Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3.2: Спрощення тригонометричних виразів за допомогою формул суми та різниці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54876

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Спростити синус, косинус і тангенс кутів, які додаються або віднімаються.

    Як агент тригонометрії вам дається така підказка:\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\). Як ви могли спростити цей вираз, щоб полегшити вирішення вашої справи?

    Спрощення тригонометричних виразів

    Ми також можемо використовувати формули суми та різниці для спрощення тригонометричних виразів.

    \(\sin a=−\dfrac{3}{5}\)А\(\cos b=\dfrac{12}{13}\). a знаходиться в\(3^{rd}\) квадранті, а b - в\(1^{st}\). Давайте знайдемо\(\sin(a+b)\).

    Для початку нам потрібно знайти\(\cos a\) і\(\sin b\). Використовуючи теорему Піфагора, відсутні довжини складають 4 і 5 відповідно. Так,\(\cos a=−\dfrac{4}{5}\) тому що він знаходиться в 3-му квадранті і\(\sin b=\dfrac{5}{13}\). Тепер скористайтеся відповідними формулами.

    \(\begin{aligned}\sin(a+b)& =\sin a \cos b+\cos a \sin b \\&=−\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{12}{13}+−\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13}=−\dfrac{56}{65} \end{aligned}\)

    Тепер, скориставшись інформацією з попередньої проблеми вище, давайте знайдемо\(\tan(a+b)\).

    З косинуса і синуса\(a\) і\(b\), ми знаємо, що\(\tan a=\dfrac{3}{4}\) і\(\tan b=\dfrac{5}{12}\).

    \(\begin{aligned} \tan(a+b)&=\dfrac{\tan a+\tan b}{1−\tan a\tan b} \\&=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}}{1−\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{12}} \\&=\dfrac{\dfrac{14}{12}}{\dfrac{11}{16}}\\&=\dfrac{56}{33}\end{aligned}\)

    Нарешті, давайте спростимо\(\cos(\pi −x)\).

    Розгорніть це за допомогою формули різниці, а потім спростіть.

    \(\begin{aligned} \cos(\pi −x)&=\cos\pi \cos x+\sin \pi \sin x\\ &=−1\cdot \cos x+0\cdot \sin x \\ &=−\cos x \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили спростити\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)\).

    Рішення

    Ви можете розширити вираз за допомогою формули різниці, а потім спростити.

    \(\begin{aligned} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}−x \right)&=\sin\dfrac{\pi}{2} \cos x−\cos\dfrac{\pi}{2} \sin x \\ &=1 \cdot cosx−0\cdot \sin x \\&=\cos x \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Використовуючи інформацію з першої проблеми вище (де ми знайшли\(\sin(a+b)\)), знайдемо\(\cos(a−b)\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \cos(a−b)&=\cos a \cos b+\sin a \sin b=−\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13}+−\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} \\ &=−\dfrac{63}{65} \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Спростити\(\tan(x+\pi)\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \tan(x+\pi )&=\dfrac{\tan x+\tan\pi}{−\tan x \tan\pi} \\ &=\dfrac{\tan x+0}{1−\tan 0} \\&=\tan x\end{aligned}\)

    Рецензія

    \(\sin a=−\dfrac{8}{17}\),\(\pi \leq a<\dfrac{3 \pi}{2}\) і\(\sin b=−\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{3 \pi}{2}\leq b<2\pi \). Знайдіть точні значення трига:

    1. \(\sin(a+b)\)
    2. \(\cos(a+b)\)
    3. \(\sin(a−b)\)
    4. \(\tan(a+b)\)
    5. \(\cos(a−b)\)
    6. \(\tan(a−b)\)

    Спростіть наступні вирази.

    1. \(\sin(2\pi −x)\)
    2. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
    3. \(\cos(x+\pi )\)
    4. \(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}−x\right)\)
    5. \(\tan(x+2\pi)\)
    6. \(\tan(x−\pi )\)
    7. \(\sin\left(\pi 6−x\right)\)
    8. \(\tan\left(\dfrac{\pi }{4}+x\right)\)
    9. \(\cos\left(x−\dfrac{\pi }{3}\right)\)

    Визначте, чи є наступні твердження trig істинними чи хибними.

    1. \(\sin(\pi −x)=\sin(x−\pi )\)
    2. \(\cos(\pi −x)=\cos(x−\pi )\)
    3. \(\tan(\pi −x)=\tan(x−\pi )\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.13.