrt{33}}{49}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Дано функцію\(\cos a=\dfrac{4}{7}\) і\(0\leq a<\dfrac{\pi}{2}\), знайти\(\tan \dfrac{a}{2}\).

Рішення

Ви можете використовувати будь-яку\(\tan \dfrac{a}{2}\) формулу.

\(\tan \dfrac{a}{2}=\dfrac{1−\dfrac{4}{7}}{\dfrac{\sqrt{33}}{7}}=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{7}{\sqrt{33}}=\dfrac{3}{\sqrt{33}}=\dfrac{\sqrt{33}}{11}\)

Рецензія

Знайдіть точне значення наступних кутів.

\(\sin 105^{\circ}\)
\(\tan \dfrac{\pi}{8}\)
\(\cos \dfrac{ 5 \pi}{12}\)
\(\cos 165^{\circ}\)
\(\sin \dfrac{ 3 \pi}{8}\)
\(\tan \left(−\dfrac{ \pi}{12}\right)\)
\(\sin \dfrac{11 \pi}{8}\)
\(\cos \dfrac{19 \pi}{12}\)

\(\cos a=\dfrac{5}{13}\)І\(\dfrac{3 \pi}{2}\leq a<2\pi \). Знайти:

\(\sin 2a\)
\(\cos \dfrac{a}{2}\)
\(\tan \dfrac{a}{2}\)
\(\cos 2a\)

\(\sin a=\dfrac{8}{11}\)І\(\dfrac{\pi }{2} \leq a<\pi \). Знайти:

\(\tan 2a\)
\(\sin \dfrac{a}{2}\)
\(\cos \dfrac{a}{2}\)
\(\sin 2a\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.15.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Практика: подвійні та напівкутові формули