3.3.3: Формули синусоїдальної суми та різниці

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54858

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

синус суми або різниці, пов'язаної з набором функцій косинуса і синуса.

Ви отримали досить добре знаючи значення функцій trig. Настільки, що ви та ваші друзі граєте в гру перед класом щодня, щоб побачити, хто може отримати найбільше функцій трига різних кутів правильно. Тим не менш, ваш друг Джейн продовжує отримувати триг-функції більш кутів прямо. Ви вражені її пам'яттю, поки вона не посміхнеться одного дня і не скаже вам, що вона обманювала вас весь цей час.

«Що ти маєш на увазі?» ви скажете.

«У мене є трюк, який дозволяє мені обчислити більше функцій у моєму розумі, розбиваючи їх на суми кутів», - відповідає вона.

Ви дійсно здивовані цим. І весь цей час ви думали, що у неї просто дивовижна пам'ять!

«Ось, дозвольте мені показати вам», - каже вона. Вона дістає папірець і записує:

\(\sin \dfrac{7\pi}{12}\)

«Це виглядає як незвичайне значення, яке слід запам'ятати для триг-функції. Тож у мене є спеціальне правило, яке допомагає мені оцінити його, розбиваючи його на суму різних чисел».

Формули суми синусів та різниці

Наша мета тут полягає в тому, щоб з'ясувати формулу, яка дозволяє розбити синус суми двох кутів (або різниці двох кутів) на більш просту формулу, яка дозволяє використовувати синус тільки одного аргументу в кожному семестрі.

Щоб знайти

\(\sin (a+b)\):

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin (a+b) &=\ cos\ ліворуч [\ dfrac {\ pi} {2} - (a+b)\ справа]\ qquad &&\ text {Set}\ theta=a+b\\
&=\ cos\ left [\ dfrac {\ pi} {2} -a\ праворуч] -b\ праворуч]
&& негативний}\\
&
=\ cos\ лівий ( \ dfrac {\ pi} {2} -a\ праворуч)\ cos b+\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {2} -а\ праворуч)\ sin b &\ text {формула різниці для косинусів}\\
&=\ sin a\ cos a\ sin b &&\ text {Спільна функція ідентичності}
\ кінець {вирівняний}\)

На закінчення\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), яка є формулою суми для синуса.

Для отримання посвідчення особи для\(\sin (a−b)\):

\(\begin{aligned} \sin (a−b)&=\sin [a+(−b)] \qquad & \\ &=\sin a\cos (−b)+\cos a\sin (−b) && \text{Use the sine sum formula} \\ \sin (a−b)&=\sin a\cos b−\cos a\sin b && \text{Use} \cos (−b)=\cos b \text{ , and } \sin (−b)=−\sin b \end{aligned}\)

На закінчення\(\sin (a−b)=\sin a \cos b−\cos a\sin b\), Отже, це відмінна формула для синуса.

Використання формули синусоїдальної суми та різниці

1. Знайти точне значення\(\sin \dfrac{5\pi}{12}\)

Нагадаємо, що існує кілька кутів, які додають або віднімають рівним будь-якому куту. Виберіть ту формулу, з якою ви відчуваєте себе комфортніше.

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin\ dfrac {5\ пі} {12} &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {3\ pi} {12} +\ dfrac {2\ pi} {12}\ праворуч)\\\
&=\ sin\ dfrac {3\ pi} {12}\ cos\ dfrac {2\ pi} {12} c {3\ pi} {12}\ sin\ dfrac {2\ пі} {12}\
\ sin\ dfrac {5\ пі} {12} &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ раз \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ раз\ dfrac {1} {2}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

2. Дано\(\sin \alpha =\dfrac{12}{13}\), де\(\alpha \) знаходиться в квадранті II\(\sin \beta =\dfrac{3}{5}\), а, де\(\beta \) знаходиться в I квадранті, знайти точне значення\(\sin (\alpha +\beta )\).

Щоб знайти точне значення\(\sin (\alpha +\beta )\), тут скористаємося\(\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta\). Значення\(\sin \alpha\) і\(\sin \beta\) відомі, проте значення\(\cos \alpha\) і\(\cos \beta\) потрібно знайти.

Використовуйте\(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\), щоб знайти значення кожного з відсутніх значень косинуса.

Для\(\cos a\):\(\sin^2\alpha +\cos^2 \alpha =1\), підставляючи\(\sin \alpha =\dfrac{12}{13}\) перетворення на\(\left(\dfrac{12}{13}\right)^2+\cos^2\alpha =\dfrac{144}{169}+\cos^2\alpha =1\) або\(\cos^2 \alpha =\dfrac{25}{169}\), однак\(\cos \alpha =\pm \dfrac{5}{13}\), оскільки\(\alpha \) знаходиться в квадранті II, косинус негативний,\(\cos \alpha =−\dfrac{5}{13}\).

Для\(\cos \beta\) використання\(\sin ^2\beta +\cos ^2\beta =1\) та заміни\(\sin \beta =\dfrac{3}{5}\),\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\cos^2 \beta =\dfrac{9}{25}+\cos^2\beta =1\) або\(\cos^2\beta =\dfrac{16}{25}\) і\(\cos \beta =\pm \dfrac{4}{5}\) і так як\(\beta \) знаходиться в квадранті I,\(\cos \beta =\dfrac{4}{5}\)

Тепер можна знайти формулу суми для синуса двох кутів:

\ (\ почати {масив} {l}
\ sin (\ альфа+\ бета) =\ dfrac {12} {13}\ раз\ dfrac {4} {5} +\ ліворуч (-\ dfrac {5} {5} {5} {5}\ dfrac {15}} {65}\\ sin (\ альфа+
\ бета) =\ dfrac {33} {65}
\ end {масив}\)

3. Знайти точне значення\(\sin 15^{\circ}\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin 15^ {\ circ} &=\ sin\ ліворуч (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ праворуч)\\
&=\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ}\ sin 15^ {
\ circ} =( .707)\ раз (.866) + (.707)\ раз (.707)\\
& = (.612262)\ раз (.3535)\\
&=.2164
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам давали задачу про використання формули синусоїдальної суми.

Рішення

За допомогою формули синусоїдальної суми ви можете розбити синус на більш прості для обчислення величини:

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin\ dfrac {7\ pi} {12} &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {4\ pi} {12} +\ dfrac {3\ pi} {12}\ праворуч)\\\
sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {3} +\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч)\
&&&=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {3}\ праворуч)\ cos\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч) +\ cos\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {3}\ праворуч)\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ pi} {4}\ праворуч)\\
&=\ ліворуч (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {1}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {1} {2}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {\ sqr rt {2}} {2}\ право)\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6}} {4} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {4}\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ end {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть точне значення для\(\sin 345^{\circ}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin 345^ {\ circ} &=\ sin\ ліворуч (300^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ праворуч) =\ sin 300^ {\ circ}\ cos 45^ {\ circ}\ sin 45^ {\ circ}\
&=\ dfrac {\ sqrt 3}} {2}\ cdot\ drac {\ sqrt {2}} {2} +\ drac {1} {2}\ cdot\ drac {\ sqrt {2}} {2} =-\ drac {\ sqrt {6}} {4} +\ drac {\ sqrt {2 }} {4} =\ dfrac {\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть точне значення для\(\sin \dfrac{17\pi}{12}\)

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin\ dfrac {17\ pi} {12} &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {9\ pi} {12} +\ dfrac {8\ pi} {12}\ праворуч) =\ dfrac {3\ pi} {4} +\ dfrac {2\ pi} {3}\ праворуч) =\ sin dfrac {3\ pi} {4}\ cos\ dfrac {2\ пі} {3} +\ cos\ dfrac {3\ pi} {4}\ sin\ dfrac {2\ pi} {3}\
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} cdot\ ліворуч (-\ dfrac {1} {2}\ право) +-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ drac {\ sqrt {3}} {2} =-\ drac {2}} {4} -\ dfrac {\ sqrt {6}} {4} =\ dfrac {-\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Якщо\(\sin y=−\dfrac{5}{13}\), y знаходиться в кваді III, і\(\sin z=\dfrac{4}{5}\),\(z\) знаходиться в квадраті II знайти\(\sin (y+z)\)

Рішення

Якщо\(\sin y=−\dfrac{5}{13}\) і в квадранті III, то косинус теж негативний. За теоремою Піфагора друга нога - це\(12(5^2+b^2=13^2)\), так\(\cos y=−\dfrac{12}{13}\). Якщо\(\sin z=\dfrac{4}{5}\) і в квадранті II, то косинус теж негативний. За теоремою Піфагора друга нога - це\(3(4^2+b^2=5^2)\), так\(\cos =−\dfrac{3}{5}\). Щоб знайти\(\sin (y+z)\), підключіть цю інформацію до формули синусоїдальної суми.

\(\begin{aligned} \sin (y+z)&=\sin y\cos z+\cos y\sin z \\&=−\dfrac{5}{13} \cdot −\dfrac{3}{5}+−\dfrac{12}{13} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &=\dfrac{15}{65}−\dfrac{48}{65} \\ &=−\dfrac{33}{65}\end{aligned}\)

Рецензія

Знайдіть точне значення для кожного синусоїдального виразу.

\(\sin 75^{\circ}\)
\(\sin 105^{\circ}\)
\(\sin 165^{\circ}\)
\(\sin^255^{\circ}\)
\(\sin −15^{\circ}\)

Запишіть кожен вираз як синус кута.

\(\sin 46^{\circ} \cos^20^{\circ} +\cos 46^{\circ} \sin^20^{\circ}\)
\(\sin 3x\cos^2x−\cos 3x\sin^2x\)
\(\sin 54^{\circ} \cos 12^{\circ} +\cos 54^{\circ} \sin 12^{\circ}\)
\(\sin^29^{\circ} \cos 10^{\circ} −\cos^29^{\circ} \sin 10^{\circ}\)
\(\sin 4y \cos 3y+\cos 4y\sin^2y\)
Доведіть, що\(\sin \left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)=−\cos (x)\)
Припустимо\(x\)\(y\), що, і\(z\) є три кути трикутника. Доведіть, що\(\sin (x+y)=\sin (z)\)
Доведіть, що\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\cos (x)\)
Доведіть, що\(\sin (x+\pi )=−\sin (x)\)
Доведіть, що\(\sin (x−y)+\sin (x+y)=2\sin (x)\cos (y)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.7.

Лексика

Термін	Визначення
Формула різниці синусів	Формула різниці синусів пов'язує синус різниці двох аргументів з набором функцій синуса і косинусів, кожна з яких містить один аргумент.
Формула суми синуса	Формула суми синусів пов'язує синус суми двох аргументів до набору функцій синуса та косинусів, кожна з яких містить один аргумент.

Додаткові ресурси

Відео: Тотожності суми та різниці для синуса