3.3.5: Формули дотичної суми та різниці

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54867

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

тангенс суми або різниці, пов'язаної з набором тангенсних функцій.

Припустимо, вам дали два кути і попросили знайти тангенс різниці їх. Наприклад, чи можна обчислити:

\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )\)

Ви б просто відняти кути, а потім взяти тангенс результату? Або для вирішення цієї проблеми потрібно щось складніше? Продовжуйте читати, і до кінця цього уроку ви зможете обчислити функції трига, як наведено вище.

Формули дотичної суми та різниці

У цьому уроці ми хочемо знайти формулу, яка полегшить обчислення тангенса суми аргументів або різниці аргументів. Спочатку може здатися, що слід просто додати (або відняти) аргументи і взяти тангенс результату. Однак це не зовсім так просто.

Щоб знайти формулу суми для тангенса:

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан (a+b) &=\ dfrac {\ sin (a+b)} {\ cos (a+b)} &&\ текст {Використання}\ tan\ theta=\ dfrac {\ sin\ theta} {\ cos\ theta}\\
&=\ dfrac {\ sin a\ cos a cos b-\ sin a\ sin b} &&\ text {Підстановка формул суми на синус і косинус}
\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sin a\ cos b+\ sin b\ cos a} {\ cos a\ cos b} {\ dfrac {\ cos a\ cos b-\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}} &&\ text {Розділіть як чисельник, так і знаменник}\ cos a\ cos b\\
&=\ dfrac {\ dfrac {\ sin a\ cos b} {\ cos a\ cos b} +\ dfrac {\ sin б\ cos a} {\ cos a\ cos b}} {\ dfrac {\ cos a\ cos b} {\ cos a\ cos b} -\ dfrac {\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}
&text {\ dfrac {\ dfrac {\ sin a} {\ cos a} +\ dfrac {\ sin b} {\ cos b}} {1-\ dfrac {\ sin a\ sin b} {\ cos a\ cos b}} &&\ текст {Заміна}\ dfrac {\ sin\ тета} {\ cos\ тета} =\ тан\ тета\
\ тан (a+b) &=\ dfrac {\ tan a+\ tan b} {1-\ tan a\ tan b} &&\ text {формула суми для тангенса}
\ кінець {вирівняний}\)

На закінчення,\(\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b}\). Підставляючи\(−b\)\(b\) в вищезазначеному результаті формулу різниці для тангенса:

\(\tan (a−b)=\dfrac{\tan a−\tan b}{1+\tan a\tan b}\)

Використання формули тангенса різниці

1. Знайдіть точне значення\(\tan 285^{\circ}\).

Використовуйте формулу різниці для тангенса, з\(285^{\circ} =330^{\circ} −45^{\circ}\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан\ ліворуч (330^ {\ цирк} -45^ {\ цирк}\ справа) &=\ dfrac {\ tan 330^ {\ circ} -\ тан 45^ {\ circ} {\ dfrac} {\
dfrac {\ sqrt {3}} {3} -1} {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}\ cdot 1} =\ drac {-3-\ sqrt {3}}\\
&=\ drac {-3-\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\ cdot\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}}\
\ sqrt {-9-6\ sqrt {3} {9-3}\
&=\ dfrac {-12-6\ sqrt {3}} {6}\
&=-2\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Щоб переконатися в цьому на калькуляторі,\(\tan 285^{\circ} =−3.732\) і\(−2−\sqrt{3}=−3.732\).

2. Перевірте формулу відмінності тангенсів\(\tan \dfrac{6\pi}{6}\), знайшовши, так як це повинно дорівнювати\(\tan \pi =0\).

Використовуйте формулу різниці для тангенса, з\(\tan \dfrac{6\pi}{6}=\tan \left(\dfrac{7\pi}{6}−\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан\ лівий (\ dfrac {7\ пі} {6} -\ dfrac {\ pi} {6}\ праворуч) &=\ dfrac {\ тан\ dfrac {7\ пі} {6} -\ тан\ dfrac {\ dfrac {6}} {1+\ tan\ dfrac {7\ пі} {6}\ dfrac {\ pi} {6}}\
&=\ dfrac {\ drac {\ sqrt {2}} {6} -\ dfrac {\ sqrt {2}} {1-\ dfrac {\ sqrt {2}} {6}} {6}} {6}} {2} c {0} {1-\ dfrac {2} {36}}\\
&=\ dfrac {0} {\ dfrac {34} {36}}\\
&=0
\ кінець {вирівняний}\)

3. Знайдіть точне значення\(\tan 165^{\circ}\).

Використовуйте формулу різниці для тангенса, з\(165^{\circ} =225^{\circ} −60^{\circ}\)

\(\begin{aligned} \tan (225^{\circ} −60^{\circ} )&= \dfrac{\tan 225^{\circ} −\tan 60^{\circ}}{1+\tan 225^{\circ} \tan 60^{\circ}} \\&=\dfrac{1−\sqrt{3}}{1−1\cdot \sqrt{3}}=1 \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили знайти\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )\).

Рішення

Ви можете використовувати формулу різниці тангенсів:

\(\tan (a−b)=\dfrac{\tan a−\tan b}{1+\tan a \tan b}\)

щоб допомогти вирішити цю проблему. Підставляючи в відомих кількостях:

\(\tan (120^{\circ} −40^{\circ} )=\dfrac{\tan 120^{\circ} −\tan 40^{\circ}}{1+(\tan 120^{\circ} )(\tan 40^{\circ} )}=\dfrac{−1.732−.839}{1+(−1.732)(.839)}=\dfrac{−2.571}{−.453148}=5.674\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть точне значення для\(\tan 75^{\circ}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан 75^ {\ circ} &=\ тан\ лівий (45^ {\ цирк} +30^ {\ цирк}\ вправо)\\
&=\ dfrac {\ тан 45^ {\ circ} +\ тан 30^ {\ circ}} {1-\ tan 45^ {\ circ}\
&=\ drac {1+\ drac {\ sqrt {3}} {1-1\ cdot\ drac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3}} {\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3}}\\
&=\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {9+6\ sqrt {3} +3} {9-3}} =\ dfrac {12+6\ sqrt {3}} {6}\
&=2+\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростити\(\tan (\pi +\theta )\)

Рішення

\(\tan (\pi +\theta )=\dfrac{\tan \pi +\tan \theta }{1−\tan \pi \tan \theta }=\dfrac{\tan \theta }{1}=\tan \theta\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть точне значення для\(\tan 15^{\circ}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан 15^ {\ circ} &=\ тан\ ліворуч (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ праворуч)\\
&=\ dfrac {\ tan 45^ {\ circ} -\ тан 30^ {\ circ}} {1+\ tan 45^ {\ circ}\
&=\ drac {1-\ drac {\ sqrt {3}} {1+1\ cdot\ drac {\ sqrt {3}} {3}} =\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3}} {\ dfrac {3+\ sqrt {3}} {3}}\\
&=\ dfrac {3-\ sqrt {3}} {3+\ sqrt {3}} {3-\ sqrt {3}}\\
&=\ dfrac {9+6\ sqrt {3} +3} {9-3}} =\ dfrac {12+6\ sqrt {3}} {6}\
&=2+\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Рецензія

Знайдіть точне значення для кожного тангенса виразу.

\(\tan \dfrac{5 \pi}{12}\)
\(\tan \dfrac{11 \pi}{12}\)
\(\tan −165^{\circ}\)
\(\tan 255^{\circ}\)
\(\tan −15^{\circ}\)

Запишіть кожен вираз як тангенс кута.

\(\dfrac{\tan 15^{\circ} +\tan 42^{\circ}}{1−\tan 15^{\circ} \tan 42^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 65^{\circ} −\tan 12^{\circ} }{1+\tan 65^{\circ} \tan 12^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 10^{\circ} +\tan 50^{\circ}}{1−\tan 10^{\circ} \tan 50^{\circ}}\)
\(\dfrac{\tan 2y+\tan 4}{1−\tan 2 \tan 4y}\)
\(\dfrac{\tan x−\tan 3x}{1+\tan x\tan 3x}\)
\(\dfrac{\tan 2x−\tan y}{1+\tan 2x\tan y}\)
Доведіть, що\(\tan \left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)=\dfrac{1+\tan (x)}{1−\tan (x)}\)
Доведіть, що\(\tan \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)=−\cot (x)\)
Доведіть, що\(\tan \left(\dfrac{\pi }{2}−x\right)=\cot (x)\)
Доведіть, що\(\tan (x+y)\tan (x−y)=\dfrac{\tan^2(x)−\tan^2(y)}{1−\tan^2(x)\tan^2(y)}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.8.

Лексика

Термін	Визначення
Тангенс Різниця Формула	Формула тангенса різниці пов'язує тангенс різниці двох аргументів до набору тангенсних функцій, кожна з яких містить один аргумент.
Формула дотичної суми	Формула дотичної суми пов'язує тангенс суми двох аргументів до набору тангенсних функцій, кожна з яких містить один аргумент.

Додаткові ресурси

Відео: Тотожності суми та різниці для тангенса