Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3.8: Застосування формул суми та різниці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54868

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Формули синуса, косинуса та тангенса суми та різниці.

    Ви, швидше за все, знайомі зі значеннями функцій трига для різних кутів. Кути такі як\(30^{\circ} \)\(60^{\circ} \), і\(90^{\circ} \) є загальними. Однак, якби вас попросили знайти значення триг-функції для більш рідко використовуваного кута, чи могли б ви це зробити? Або що, якби вас попросили знайти значення триг-функції для суми кутів? Наприклад, якби вас попросили знайти\(\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\) не могли б ви?

    Читайте далі, і в цьому розділі ви отримаєте практику зі спрощенням триг-функцій кутів за допомогою формул суми та різниці.

    Формули суми та різниці

    Досить часто однією з головних перешкод на шляху вирішення проблеми в тригонометрії є неможливість трансформувати задачу в форму, яка полегшує її вирішення. Формули суми та різниці можуть бути дуже цінними, допомагаючи в цьому.

    Тут ми отримаємо додаткову практику, використовуючи формули суми та різниці. Якщо ви ще не пройшли через них, ви можете переглянути розділи формул суми та різниці для синуса, косинуса та тангенса.

    Вирішіть за допомогою формули суми
    Перевірте особу\(\dfrac{\cos (x-y)}{\sin x \sin y}=\cot x \cot y+1\)

    \ (\ begin {вирівняний}\ текст {Перевірити особу} &\ dfrac {\ cos (x-y)} {\ sin x\ sin y} =\ кот х\ кот y+1\
    cot y+1&=\ dfrac {\ cos (x-y)} {\ sin x\ sin y}\\\
    &=\ dfrac {\ cos x\ cos (x-y)} {\ sin y}\\ sin x\ sin y} +\ dfrac {\ sin x\ sin y} {\ sin x\ sin y} &&
    \ text {Розгорнути використовуючи різницю косинусів}\\
    &=\ dfrac {\ cos x\ cos y} {\ sin x\ sin y} +1\\ cot x\ cot y+1&=\ cot x\ cot y+1 &&\ text {котангенс дорівнює косинусу над синусом}\ кінець {вирівняний}\)

    Вирішіть за допомогою формули різниці

    Вирішити\(3\sin (x−\pi )=3\) в проміжку\([0,2\pi )\).

    Спочатку\(\sin (x−\pi )\) дістаньте самостійно, розділивши обидві сторони на 3.

    \(\begin{aligned} \dfrac{3\sin (x−\pi )}{3}&=\dfrac{3}{3} \\ \sin (x−\pi )&=1 \end{aligned}\)

    Тепер розгорніть ліву сторону за допомогою синусоїдальної різниці формули.

    \(\begin{aligned} \sin x\cos \pi −\cos x\sin \pi &=1 \\ \sin x(−1)−\cos x(0)&=1 \\ −\sin x&=1 \\ \sin x&=−1 \end{aligned}\)

    \(\sin x=−1\)Коли\(x\) є\(\dfrac{3 \pi}{2}\).

    Вирішіть за допомогою формули суми

    Знайти всі рішення для\(2\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1\) в інтервалі\([0,2\pi )\).

    Дістаньте сам\(\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) по собі, а потім візьміть квадратний корінь.

    \ (\ почати {вирівняний}
    2\ cos ^ {2}\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ праворуч) &=1\
    \ cos ^ {2}\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ dfrac {1} {2}\ cos\
    лівий (x+\ dfrac {\\ pi} {2}}\ праворуч) &=\ sqrt {\ dfrac {1} {2}} =\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} =\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер використовуйте формулу суми косинусів для розширення та вирішення.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ cos х\ cos\ dfrac {\ pi} {2} -\ sin x\ sin\ sin\ dfrac {\ pi} {2} &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ cos x (0) -\ sin x (1) &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cos x (0)
    -\\ sin х &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ sin x &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    The\(\sin x=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) знаходиться в квадрантах III і IV, так\(x=\dfrac{5 \pi}{4}\text{ and } \dfrac{7 \pi}{4}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили знайти\(\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\), використовуйте формулу синусоїдальної суми:

    Рішення

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin (a+b) &=\ sin (a)\ cos (b) +\ cos (a)\ sin (b)\\ sin\\ sin
    \ ліворуч (\ dfrac {3\ pi} {2}\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч) &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {3\ pi} {2}\ pi} {2}\ правий)\ раз\ cos\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч) +\ cos\ ліворуч (\ dfrac {3\ pi} {2}\ праворуч)\ раз\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч)\\
    &= (-1)\ ліворуч (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ праворуч) + (0)\ ліворуч (\ dfrac {\ sqrt {2}}} {2}\ праворуч)\\
    &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайти всі рішення\(2\cos ^2 \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=1\), коли\(x\) між ними\([0,2\pi )\).

    Рішення

    Щоб знайти всі розв'язки між ними\([0,2\pi )\), нам потрібно розширити за допомогою формули суми і виділити\(\cos x\).

    \ (\ почати {вирівняний}
    2\ cos ^ {2}\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ праворуч) &=1\
    \ cos ^ {2}\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {2}\ dfrac {1} {2}\ cos\ лівий (x+\ dfrac {\\ pi} {2}}\ праворуч) &=\ пм\ sqrt {\ dfrac {1} {2}} =\ пм\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\ cos x
    \ cos\ dfrac {\ pi} {2} -\ sin
    x\ sin\ dfrac {\ pi} {2} &=\ пм\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
    \ cos x\ cdot 0-\ cdot 1 &=\ пм\ dfrac {\\ sqrt {2}} {2}\
    -\ sin x &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
    \ sin х &=\ пм\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Це вірно, коли\(x=\dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{3 \pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4},\; \text{ or } \dfrac{7 \pi}{4}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити для всіх значень\(x\) між\([0,2\pi )\) for\(2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+1=7\).

    Рішення

    По-перше, вирішуйте для\(\tan \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\).

    \(\begin{aligned} 2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+1=7 \\ 2\tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=6 \\ \tan^2 \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=3 \\ \tan \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\pm \sqrt{3} \end{aligned}\)

    Тепер скористайтеся формулою дотичної суми для розширення, коли\ tan (x+\ dfrac {\ pi} {6}) =\ sqrt {3}.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {\ тан x+\ тан\ dfrac {\ пі} {6}} {1-\ тан х\ тан\ dfrac {\ pi} {6}} &=\ sqrt {3}\\ tan x+\ tan\ dfrac {
    \ pi} {6} &=\ sqrt {3}\ ліворуч (1-\ тан х\ dfrac {\ pi} {6} &=\ sqrt {3}\ лівий (1-\ тан х\ тан\ dfrac {\ pi} {6}
    \ право)\\ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=\ sqrt {3} -\ sqrt {3}\ tan x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} }\\ tan x+
    \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=\ sqrt {3} -\ тан х\\ 2\ тан х &=\ dfrac {
    2\ sqrt {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {3} {кінець {вирівняний}\\ tan x &=\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Це вірно, коли\(x=\dfrac{\pi}{6}\) або\(\dfrac{7 \pi}{6}\).

    Якщо формулу дотичної суми розширити для коли\(\tan (x+\dfrac{\pi}{6})=−\sqrt{3}\), ми не отримаємо розв'язку, як показано на малюнку.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {\ тан х+\ тан\ dfrac {\ пі} {6}} {1-\ тан х\ тан\ dfrac {\ pi} {6}} &=-\ sqrt {3}\\ tan x+\ tan\ dfrac {
    \ pi} {6} &=-\ sqrt {3}\ лівий (1\ tan\ tan {\ tan {\ pi} {6} &=-\ sqrt {3}\ лівий (1\ tan х\ тан\ dfrac {\ pi} {6}
    \ право)\\ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3} +\ sqrt {3}\ tan x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3} } {3}\
    \ tan x+\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3} +\ tan x\
    \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &=-\ sqrt {3}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тому формула дотичної суми в даному випадку не може бути використана. Однак, оскільки ми знаємо, що\(\tan (x+\dfrac{\pi}{6})=−\sqrt{3}\) коли\(x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5 \pi}{6}\) або\(\dfrac{11 \pi}{6}\), ми можемо вирішити\(x\) наступним чином.

    \(\begin{aligned} x+\dfrac{\pi}{6}&=5\dfrac{\pi}{6} \\ x&=\dfrac{4 \pi}{6} \\ x&=\dfrac{2 \pi}{3} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} x+\dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{11 \pi}{6}\\x&=10\dfrac{\pi}{6} \\ x&=\dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)

    Тому всі рішення\(x=\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{2 \pi}{3},\; \dfrac{7 \pi}{6},\; \dfrac{5 \pi}{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайти всі рішення\(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right)\), коли х знаходиться між ними\([0,2\pi )\).

    Рішення

    Щоб вирішити, розгорніть кожну сторону:

    \(\begin{aligned} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)&=\sin x\cos \dfrac{\pi}{6}+\cos x\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x \\ \sin \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right) &=\sin x\cos \dfrac{\pi}{4}−\cos x\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\end{aligned}\)

    Встановіть дві сторони рівними один одному:

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+\ dfrac {1} {2}\ cos x &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} {2}\ cos x\\ sqrt {3}\ sin x\\ sqrt {3}
    \ sin x\\ cos =\ sqrt {2}\ sin х-\ sqrt {2}\ кос х\\ sqrt {3}
    \ sqrt {3}\ sqrt {2}\ sqrt {2}\ sqrt {2}\ sqrt {2}\ cos х\\
    \ sin x (\ sqrt {3} -\ sqrt {2}) &=\ cos x (-1-\ sqrt {2})
    \\ dfrac {\ sin x} {\ cos x} &=\ dfrac {1-\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}\
    \ tan x &=\ dfrac {2}\ sqrt {2}} {\ sqrt {3} -\ sqrt {2}}\ cdot\ drac {\ sqrt {3} +\ sqrt {3} +\ sqrt {2}}\\
    &=\ dfrac {-\ sqrt {3} -\ sqrt {2} + \ sqrt {6} -2} {3-2}\\
    &=-2+\ sqrt {6} -\ sqrt {3} -\ sqrt {2}
    \ end {вирівняний}\)

    Як десятковий, це\(−2.69677\), так\(\tan ^{−1}(−2.69677)=x\),\(x=290.35^{\circ} \) і\(110.35^{\circ} \).

    Рецензія

    Доведіть кожну особистість.

    1. \(\cos (3x)+\cos (x)=2\cos (2x)\cos (x)\)
    2. \(\cos (3x)=\cos 3(x)−3\sin 2(x)\cos (x)\)
    3. \(\sin (3x)=3\cos 2(x)\sin (x)−\sin 3(x)\)
    4. \(\sin (4x)+\sin (2x)=2\sin (3x)\cos (x)\)
    5. \(\tan (5x)\tan (3x)=\dfrac{\tan^2 (4x)−\tan^2 (x)}{1−\tan^2 (4x)\tan^2 (x)}\)
    6. \(\cos \left(\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)−y \right)=\sin (x+y)\)

    Використовуйте формули суми та різниці, щоб допомогти вам графік кожної функції.

    1. \(y=\cos (3)\cos (x)+\sin (3)\sin (x)\)
    2. \(y=\cos (x)\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin (x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    3. \(y=\sin (x)\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos (x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    4. \(y=\sin (x)\cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)−\cos (3)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
    5. \(y=\cos (4x)\cos (2x)−\sin (4x)\sin (2x)\)
    6. \(y=\cos (x)\cos (x)−\sin (x)\sin (x)\)

    Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі\([0,2\pi )\).

    1. \(2\sin \left(x−\dfrac{\pi}{2} \right)=1\)
    2. \(4\cos (x−\pi )=4\)
    3. \(2\sin (x−\pi )=\sqrt{2}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    Формула різниці Формули різниці тригонометричних функцій існують для кожної з первинних тригонометричних функцій. Наприклад, формула різниці косинусів є\(\cos (A−B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\).
    Формула суми Формула суми - це формула, яка допомагає спростити тригонометричну функцію суми двох кутів, наприклад\ sin (a+b).