3.3.6: Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул суми та різниці

Вирішити синус, косинус і тангенс кутів, які додаються або віднімаються.

Як агент тригонометрії, вам дається шматок головоломки:\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=−1\). Що таке цінність\(x\)?

Розв'язування тригонометричних функцій

Ми можемо використовувати формули суми та різниці для розв'язання тригонометричних рівнянь. Для цієї концепції ми знайдемо рішення лише в інтервалі\(0\leq x<2\pi\).

Давайте розв'яжемо наступні функції, використовуючи формули суми та різниці.

1. \(\cos (x-\pi) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Скористайтеся формулою, щоб спростити ліву частину, а потім вирішити для x.

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos (х-\ пі) &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\
\ cos x\ cos\ pi+\ sin x\ sin\ пі &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
-\ cos х &=\ dfrac {\ sqrt {2}}
\ cos x &=-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Косинус негативний у 2-му і 3-му квадрантах. \(x=\dfrac{3\pi}{4}\)і\(\dfrac{5 \pi}{4}\).

2. \(\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+1 =\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч) +1 &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {4} -х\ вправо)
\\ sin x\ cos\ dfrac {\ pi} {4} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ dfrac {\ pi} {4} frac {\ pi} {4}\ cos х-\ cos\ dfrac {\ pi} {4}\ sin х
\\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +\ cos x\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +1 &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ cos x-\ dfrac {\ sqrt {2}} {cdot
\ sqrt {2}\ sin x &=-
\ dfrac {1} {\ sqrt 2}} =-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ кінець {вирівняний}\)

У проміжку,\(x=\dfrac{5 \pi}{4}\) і\(\dfrac{7\pi}{4}\).

3. \(2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{\pi}{3}\)

\ (\ почати {вирівняний}
2\ sin\ лівий (x+\ dfrac {\ pi} {3}\ праворуч) &=\ тан\ dfrac {\ pi} {3}\\
2\ ліворуч (\ sin x\ cos\ cos\ dfrac {\ pi} {3} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ pi} {3}\\
2\ sin х\ ddot\ drac {1} {2} +2\ cos х\ ddot\ drac {\ sqrt {3}} {2} &=\ sqrt {3}\
\ sin x+\ sqrt {3}\ cos x &=\ sqrt {3}\
\ sin x &=\ sqrt {3} (1-\ cos x)\
\ sin ^ {2} х &= 3\ ліворуч (1-2\ cos x+\ cos ^ {2} х\ праворуч) &&\ текст {квадрат з обох сторін}\\
1-\ cos ^ {2} x &= 3-6\ cos x+3\ cos ^ {2} х &&\ текст {заміна}\ sin ^ {2} x = 1-\ cos ^ {2 } х\\
0 &= 4\ cos ^ {2} х-6\ cos x+2\\
0 &=2\ cos ^ {2} x-3\ cos x+1
\ кінець {вирівняний}\)

На цьому етапі ми можемо коефіцієнт рівняння бути\((2\cos x−1)(\cos x−1)=0\). \(\cos x=\dfrac{1}{2}\), і 1, так\(x=0,\; \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{5 \pi}{3}\). Будьте обережні з цими відповідями. Коли ми перевіряємо ці рішення, виявляється, що\(\dfrac{5 \pi}{3}\) не працює.

\(\begin{aligned} 2\sin \left (\dfrac{5 \pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\tan \dfrac{\pi}{3} \\ 2\sin 2\pi &=\sqrt{3} \\ 0 &\neq \sqrt{3} \end{aligned}\)

Тому\(\dfrac{5 \pi}{3}\) є стороннім рішенням.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано знайти значення x з рівняння\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=−1\).

Рішення

По-перше, спростити вираз\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\) так:

\(\begin{aligned} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)&=\sin \dfrac{\pi}{2}\cos x−\cos \dfrac{\pi}{2}\sin x \\ &=1\cdot \cos x−0\cdot \sin x \\&=\cos x \end{aligned}\)

Так що ви зараз шукаєте значення\(x\) де\(\cos x=−1\).

Косинус\(180^{\circ} \) дорівнює −1.

Розв'яжіть наступні рівняння в інтервалі\(0\leq x<2\pi\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(\cos (2\pi −x)=\dfrac{1}{2}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos (2\ пі-х) &=\ dfrac {1} {2}\
\ cos 2\\ pi\ cos x+\ sin 2\ пі\ sin x &=\ dfrac {1} {2}\
\ cos x &=\ dfrac {1} {2}\
x &=\ dfrac {\ pi} {3}\ текст {і}\ dfrac {5\ pi} {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(\sin \left(\dfrac{\pi}{6}−x\right)+1=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {6} -х\ вправо) +1 &=\ sin\ ліворуч (x+\ dfrac {\ pi} {6}\
праворуч)\\ sin\ dfrac {\ dfrac {6}\ sin x+1 &=\ sin x\ cos\ dfrac {\ pi} {6} cos\ dfrac {\ pi} {6} +\ cos x\ sin\ dfrac {\ dfrac {6}\
\ dfrac {1} {2}\ cos х-\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+1 & амп; =\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ sin x+\ dfrac {1} {2}\ cos x\\
1 &=\ sqrt {3}\ sin x
\\\ dfrac {1} {\ sqrt {3}} &=\
sin ^ {-1}\ ліворуч (\\ dfrac {1} {sqrt {3}}\ праворуч) =0.6155\ текст {і} 2.5261\ текст {rad}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\tan \dfrac{\pi}{4}\)

Рішення

\(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x \right)&=\tan \dfrac{\pi}{4} \\ \cos \dfrac{\pi}{2}\cos x−\sin \dfrac{\pi}{2}\sin x&=1 \\ −\sin x&=1 \\ \sin x &=−1\\ x&=\dfrac{3 \pi}{2} \end{aligned}\)

Рецензія

Розв'яжіть наступні рівняння трига в інтервалі\(0\leq x<2\pi\).

1. \(\sin \left (x−\pi \right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
2. \(\cos \left(2\pi +x\right)=−1\)
3. \(\tan \left (x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
4. \(\sin \left (\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\dfrac{1}{2}\)
5. \(\sin \left (x+3\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin \left (x−\dfrac{3 \pi}{4}\right)=1\)
6. \(\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right)=−\sin \left (x−\dfrac{\pi}{6}\right)\)
7. \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos \left(x−\dfrac{\pi}{6}\right)+1\)
8. \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x−\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)
9. \(\tan \left (x+\pi \right)+2\sin \left (x+\pi \right)=0\)
10. \(\tan \left (x+\pi \right)+\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
11. \(\tan \left (x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan \left (x−\dfrac{\pi}{4}\right)\)
12. \(\sin \left (x−\dfrac{5 \pi}{3}\right)−\sin \left (x−\dfrac{2 \pi}{3}\right)=0\)
13. \(4\sin \left (x+\pi \right)−2=2\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
14. \(1+2\cos (x−\pi )+\cos x=0\)
15. Застосування Real Life Висота\(h\) (у футах) двох людей на різних сидіннях на колесі огляду може бути змодельована\(h_1=50\cos 3t+46\) і\(h_2=50\cos 3\left(t−\dfrac{3 \pi}{4}\right)+46\) де\(t\) знаходиться час (у хвилинах). Коли двоє людей на одній висоті?

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.14.