Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2.7: Тригонометричні рівняння з використанням квадратичної формули

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54857

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Квадратична формула з тригонометричною функцією замість змінної.

    Розв'язування рівнянь є фундаментальною частиною математики. Можливість знайти, які значення змінної відповідають рівнянню, дозволяє нам визначити всіляку цікаву поведінку, як у математиці, так і в науках. Розв'язування тригових рівнянь для кутів, що задовольняють рівнянню, є одним із застосувань математичних методів розв'язання рівнянь Припустимо, хтось дав вам таке рівняння:

    \(3 \sin^2 \theta +8 \sin\theta −3=0\)

    Квадратичні функції з тригонометричними рівняннями

    При вирішенні квадратних рівнянь, які не мають множника, часто використовується квадратична формула.

    Пам'ятайте, що квадратне рівняння таке:

    \(ax^2+bx+c=0\)(де\(a\)\(b\), і\(c\) є константами)

    У цій ситуації можна скористатися квадратичною формулою, щоб дізнатися, які значення «х» задовольняють рівнянню.

    Цей же метод може бути застосований при вирішенні тригонометричних рівнянь, які не мають множника. Значення для\(a\) - числовий коефіцієнт квадратного члена функції,\(b\) є числовим коефіцієнтом терміна функції, який знаходиться до першої степені і\(c\) є постійною. Формула призведе до двох відповідей, і обидва повинні бути оцінені протягом визначеного інтервалу.

    Розв'язування невідомих значень

    1. Вирішити\(3 \cot ^2 x−3 \cot x=1\) для точних значень\(x\) за інтервал\([0,2\pi ]\).

    \(\begin{aligned} 3\cot ^2 x−3\cot x &=1 \\ 3\cot ^2x−3\cot x−1&=0 \end{aligned}\)

    Рівняння не буде коефіцієнтом. Використовуйте квадратичну формулу для\(\cot x\),\(a=3\),\(b=−3\),\(c=−1\).

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ cot x & =\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
    \\ кот х & =\ dfrac {- (-3)\ pm\ sqrt {(-3) ^ {2} -4 (-1)}} {2 (3)}}\
    \ cot x & =\ dfrac {3\ pm\ sqrt {9+12}} {6}\
    \ cot x&=\ dfrac {3+\ sqrt {21}} {6} &\ квадратний\ текст {або}\ quad&\ cot x = \ dfrac {3-\ sqrt {21}} {6}
    \\ кот х & =\ dfrac {3+4.5826} {6} &\ квадратний &\ кот х =\ dfrac {3-4.5826} {6}
    \\ кот х & = 1.2638 &\ квадратний х = -0,2638\
    \ tan x =\ dfrac {1} {1.2638} &\ квадратний &\ тан х =\ dfrac {1} {-0.2638}\
    x & = 0.6694,3.81099 & ; &x = 1.8287,4.9703
    \ кінець {вирівняний}\)

    2. Вирішити\(−5 \cos ^2 x+9 \sin x+3=0\) для значень x за інтервал\([0,2\pi ]\).

    \(\cos ^2 x\)Змінити на\(1−\sin ^2 x\) з Піфагорійської ідентичності.

    \(\begin{aligned} −5\cos ^2 x +9\sin x+3 &=0 \\ −5(1−\sin ^2 x )+9\sin x+3 &=0 \\ −5+5\sin ^2 x +9\sin x+3 &=0 \\ 5\sin ^2 x +9\sin x−2 &=0 \end{aligned}\)

    \ (\ почати {масив} {л}
    \ sin x=\ dfrac {-9\ пм\ sqrt {9^ {2} -4 (5)}} {2 (5)}}\
    \ sin x=\ dfrac {-9\ пм\ sqrt {81+40}} {10}\
    \ sin x =\ dfrac {-9\ пм\ {sqrt 121}} {10}
    \\ sin x=\ dfrac {-9+11} {10}\ текст {і}\ sin x =\ dfrac {-9-11} {10}\
    \ sin x=\ dfrac {1} {5 }\ текст {і} -2\\
    \ sin ^ {-1} (0.2)\ текст {і}\ sin ^ {-1} (-2)
    \ end {масив}\)

    \(x\approx .201 \text{rad}\)і\(\pi −.201\approx 2.941\)

    Це єдине рішення для\(x\) так як не\(−2\) знаходиться в діапазоні значень.

    3. Вирішити\(3\sin ^2 x −6\sin x−2=0\) для значень\(x\) за інтервал\([0,2\pi ]\).


    \ (\ почати {масив} {л}
    \ квад 3\ sin ^ {2} х-6\ sin x-2 = 0\
    \ sin x =\ dfrac {6\ пм\ sqrt {(-6) ^ {2} -4 (3)}} {2 (3)}}\\
    sin x =\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36-24}} {6}\\
    \ sin x=\ dfrac {6\ пм\ sqrt {12}} {6}\
    \ sin x=\ dfrac {6+3.46} {10}\ текст { і}\ sin x =\ dfrac {6-3.46} {10}\
    \ sin x = .946\ текст {і} .254\
    \ sin ^ {-1} (0.946)\ текст {і}\ sin ^ {-1} (0.254)
    \ end {масив}\)

    \(x\approx 71.08 \text{ deg}\)і\(\approx 14.71 \text{ deg}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас попросили вирішити рівняння.

    Вихідне рівняння для вирішення було:

    3sin2\ тета +8 сін\ тета −3 = 0

    Рішення

    Використовуючи квадратичну формулу, з a=3, b=8, c=−3, отримуємо:

    \(\sin\theta =\dfrac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}=\dfrac{−8\pm \sqrt{64−(4)(3)(−3)}}{6}=\dfrac{−8\pm \sqrt{100}}{6}=\dfrac{−8\pm 10}{6}=\dfrac{1}{3} \text{or} −3\)

    Розв'язок -3 ігнорується, оскільки синус не може прийняти це значення, однак:

    \(\sin^{−1} \dfrac{1}{3}=19.471^{\circ}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Вирішити\(\sin ^2 x −2\sin x−3=0\) для\(x\) більш\([0,\pi ]\).

    Рішення

    Ви можете врахувати цей, як квадратичний.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin ^ {2} x-2\ sin x-3 &= 0 & &\\
    (\ sin x-3) (\ sin x+1) &= 0 &\\\ sin x-3 = 0 & &\
    \ sin x = 3 &\\ текст {або} &
    \ sin x+1 = 0\\ x =\ sin ^ {-1} (3) &\\ текст {або} & sin
    x+1 = 0\\ x =\ sin ^ {-1} (3) & & x =\ фрак {3\ pi} {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Для цієї проблеми єдиним рішенням є те,\(\dfrac{3\pi}{2}\) що синус не може бути\(3\) (він не знаходиться в діапазоні).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити\(\tan^2 x+\tan x−2=0\) для значень\(x\) за інтервал\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

    Рішення

    \(\tan^2 x+\tan x−2=0\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    -1\ пм\ sqrt {1^ {2} -4 (1) (-2)} &=\ тан х\\
    2 &\\\ dfrac {-1
    \ pm\ sqrt {1+8}} {2}} {2}} {2}} {1\\ tan x =\
    \ tan x &=-2\\ dfrac {-1\ pm 3} {2} &=\ загар х\\
    \ tan x &=-2\\\ dfrac текст {або}\; 1
    \ end {вирівняний}\)

    \(\tan x=1\)коли\(x=\dfrac{\pi}{4}\), в інтервалі\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{\pi}{2}\right]\)

    \(\tan x=−2\)коли\(x=−1.107 \text{rad}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Вирішити тригонометричне рівняння таке, що\(5 \cos^2 \theta −6 \sin\theta =0\) за інтервал\([0,2\pi ]\).

    Рішення

    \(5\cos^2\theta −6\sin \theta =0\)над інтервалом\([0,2\pi ]\).

    \ (\ почати {вирівняний}
    5\ ліворуч (1-\ sin ^ {2} х\ праворуч) -6\ sin x &= 0\\
    -5\ sin ^ {2} х-6\ sin x+5 &= 0\\
    5\ sin ^ {2} x+6\ sin &= 0\\\
    -6\ pm\ sqrt {6^ {2} -4 (5)} &=\ sin х\\
    2 (5) &\\
    \ dfrac {-6\ пм\ sqrt {36+100 }} {10} &=\ sin x\\
    \ dfrac {-6\ pm\ sqrt {136}} {10} &=\ sin x\\
    \ dfrac {-6\ pm 2\ sqrt {34}} {10} &=\ sin x\
    \ dfrac {-3\ pm\ sqrt {34}} {5} &=\ sin x
    \\ кінець {вирівняний})

    \(x=\sin^{−1}\left(\dfrac{−3+\sqrt{34}}{5}\right)\)або\(\sin^{−1}\left(\dfrac{−3−\sqrt{34}}{5}\right) x=0.6018 \text{ rad}\) або\(2.5398 \text{ rad}\) з першого виразу, другий вираз не дасть жодних відповідей, оскільки він знаходиться поза діапазоном синуса.

    Рецензія

    Розв'яжіть кожне рівняння, використовуючи квадратичну формулу.

    1. \(3x^2+10x+2=0\)
    2. \(5x^2+10x+2=0\)
    3. \(2x^2+6x−5=0\)

    Використовуйте квадратичну формулу для вирішення кожного квадратного рівняння за інтервалом\([0,2\pi )\).

    1. \(3\cos^2(x)+10\cos(x)+2=0\)
    2. \(5\sin^2(x)+10\sin(x) +2=0\)
    3. \(2\sin^2(x)+6\sin(x) −5=0\)
    4. \(6\cos^2(x)−5\cos(x)−21=0\)
    5. \(9\tan^2(x)−42\tan(x) +49=0\)
    6. \(\sin^2(x)+3\sin(x) =5\)
    7. \(3\cos^2(x)−4\sin(x) =0\)
    8. \(−2\cos^2(x)+4\sin(x) =0\)
    9. \(\tan^2(x)+\tan(x) =3\)
    10. \(\cot^2(x)+5\tan(x) +14=0\)
    11. \(\sin^2(x)+\sin(x) =1\)
    12. Який тип рівнянь синуса або косинуса не має рішення?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.5.

    Лексика

    Термін Визначення
    Квадратне рівняння Квадратне рівняння - це рівняння, яке можна записати у вигляді\(=ax^2+bx+c=0\), де\(a\)\(b\), і\(c\) є дійсними константами і\(a\neq 0\).