3.3.1: Формули суми та різниці
- Page ID
- 54885
Синус, косинус або тангенс двох кутів, які додаються або віднімаються.
З вашим знанням спеціальних кутів, таких як синус\(30^{\circ}\) і косинус і\(45^{\circ}\), ви можете знайти синус і косинус\(30^{\circ}\), різниця і\(75^{\circ}\), і, сума\(45^{\circ}\) і\(30^{\circ}\).\(15^{\circ}\)\(45^{\circ}\) Використовуючи те, що ви знаєте про одиничне коло та ідентичності суми та різниці, як ви визначаєте\(\sin 15^{\circ}\) і\(\sin 75^{\circ}\)?
Сума та різниця тотожності
Спочатку подивіться на виведення ідентичності різниці косинусів:
\(\cos(\alpha −\beta )=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\)
Почніть з малювання двох довільних кутів\(\alpha\) і\(\beta \). На зображенні вище\(\alpha\) - кут червоного кольору і\(\beta\) кут синього кольору. Різниця\(\alpha −\beta\) відзначається в чорному як\(\theta \). Причина, чому є дві картинки, полягає в тому, що зображення праворуч має однаковий кут\(\theta\) у повернутому положенні. З цим буде корисно працювати, оскільки довжина\(\overline{AB}\) буде такою ж, як і довжина\(\overline{CD}\).
\ (\ почати {вирівняний}
\ оверлайн {A B} &=\ оверлайн {C D}\
\ sqrt {(\ cos\ альфа-\ cos\ бета) ^ {2} + (\ sin\ альфа-\ sin\ бета) ^ {2}} &=\ sqrt {(\ cos\ theta-1) ^ {2} + (\ sin\ theta-0) ^ {2}\
(\ cos\ альфа-\ cos\ бета) ^ {2} + (\ sin\ альфа-\ sin\ бета) ^ {2} & = (\ cos\ тета-1) ^ {2} + (\ sin\ тета-0) ^ {2}\
(\ cos\ альфа) ^ {2} -2\ cos\ альфа\ cos\ beta+ (\ cos\ beta) ^ {2} + (\ sin\ theta) ^ {2} -2\ sin\ sin\ beta+ (\ sin\ beta) ^ {2} & = (\ cos\ тета-1) ^ {2} ^2
\ кінець {вирівняний}\)
\ (\ почати {вирівняний}
2-2\ cos\ альфа\ cos\ бета-2\ sin\ альфа\ син\ бета &= (\ cos\ theta) ^ {2} -2\ cos\ theta+1+ (\ sin\ theta) ^ {2}\\
2-2\ cos\ beta-2\ sin\ альфа\ sin\ sin\ бета &= 1-2\ cos\ theta+1\
-2\ cos\ cos\ cos\ бета-2\ син\ альфа\ син\ бета & = -2 \ cos\ тета\\ cos
\ альфа\ cos\ beta+\ sin\ альфа\ sin\ sin\ бета &=\ cos\ тета\\
&=\ cos (\ альфа-\ бета)
\ кінець {вирівняний}\)
Ви можете використовувати цю особистість, щоб підтвердити косинус ідентичності суми. Спочатку почніть з косинуса різниці і зробіть підміну. Тоді використовуйте непарну ідентичність.
\(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta =\cos(\alpha −\beta )\)
Нехай\(\gamma =−\beta\)
\(\begin{aligned} \cos \alpha \cos(−\gamma )+\sin \alpha \sin(−\gamma )=\cos(\alpha +\gamma ) \\ \cos\alpha \cos\gamma −\sin\alpha \sin\gamma =\cos(\alpha +\gamma ) \end{aligned}\)
Докази для синуса та дотичної залишені до відео та прикладів. Вони перераховані тут для довідки. Котангенс, секанс і косеканс виключені, оскільки ви можете використовувати взаємні ідентичності, щоб отримати їх, коли у вас синус, косинус і тангенс.
Резюме
- \(\cos(\alpha \pm \beta )=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta\)
- \(\sin(\alpha \pm \beta )=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta\)
- \(\tan(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha \pm \beta ) \cos(\alpha \pm \beta )=\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}\)
Порядок знаків плюс або мінус важливий, оскільки для косинуса суми негативний знак використовується на іншій стороні ідентичності. Це протилежність синусу суми, де позитивний знак використовується на іншій стороні ідентичності.
Раніше вас просили оцінити\(\sin 15^{\circ}\) і\(\sin 75^{\circ}\) точно без калькулятора. Для цього потрібно використовувати синус різниці і синус суми.
Рішення
\(\begin{aligned} \sin(45^{\circ} −30^{\circ} ) &=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} −\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} −\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6} −\sqrt{2}}{4} \\ \sin(45^{\circ} +30^{\circ} )&=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +cos45^{\circ} sin30^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4} \end{aligned}\)
Знайти точне значення\(\tan 15^{\circ}\) без використання калькулятора.
Рішення
\(\tan15^{\circ} =\tan(45^{\circ} −30^{\circ} )=\dfrac{\tan 45^{\circ} −\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ}} \tan 30^{\circ} =\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{3−\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\)
Остаточне рішення не матиме радикала в знаменнику. В цьому випадку множення наскрізного на сполучений знаменника дозволить усунути радикал.
\ (\ почати {масив} {л}
=\ dfrac {(3-\ sqrt {3})\ cdot (3-\ sqrt {3})} {(3+\ sqrt {3})\ cdot (3-\ sqrt {3})}\\
=\ dfrac {(3-\ sqrt {3}) ^ {2}} {9-3}\
=\ dfrac {(3-\ sqrt {3}) ^ {2}} {6}
\ кінець {масив}\)
Оцініть вираз точно без використання калькулятора.
\(\cos 50^{\circ} \cos 5^{\circ} +\sin 50^{\circ} \sin 5^{\circ}\)
Рішення
Як тільки ви знаєте загальну форму ідентичності суми та різниці, ви визнаєте це як косинус різниці.
\(\cos 50^{\circ} \cos 5^{\circ} +\sin 50^{\circ} \sin 5^{\circ} =\cos (50^{\circ} −5^{\circ} )=\cos 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Використовуйте ідентичність суми або різниці, щоб знайти точне значення\(\cot\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).
Рішення
Почніть з визначення котангенса як оберненого тангенса.
\ (\ почати {вирівняний}
\ кот\ ліворуч (\ dfrac {5\ pi} {12}\ праворуч) &=\ dfrac {1} {\ тан\ ліворуч (\ dfrac {5\ pi} {12}\ праворуч)}\\
&=\ dfrac {1} {\ tan\ ліворуч (\ dfrac {9\ pi} {12} -\ dfrac {4\ pi} {12}\ праворуч)}\\
&=\ dfrac {1} {\ tan\ ліворуч (135^ {\ circ} -60^ {\ circ}\ праворуч)}\\
& амп; =\ dfrac {1+\ tan 135^ {\ circ}\ тан 60^ {\ цирк}} {\ tan 135^ {\ circ} -\ tan 60^ {\ circ}}\\
&=\ dfrac {1+ (-1)\ cdot\ sqrt {3}} {(-1) -\ sqrt {3}}\
\ frac {(1-\ sqrt {3})} {(-1-\ sqrt {3})}\\
&=\ dfrac {(1-\ sqrt {3}) ^ {2}} {(-1+\ sqrt {3})\ cdot (1-\ sqrt {3})}\\
&=\ dfrac {(1-\ sqrt {3}) ^ {2}} {- (1-3)}\\
&=\ dfrac {(1-\ sqrt {3}) ^ {2}} {2}
\ кінець {вирівняний}\)
Доведіть наступну особу:
\(\dfrac{\sin(x−y)}{\sin(x+y)}=\dfrac{\tan x−\tan y}{\tan x+\tan y}\)
Рішення
Ось кроки:
\ (\ почати {вирівняний}\ dfrac {\ sin (x−y)} {\ sin (x+y)} &=\ dfrac {\ тан х -\ тан у} {\ тан х+\ тан у}\\ dfrac {\ sin x\ cos y−\ cos x\ sin y} {\ sin x\ cos y+\ cos x\ sin y} &=\ dfrac {
\ sin x\ cos y-\ cos x\ sin y} {\ sin x\ cos y+\ cos x\ sin y}\ cdot\ dfrac {\ dfrac {\ dfrac {1} {\ cos x\ cdot\ cos y}\ праворуч)} {\ ліво ( \ dfrac {1} {\ cos x\ cdot\ cos y}\ праворуч)} &=\
\ dfrac {\ dfrac {\ sin x\ скасувати {\ cos y}} {\ cos x\ cdot\ скасувати {\ cos y}}\ вліво (\ dfrac {\ скасувати {\ cos x}\ sin y} {x}\ cdot\ cos y}\ праворуч)} {\ ліворуч (\ dfrac {\ sin x\ скасувати {\ cos y}} {\ cos x\ cdot\ скасувати {\ cos y}}\ праворуч) +\ ліво (\ dfrac {\ скасувати {\ cos x}\ sin y} {\ скасувати {\ cos x}\ cdot\ cos y}\ праворуч)} &=\
\ dfrac {\ tan x-\ tan y} {\ tan x+\ tan y} &=
\ кінець {вирівняний}\)
Рецензія
Знайдіть точне значення для кожного виразу за допомогою ідентичності суми або різниці.
- \(\cos 75^{\circ}\)
- \(\cos 105^{\circ}\)
- \(\cos 165^{\circ}\)
- \(\sin 105^{\circ}\)
- \(\sec 105^{\circ}\)
- \(\tan 75^{\circ}\)
- Доведіть синус ідентичності суми.
- Доведіть тангенс ідентичності суми.
- Доведіть тангенс ідентичності різниці.
- Оцініть без калькулятора:\(\cos 50^{\circ} \cos 10^{\circ} −\sin 50^{\circ} \sin 10^{\circ}\).
- Оцініть без калькулятора:\(\sin 35^{\circ} \cos 5^{\circ} −\cos 35^{\circ} \sin 5^{\circ}\).
- Оцініть без калькулятора:\(\sin 55^{\circ} \cos 5^{\circ} +\cos 55^{\circ} \sin 5^{\circ}\).
- Якщо\(\cos\alpha \cos\beta =\sin \alpha \sin\beta\), то що\(\cos(\alpha +\beta )\) дорівнює?
- Доведіть, що\(\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1+\tan x}{1−\tan x}\).
- Доведіть, що\(\sin(x+\pi )=− \sin x\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.3.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| \(\mp\) | Символ\(\mp\) є скороченим для «мінус або плюс». |
| \(\pm\) | Символ\(\pm\) є скороченим для «плюс або мінус». |
| ідентичність | Ідентичність - це математичне речення за участю символу «\(=\)», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін. |