3.2.6: Розв'язування тригонометричних рівнянь з використанням базової алгебри
- Page ID
- 54865
Замістіть у потенційних розв'язках або вирішуйте за допомогою обернених тригових функцій.
Як агент тригонометрії, вам дається така підказка:\(2 \sin x−\sqrt{2}=0\). Якщо\(0\leq x<2\pi\), то є/є значення (и) з\(x\).
Розв'язування тригонометричних рівнянь
Ми вже перевірили тригонометричні ідентичності, які вірні для кожного реального значення\(x\). У цьому понятті ми будемо вирішувати тригонометричні рівняння. Рівняння вірно лише для деяких значень\(x\).
Давайте перевіримо, що\(\csc x−2=0\) коли\(x=\dfrac{5\pi}{6}\).
\(x=\dfrac{5\pi}{6}\)Замініть, щоб побачити, чи рівняння відповідає дійсності.
\(\begin{aligned} \csc \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)−2&=0\\ \dfrac{1}{\sin \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)}−2&=0 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}−2&=0 \\ 2−2&=0\end{aligned}\)
Це вірне твердження,\(x=\dfrac{5\pi}{6}\) так і рішення рівняння.
Тепер давайте вирішимо\(2\cos x+1=0\).
Щоб вирішити це рівняння, нам потрібно ізолювати cosx, а потім використовувати зворотні, щоб знайти значення x, коли рівняння дійсне.
\(\begin{aligned} 2\cos x+1&=0 \\ 2\cos x&=−1 \\ \cos x&=−\dfrac{1}{2}\end{aligned}\)
Отже, коли це\(\cos x=−\dfrac{1}{2}\)? Між\(0\leq x<2\pi\),\(x=\dfrac{2\pi}{3}\) і\(\dfrac{4\pi}{3}\). Але функції трига є періодичними, тому є більше рішень, ніж просто ці два. Можна записати загальні рішення як\(x=\dfrac{2\pi}{3} \pm 2\pi n\) і\(x=\dfrac{4\pi}{3}\pm 2\pi n\), де\(n\) будь-яке ціле число. Ви можете перевірити свою відповідь графічно за допомогою графіків\(y=\cos x\) і\(y=−\dfrac{1}{2}\) на тому ж наборі осей. Там, де дві лінії перетинаються - це рішення.
Нарешті, давайте вирішимо\(5 \tan(x+2)−1=0\), де\(0\leq x<2\pi\).
У цій задачі у нас є інтервал, де ми хочемо знайти\(x\). Тому в кінці задачі нам потрібно буде скласти або відняти\(\pi\), період дотичної, щоб знайти правильні рішення в межах нашого інтервалу.
\(\begin{aligned} 5 \tan(x+2)−1&=0 \\ 5 \tan(x+2)&=1 \\ \tan(x+2)&=\dfrac{1}{5} \end{aligned}\)
Використовуючи кнопку tan−1 на вашому калькуляторі, ми отримуємо це\(\tan^{−1} \left(\dfrac{1}{5}\right)=0.1974\). Тому у нас є:
\(\begin{aligned} x+2&=0.1974 \\ x&=−1.8026 \end{aligned}\)
Ця відповідь не в межах нашого інтервалу. Щоб знайти рішення в інтервалі, додайте\(\pi \) пару раз, поки ми не знайшли всі рішення в\([0,2\pi ]\).
\(\begin{aligned} x&=−1.8026+\pi =1.3390 \\ &=1.3390+\pi =4.4806\end{aligned}\)
Два рішення - це\(x=1.3390\) і\(4.4806\).
Раніше вам було запропоновано знайти значення x з рівняння\(2\sin x−\sqrt{2}=0\).
Рішення
Щоб вирішити це рівняння, нам потрібно ізолювати,\(\sin x\) а потім використовувати зворотні, щоб знайти значення,\(x\) коли рівняння дійсне.
\(\begin{aligned} 2 \sin x−\sqrt{2}&=0 \\ 2\sin x&=\sqrt{2} \\ \sin x&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}\)
Так що тепер нам потрібно знайти значення\(x\) для яких\(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Ми знаємо з спеціальних трикутників, що це значення синуса має істинне для\(45^{\circ}\) кута, але це єдине значення,\(x\) для якого це правда?
Нам це кажуть\(0\leq x<2\pi\). Нагадаємо, що синус позитивний як в першому, так і в другому квадрантах, тому\(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) коли\(x\) також є\(135^{\circ}\).
Визначте\(x=\dfrac{\pi}{3}\), чи є рішенням для\(2\sin x=\sqrt{3}\).
Рішення
\(2\sin \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3} \rightarrow 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
Так,\(x=\dfrac{\pi}{3}\) це рішення.
Розв'яжіть наступне рівняння трига в інтервалі\(0\leq x<2\pi\).
\(3 \cos^2 x−5=0\)
Рішення
\(\begin{aligned} 9\cos^2x−5&=0 \\ 9\cos^2x&=5 \\ \cos^2 x&=\dfrac{5}{9} \\ \cos x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}\end{aligned}\)
The\(\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) at\(x=0.243 \text{rad}\) (використовуйте графічний калькулятор). Щоб знайти інше значення, де косинус позитивний, відніміть 0.243 від\(2\pi\),\(x=2\pi −0.243=6.037\text{ rad}\).
\(\cos x=−\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)AT\(x=2.412 \text{rad}\), яка знаходиться в\(2^{nd}\) квадранті. Щоб знайти інше значення, де косинус від'ємний (\(3^{rd}\)квадрант), скористайтеся опорним кутом 0,243 і додайте його до\(\pi\). \(x=\pi +0.243=3.383\text{ rad}\).
Розв'яжіть наступне рівняння трига в інтервалі\(0\leq x<2\pi\).
\(3\sec(x−1)+2=0\)
Рішення
Тут ми знайдемо рішення в заданому діапазоні,\(0\leq x<2\pi\).
\(\begin{aligned} 3\sec(x−1)+2&=0 \\ 3\sec(x−1)&=−2 \\ \sec(x−1)&=−\dfrac{2}{3} \\ \cos(x−1)&=−\dfrac{3}{2}\end{aligned}\)
На цьому етапі ми можемо зупинитися. Діапазон функції косинуса - від 1 до -1. \(−\dfrac{3}{2}\)знаходиться за межами цього діапазону, тому рішення цього рівняння не існує.
Рецензія
Визначте, чи є наступні значення для x\(5+6 \csc x=17\).
- \(x=−\dfrac{7\pi }{6}\)
- \(x=\dfrac{11\pi }{6}\)
- \(x=\dfrac{5\pi }{6}\)
Розв'яжіть наступні тригонометричні рівняння. Якщо рішення не існує, пишіть жодного рішення.
- \(1−\cos x=0\)
- \(3\tan x−\sqrt{3}=0\)
- \(4\cos x=2\cos x+1\)
- \(5 \sin x−2=2 \sin x+4\)
- \(\sec x−4=−\sec x\)
- \(\tan^2(x−2)=3\)
Виконуйте наступні тригонометричні рівняння в межах інтервалу\(0\leq x<2\pi\). Якщо рішення не існує, пишіть жодного рішення.
- \(\cos x=\sin x\)
- \(−\sqrt{3} \csc x=2\)
- \(6\sin(x−2)=14\)
- \(7\cos x−4=1\)
- \(5+4\cot^2 x=17\)
- \(2\sin^2x−7=−6\)
Відповіді на проблеми з оглядом
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.10.
Додаткові ресурси
Практика: Розв'язування тригонометричних рівнянь з використанням базової алгебри