3.3.7: Пошук точних тригонометричних значень за допомогою формул суми та різниці

Перетворіть кути на суму або різницю 30, 45 та 60 градусів для вирішення.

Ви вимірюєте кут з транспортиром, щоб бути\(165^{\circ} \). Як ви могли знайти точний синус цього кута без використання калькулятора?

Формули суми та різниці

Ви знаєте\(\sin 30^{\circ} =\dfrac{1}{2}\), що,\(\cos 135^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2} }{2}\)\(\tan 300^{\circ} =−\sqrt{3}\), і т.д... зі спеціальних правильних трикутників. У цій концепції ми навчимося знаходити точні значення триг-функцій для кутів, відмінних від цих кратних 30^ {\ circ} ,45^ {\ circ}, і 60^ {\ circ}. Використовуючи формули суми та різниці, ми можемо знайти ці точні значення трига.

Формули суми та різниці

\(\begin{aligned} \sin (a\pm b)&=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b \\ \cos (a\pm b)&=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b \\ \tan (a\pm b)&=\dfrac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}\end{aligned}\)

Давайте знайдемо наступні точні значення за допомогою формул суми та різниці.

1. \(\sin 75^{\circ}\)

Це приклад того, де ми можемо використовувати формулу суми синуса зверху\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), де\(a=45^{\circ} \) і\(b=30^{\circ} \).

\(\begin{aligned} \sin 75^{\circ} &=\sin (45^{\circ} +30^{\circ} ) \\&=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ &=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{\sqrt{2} }{2}\cdot \dfrac{1}{2} \\ &=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)

Загалом,\(\sin (a+b)\neq \sin a+\sin b\) і аналогічні твердження можна зробити і для інших сум і різниць формул.

2. \(\cos \dfrac{11 \pi}{12}\)

Для цієї задачі ми могли б використовувати або суму або різниця косинус формули,\(\dfrac{11 \pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\) або\(\dfrac{11 \pi}{12}=\dfrac{7\pi}{6}−\dfrac{\pi}{4}\). Скористаємося формулою суми.

\(\begin{aligned} \cos \dfrac{11 \pi}{12}&=\cos (\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}) \\ &=\cos \dfrac{2\pi}{3}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{2\pi}{3}\sin \dfrac{\pi}{4} \\&=−\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}−\dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} \\&=−\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{6}}{4} \end{aligned}\)

3. \(\tan \left(−\dfrac{\pi }{12}\right)\)

Цей кут і є різницею між\(\dfrac{\pi}{4}\) і\(\dfrac{\pi}{3}\).

\(\begin{aligned} \tan (\dfrac{\pi}{4}−\dfrac{\pi}{3})&=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}−\tan \dfrac{\pi}{3}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4}\tan \dfrac{\pi}{3}} \\ &=\dfrac{1−\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\end{aligned}\)

Цей кут також такий же, як\(\dfrac{23\pi}{12}\). Ви могли б також використовувати це значення і зробив\(\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5 \pi}{3}\right)\) і прийшов до тієї ж відповіді.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано знайти точне значення\(\sin 165^{\circ} \) без використання калькулятора.

Рішення

Ми можемо використовувати формулу синусоїдальної суми\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), де\(a=120^{\circ} \) і\(b=45^{\circ}\).

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin 165^ {\ circ} &=\ гріх\ ліворуч (120^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ праворуч)\\
&=\ sin 120^ {\ circ}\ cos 45^ {\ circ}\\ dfrac} +\ cos 120^ {\ circ}\ sin 45^ {\ circ}\
&=\ dfrac {\ sqc rt {3}} {2}\ ddot\ drac {\ sqrt {2}} {2} +\ drac {-1} {2}\ ddot\ drac {\ sqrt {2}} {2}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть точне значення\(\cos 15^{\circ} \).

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos 15^ {\ circ} &=\ cos\ ліворуч (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ праворуч)\\
&=\ cos 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ}\
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ drac {\ sqrt {3}} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ drac {1} {2}\\
& ; =\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть точне значення\(\tan 255^{\circ} \).

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан\ ліворуч (210^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ праворуч) &=\ dfrac {\ tan 210^ {\ circ} +\ тан 45^ {\ dfrac} {\
dfrac}\ sqrt {3}} {3} +1} {1-\ drac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {\ sqrt {3} +3} {3}} {drac {3}} =\ dfrac {\ sqrt {3} +3} {3-\ sqrt { 3}}
\ кінець {вирівняний}\)

Рецензія

Знайдіть точне значення наступних триг-функцій.

1. \(\sin 15^{\circ}\)
2. \(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\)
3. \(\tan 345^{\circ}\)
4. \(\cos (−255^{\circ} )\)
5. \(\sin \dfrac{13 \pi}{12}\)
6. \(\sin \dfrac{17\pi}{12}\)
7. \(\cos 15^{\circ}\)
8. \(\tan (−15^{\circ} )\)
9. \(\sin 345^{\circ}\)
10. Тепер використовуйте\(\sin 15^{\circ} \) з #1, і знайдіть\(\sin 345^{\circ} \). Ви приїжджаєте до тієї ж відповіді? Чому чи чому ні?
11. Використовуючи\(\cos 15^{\circ} \) from #7, знайдіть\(\cos 165^{\circ} \). Який інший спосіб ви могли знайти\(\cos 165^{\circ} \)?
12. Опишіть будь-які візерунки, які ви бачите між синусом, косинусом і тангенсом цих «нових» кутів.
13. Скориставшись калькулятором, знайдіть\(\sin 142^{\circ} \). Тепер скористайтеся формулою суми та калькулятором, щоб знайти\(\sin 142^{\circ}\) використання\(83^{\circ}\) та\(59^{\circ}\).
14. Використовуйте формулу різниці синусів, щоб знайти\(\sin 142^{\circ} \) з будь-якими двома кутами, які ви виберете. Ви приїжджаєте до тієї ж відповіді? Чому чи чому ні?
15. Виклик Використання\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) і\(\cos (a+b)=\cos a\cos b−\sin a\sin b\), показати, що\(\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b}\).

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.12.

Додаткові ресурси

Відео: Пошук точних значень тригонометричних функцій за допомогою формул суми та різниці - огляд

Практика: Пошук точних тригонометричних значень за допомогою формул суми та різниці