3.3.4: Формули суми косинусів та різниці
- Page ID
- 54884
косинус суми або різниці, пов'язаної з набором функцій косинуса і синуса.
Граючи в настільну гру з друзями, ви використовуєте вертушку, як цей:
Коли ви торкаєтеся вертушки рукою, він обертається\(110^{\circ}\). Однак у цей момент хтось натискає ігрову дошку, і спиннер трохи рухається назад\(80^{\circ}\). Один з ваших друзів, який є оцінкою вище вас в математиці, починає говорити з вами про функції трига.
«Як ви думаєте, ви можете обчислити косинус різниці між цими кутами?» він запитує.
«Хм», - відповідаєте ви. «Звичайно. Я думаю, що це просто»\(\cos (110^{\circ} −80^{\circ} )=\cos 30^{\circ}\).
Твій друг посміхається. «Ти впевнений?» він запитує.
Ви розумієте, що зовсім не впевнені. Чи можете ви вирішити цю проблему? Прочитайте цей урок, і до кінця ви зможете обчислити косинус різниці кутів.
Формули для суми та різниці косинусів
Замислюючись про те, як обчислити значення для триг-функцій, природно розглянути, що таке значення для триг-функції різниці двох кутів.
Наприклад, є\(\cos 15^{\circ} =\cos (45^{\circ} −30^{\circ} )\)? За зовнішнім виглядом, так, так і є. У цьому розділі досліджується, як знайти вираз, який би дорівнював\(\cos (45^{\circ} −30^{\circ} )\). Щоб спростити це, нехай два заданих кута будуть\(a\) і\(b\) де\(0<b<a<2\pi\).
Почніть з одиничного кола і помістіть кути a і b в стандартному положенні, як показано на малюнку А. точка Pt1 лежить на кінцевій стороні\(b\), тому її координати є\((\cos b, \; \sin b)\) і точка Pt2 лежить на кінцевій стороні a так що його координати\((\cos a,\sin a)\). Помістіть\(a−b\) у стандартне положення, як показано на малюнку B. Точка\((1,0)\) А має координати, а Pt3 знаходиться на кінцевій стороні кута\(a−b\), тому її координати є\((\cos [a−b],\sin [a−b])\).
Трикутники на\(OP_{1} P_{2}\) малюнку А та Трикутник\(OAP_{3}\) на малюнку\(B\) є конгруентними. (Дві сторони і включений кут\(a−b\), рівні). Тому невідома сторона кожного трикутника також повинна бути рівною. Тобто:\(d (A, P_3)=d (P_1,\; P_2)\)
Застосування формули відстані до трикутників на малюнках A і B і встановлення їх рівних один одному:
\(\sqrt{[\cos (a−b)−1]^2+[\sin (a−b)−0]^2}=\sqrt{(\cos a−\cos b)^2+(\sin a−\sin b)^2}\)
Квадратуйте обидві сторони, щоб усунути квадратний корінь.
\([\cos (a−b)−1]^2+[\sin (a−b)−0]^2=(\cos a−\cos b)^2+(\sin a−\sin b)^2\)
Фольга всі чотири квадратних вирази і спростити.
\ (\ почати {вирівняний}
\ cos ^ {2} (а-б) -2\ cos (а-б) +1+\ sin ^ {2} (а-б) &=\ cos ^ {2} а-2\ cos a\ cos b+\ cos ^ {2} b+\
sin ^ {2} a-2\\ піддужка {\ sin ^ {2} (а-б)} -2\ cos (а-б) +1 &=\ підкладка {\ sin ^ {2} a+\ cos ^ {2} a} -2\ cos a\ cos b+\ underbrace {\ sin ^ {2} b+\ cos ^2 b} -2\ sin a\ sin b\ end {вирівняний}\)
\ (\ почати {вирівняний} 2\ cos (а-б) + 1&=1-2\ cos a\ cos a\ cos b+1-2\ sin a\ sin b\\
2-2\ cos (a-b) &=2-2\ cos a\ cos a\ cos b\\ sin b\
\ cos (a-b) &= -2\ cos a\ cos b-2\ sin a\ sin b\
\ cos (a-b) &b =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b
\ end {вирівняний}\)
У\(\cos (a−b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\), різницевої формули для косинуса, можна\(a−(−b)=a+b\) підставити для отримання:\(\cos (a+b)=\cos [a−(−b)]\) або\(\cos a\cos (−b)+\sin a\sin (−b)\). так\(\cos (−b)=\cos b\) і\(\sin (−b)=−\sin b\), то\(\cos (a+b)=\cos a\cos b−\sin a\sin b\), яка є формулою суми для косинуса.
за допомогою формули різниці косинусів
1. Знайти еквівалентну форму\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\) за допомогою формули різниці косинусів.
\(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) &=\cos \dfrac{\pi}{2}\cos \theta +\sin \dfrac{\pi}{2} \sin \theta \\ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)&=0 \times \cos \theta +1\times \sin \theta , \text{ substitute } \cos \dfrac{\pi}{2}=0 \text{ and } \sin \dfrac{\pi}{2}=1\\ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) &=\sin \theta \end{aligned}\)
Ми знаємо, що це справжня ідентичність завдяки нашому розумінню синусоїдних та косинусних кривих, які є фазовим\(\dfrac{\pi}{2}\) зсувом один від одного.
Формули косинусів також можуть бути використані для пошуку точних значень косинусів, які ми не змогли знайти раніше\(15^{\circ} =(45^{\circ} −30^{\circ})\), наприклад\(75^{\circ} =(45^{\circ} +30^{\circ} )\), серед інших.
2. Знайти точне значення\(\cos 15^{\circ}\)
Використовуйте формулу різниці де\(a=45^{\circ}\) і\(b=30^{\circ}\).
\(\begin{aligned} \cos (45^{\circ} −30^{\circ} ) &=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ \cos 15^{\circ}&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2} \\ \cos 15^{\circ}&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)
3. Знайти точне значення\(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\), в радіанах.
\(\cos \dfrac{5 \pi}{12}=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)\), зверніть увагу, що\(\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3 \pi}{12}\) і\(\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2 \pi}{12}\)
\(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) &=\cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{\pi}{6}−\sin \dfrac{\pi}{4}\sin \dfrac{\pi}{6} \\ \cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{\pi}{6}−\sin \dfrac{\pi}{4}\sin \dfrac{\pi}{6}&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{6}−\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)
Раніше вас запитали, чи можна обчислити косинус різниці між двома кутами.
Рішення
Здавалося б, ваш друг веселився з вами, оскільки він вирішив, що ви не знаєте формулу різниці косинусів. Але тепер, маючи цю формулу в руках, ви можете легко вирішити різницю двох кутів:
\(\begin{aligned} \cos (110^{\circ} −80^{\circ} ) &=(\cos 110^{\circ} )(\cos 80^{\circ} )+(\sin 110^{\circ} )(\sin 80^{\circ} ) \\&=(−.342)(.174)+(.9397)(.9848) \\&=−.0595+.9254=.8659\end{aligned}\)
Тому,
\(\cos \left(110^{\circ} −80^{\circ} \right)=.8659\)
Знайдіть точне значення для\(\cos \dfrac{5 \pi}{12}\)
Рішення
\(\begin{aligned} \cos \dfrac{5 \pi}{12}&=\cos \left(\dfrac{2 \pi}{12}+\dfrac{3 \pi}{12}\right) \\&=\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \dfrac{\pi}{6}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{\pi}{6}\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}−12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}−\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}−\dfrac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)
Знайдіть точне значення для\(\cos \dfrac{7 \pi}{12}\)
Рішення
\(\begin{aligned}\cos \dfrac{7 \pi}{12}&=\cos \left(\dfrac{4 \pi}{12}+\dfrac{3 \pi}{12}\right) \\ &=\cos \left(\dfrac{ \pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right) \\ &=\cos \dfrac{ \pi}{3}\cos \dfrac{\pi}{4}−\sin \dfrac{ \pi}{3}\sin \dfrac{\pi}{4} \\&=12\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{2}}{4}−\dfrac{\sqrt{6}}{4} \\&=\dfrac{\sqrt{2}−\sqrt{6}}{4} \end{aligned}\)
Знайдіть точне значення для\(\cos 345^{\circ}\)
Рішення
\(\begin{aligned} \cos 345^{\circ} &=\cos (315^{\circ} +30^{\circ} ) \\&=\cos 315^{\circ} \cos 30^{\circ} −\sin 315^{\circ} \sin 30^{\circ} \\&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}−\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \dfrac{1}{2} \\&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)
Рецензія
Знайдіть точне значення для кожного виразу косинуса.
- \(\cos 75^{\circ}\)
- \(\cos 105^{\circ}\)
- \(\cos 165^{\circ}\)
- \(\cos 255^{\circ}\)
- \(\cos −15^{\circ}\)
Запишіть кожен вираз як косинус кута.
- \(\cos 96^{\circ} \cos 20^{\circ} +\sin 96^{\circ} \sin 20^{\circ}\)
- \(\cos 4x\cos 3x−\sin 4x\sin 3x\)
- \(\cos 37^{\circ} \cos 12^{\circ} +\sin 37^{\circ} \sin 12^{\circ}\)
- \(\cos 59^{\circ} \cos 10^{\circ} −\sin 59^{\circ} \sin 10^{\circ}\)
- \(\cos 5y\cos 2y+\sin 5y\sin 2y\)
- Доведіть, що\(\cos \left(x−\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos (x)+\sin (x))\)
- Якщо\(\cos (x)\cos (y)=\sin (x)\sin (y)\), то що\(\cos (x+y)\) дорівнює?
- Доведіть, що\(\cos \left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin (x)\)
- Використовуйте той факт, що\(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\sin (x)\) (показано на прикладах), щоб показати, що\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)=\cos (x)\).
- Доведіть, що\(\cos (x−y)+\cos (x+y)=2\cos (x)\cos (y)\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.6.