3.2.8: Тригонометричні рівняння з використанням факторингу

Факторинг і квадратична формула.

Розв'язування тригових рівнянь є важливим процесом в математиці. Досить часто ви побачите повноваження тригонометричних функцій і вас попросять вирішити значення змінної, які роблять рівняння істинним. Наприклад, припустимо, вам дали рівняння трига

\(2\sin x \cos x=\cos x\)

Тригонометричні рівняння з використанням факторингу

Ви, без сумніву, мали досвід роботи з факторингом. Ви, ймовірно, враховували рівняння при пошуку можливих значень якоїсь змінної, наприклад "\(x\)». Це може вас зацікавити, щоб дізнатися, що ви можете використовувати той же метод факторингу для більше, ніж просто змінна, яка є числом. Ви можете множити тригонометричні рівняння, щоб знайти можливі значення, які функція може прийняти для задоволення рівняння.

Алгебраїчні навички, такі як факторинг та заміщення, які використовуються для вирішення різних рівнянь, дуже корисні при розв'язанні тригонометричних рівнянь. Як і у випадку з алгебраїчними виразами, потрібно бути обережним, щоб уникнути поділу на нуль під час цих маневрів.

Розв'язування невідомих значень

1. Вирішити\(2\sin^2 x−3\sin x+1=0\) для\(0<x \leq 2\pi\).

\(\begin{aligned} \qquad \qquad \quad x^2 \sin^2 x−3\sin x+1&=0 \qquad \text{Factor this like a quadratic equation} \\ \qquad \qquad \quad (2\sin x−1)(\sin x−1)&=0 \end{aligned} \\ \begin{aligned} & \downarrow & \searrow& \\ 2\sin x−1&=0 &\text{or} \quad \sin x−1&=0 \\ 2\sin x&=1 & \sin x&=1 \\ \sin x&=\dfrac{1}{2} & x&=\dfrac{\pi}{2} \\ x=\dfrac{\pi}{6} \text{ and } x&=\dfrac{5\pi}{6} & & \end{aligned} \)

2. Вирішити\(2 \tan x \sin x+2\sin x=\tan x+1\) для всіх значень\(x\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Витягніть\(\sin x\)

Існує загальний фактор\((\tan x+1)\)

Подумайте про\(−(\tan x+1)\) як\((−1)(\tan x+1)\), саме тому є\(−1\) позаду\(2 \sin x\).

3. Вирішити\(2\sin^2 x+3\sin x−2=0\) для всіх\(x\),\([0,\pi ]\).

\ (\ почати {вирівняний}
\ qquad\ quad 2\ sin ^ {2} x+3\ sin x-2\ = 0\ стрілка вправо\ текст {Фактор, як квадратичний}\\ qquad
\ quad (2\ sin x-1) (\ sin x+2) &= 0\ кінець {вирівняний}\\\ початок {вирівняний}\ swarrow&&\ qquad\ searrow &\\
2\ sin x-1 &= 0 &\ гріх х +2& ; =0\
\ sin х & =\ dfrac {1} {2} &\ sin x & = -2\ кінець {вирівняний}\)
\(x=\dfrac{\pi}{6} \text { and } x=\dfrac{5 \pi}{6} \text { There is no solution because the range of } \sin x \text { is }[-1,1] \text { . }\)

Деякі тригонометричні рівняння не мають розв'язків. Це означає, що немає заміни змінної, яка призведе до істинного виразу.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили вирішити це:

\(2 \sin x \cos x=\cos x\)

Рішення

Відніміть\(\cos x\) з обох сторін і помножте його з рівняння:

\(\begin{aligned} 2\sin x \cos x−\cos x&=0 \\ \cos x(2\sin x−1)&=0 \end{aligned}\)

Тепер задайте кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте. Перший - це\(\cos x\):

\(\begin{aligned} \cos x&=0 \\ x&=\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi }{2}\end{aligned}\)

А тепер за іншим терміном:

\(\begin{aligned} 2 \sin x−1&=0 \\ \sin x&=\dfrac{1}{2} \\ x&=\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити тригонометричне рівняння\(4 \sin x \cos x+2\cos x−2\sin x−1=0\) таке, що\(0\leq x<2\pi\).

Рішення

Використовуйте факторинг шляхом групування.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

\ (\ почати {вирівняний}
2\ sin x+1&= 0 &\ текст {або}\ qquad 2\ cos x-1 & = 0\\
2\ sin x = -1 & 2\ cos x&= 1
\\ sin x&=-\ dfrac {1} {2} &\ cos x & =\
dfrac {1} {2} 7\ pi} {6},\;\ dfrac {11\ pi} {6} & x&=\ dfrac { \ pi} {3},\;\ dfrac {5\ pi} {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити\(\tan^2 x=3\tan x\) для\(x\) більш\([0,\pi ]\).

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ тан ^ {2} х &= 3\ тан х & & &\\\ тан ^ {2} х-3
\ тан х &= 0 & &\\\ загар х (\ тан х-3) &= 0 & &\\\ tan x &= 0\ qquad\ текст {або}
\ quad &\ tan x = 3\\ x &= 0\ qquad\ текст {або}\ quad &\ tan
x & = 0\ qquad\ tan
підсилювач; х & = 1,25
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайти всі розв'язки тригонометричного рівняння\(2 \sin^2\dfrac{x}{4}−3\cos \dfrac{x}{4}=0\) за інтервалом\([0,2\pi )\).

Рішення

\(2\sin^2 \dfrac{x}{4}−3\cos \dfrac{x}{4}=0\)

\ (\ почати {масив} {c} &\ qquad\ qquad\ квад 2\ лівий (1-\ cos ^ {2}\ dfrac {x} {4}\ праворуч) -3\ cos\ dfrac {x} {4} =0\\
qquad\ qquad\ quad\ quad 2-2\ cos ^ {2}\ dfrac {x} {4} -3\ cos\ dfrac c {x} {4} =0\\
&\ qquad\ qquad\ quad 2\ cos ^ {2}\ dfrac {x} {4} +3\ cos\ dfrac {x} {4} -2=0\\
& amp;\ qquad\ qquad\ quad\ лівий (2\ cos\ dfrac {x} {4} -1\ праворуч)\ лівий (\ cos\ dfrac {x} {4} +2\ праворуч) =0\ кінець {масив}\\ почати {вирівняний} &\\ sarrow &\\ 2\ cos\ dfrac {x} {4} -1&0 &\ текст {або}\ квад\ cos\ dfrac {x} {4} +2&=0\\ 2\ cos\ dfrac {x} {4} &=1 &\ cos\ dfrac {x} {4} &=-2\\ cos \ dfrac {x} {4} &=\ dfrac {1} {2} &\\ dfrac {x} {4} =\ dfrac {\ pi} {3}\ квад\ текст {або}\ квад\\ dfrac {5\ pi} {3} &\\ x =\ dfrac {4\ pi} {3}\ квадратний\ текст {або}\ quad&\ dfrac {20\ pi} {3} &&\ кінець {вирівняний}\)

\(\dfrac{20\pi}{3}\)усувається як рішення, оскільки воно знаходиться поза діапазоном і\(\cos x^4=−2\) не генерує жодних рішень, оскільки\(−2\) знаходиться поза діапазоном косинусів. Тому єдиним рішенням є\(\dfrac{4\pi}{3}\).

Рецензія

Розв'яжіть кожне рівняння\(x\) протягом інтервалу\([0,2\pi )\).

1. \(\cos^2 (x)+2 \cos(x)+1=0\)
2. \(1−2\sin (x)+\sin^2 (x)=0\)
3. \(2\cos (x) \sin (x)−\cos(x)=0\)
4. \(\sin (x) \tan^2 (x)−\sin (x) =0\)
5. \(\sec^2 (x)=4\)
6. \(\sin^2 (x)−2\sin (x) =0\)
7. \(3\sin (x) =2\cos^2 (x)\)
8. \(2\sin^2 (x)+3\sin (x) =2\)
9. \(\tan(x) \sin^2 (x)=\tan(x)\)
10. \(2\sin^2 (x)+\sin (x) =1\)
11. \(2\cos(x)\tan(x)−\tan (x)=0\)
12. \(\sin^2 (x)+\sin (x) =2\)
13. \(\tan(x)(2 \cos^2 (x)+3\cos(x)−2)=0\)
14. \(\sin^2 (x)+1=2\sin (x)\)
15. \(2\cos^2 (x)−3\cos (x)=2\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.4.

Лексика

Термін	Визначення
Факторинг	Факторинг - це процес поділу числа або виразу на добуток менших чисел або виразів.

Додаткові ресурси

Відео: Приклад: Розв'яжіть рівняння Трига шляхом факторингу

Практика: Тригонометричні рівняння з використанням факторингу