Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2.5: Розв'язування тригонометричних рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54875

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тотожності та розв'язування рівнянь на інтервалі або без розв'язків.

    Розв'язування тригонометричного рівняння подібно до вирішення регулярного рівняння. Ви будете використовувати факторинг та інші алгебраїчні методи, щоб отримати змінну з одного боку. Найбільшою відмінністю з тригонометричними рівняннями є можливість існувати нескінченну кількість розв'язків, які необхідно описати за допомогою шаблону. Рівняння\(\cos x=1\) має безліч розв'язків, включаючи 0 і\(2\pi\). Як би ви описали їх усіх?

    Розв'язування тригонометричних рівнянь

    Отримані вами ідентичності корисні у вирішенні тригонометричних рівнянь. Мета розв'язання рівняння не змінилася. Робіть все, що потрібно, щоб отримати змінну поодинці на одній стороні рівняння. Факторинг, особливо з піфагорійською ідентичністю, є критичним.

    Спробуйте дати точні (неокруглені) відповіді при вирішенні тригонометричних рівнянь. Якщо ви працюєте з калькулятором, майте на увазі, що в той час як деякі нові калькулятори можуть надати точні відповіді\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), як, більшість калькуляторів буде виробляти десяткову... Якщо ви бачите десяткове число, як 0.866..., спробуйте звести його в квадрат. Результат може бути приємною фракцією, як\(\dfrac{3}{4}\). Тоді можна логічно зробити висновок, що початкове десяткове число має бути квадратним коренем\(\dfrac{3}{4}\) або\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    При вирішенні, якщо дві сторони рівняння завжди рівні, то рівняння є тотожністю. Якщо дві сторони рівняння ніколи не рівні, як з\ sin x =3, то рівняння не має розв'язку.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, як можна описати безліч рішень\(\cos x=1\). Коли ви вводите\(\cos^{−1} 1\) на калькуляторі, він дасть тільки одне рішення, яке дорівнює 0. Для того, щоб описати всі рішення, ви повинні використовувати логіку та графік, щоб з'ясувати, що косинус також має висоту 1 на\(−2\pi ,\; 2\pi ,\; −4\pi ,\; 4\pi \ldots\) щастя, всі ці значення є послідовностями у чіткій схемі, тому ви можете описати їх усіх загалом наступними позначеннями:

    Рішення

    \(x=0\pm n\cdot 2\pi \)де\(n\) - ціле число, або\(x=\pm n\cdot 2\pi \) де\(n\) - ціле число.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Вирішіть наступне рівняння алгебраїчно і підтвердіть графічно на інтервалі\([−2\pi ,\;2\pi ]\).

    Рішення

    \(\cos 2x=\sin x\)

    \(\begin{aligned} \cos 2x&=\sin x \\ 1−2 \sin^2x&=\sin x \\ 0&=2 \sin^2 x+\sin x −1 \\ 0&=(2\sin x −1)(\sin x +1) \end{aligned}\)

    Розв'язування першої частини множини, рівної нулю в межах інтервалу, дає:

    \(\begin{aligned} 0&=2\sin x −1 \\ \dfrac{1}{2}&=\sin x \\ x&=\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; −\dfrac{11\pi}{6},\; −\dfrac{7\pi}{6}\end{aligned}\)

    Розв'язування другої частини множини дорівнює нулю виходів:

    \(\begin{aligned} 0&=\sin x +1 \\ −1&=\sin x \\ x &=−\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3 \pi}{2} \end{aligned}\)

    Це шість рішень, які з'являться у вигляді перетинів двох графіків\(f(x)=\cos 2x\) і\(g(x)=\sin x\).

    F-D_2292E8633DF8CA163BD8E9B5DF7140D Fac65447CB19 ADFA9E29F8C4B+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Визначте загальне рішення наступного рівняння.

    \(\cot x −1=0\)

    Рішення

    \(\begin{aligned} \cot x −1&=0 \\ \cot x &=1 \end{aligned}\)

    Одним з рішень є\(x=\dfrac{\pi}{4}\). Однак, оскільки це питання просить загальне рішення, потрібно знайти всіляке рішення. Ви повинні знати, що котангенс має період,\(\pi\) який означає, що якщо ви додаєте або\(\pi\) віднімаєте,\(\dfrac{\pi}{4}\) то він також дасть висоту 1. Щоб захопити всі ці інші можливі\(x\) значення, вам слід скористатися цим позначенням.

    \(x=\dfrac{\pi}{4} \pm n\cdot \pi\)де\(n\) ціле число

    F-D_FBAEB94D7F58575914896425Ф7522 BE2D05A1C8D8EA78BE0EB+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Зверніть увагу, що тригонометричні рівняння можуть мати нескінченну кількість розв'язків, які повторюються за певною схемою, оскільки вони є періодичними функціями. Коли ви бачите ці напрямки, пам'ятайте, щоб знайти всі рішення, використовуючи позначення, як у цьому прикладі.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Вирішіть наступне рівняння.

    \(4\cos^2x−1=3−4\sin^2 x\)

    Рішення

    \(\begin{aligned} 4\cos^2x−1&=3−4\sin^2x \\ 4\cos^2x+4\sin^2x&=3+1 \\ 4(\cos^2x+\sin^2x)&=4 \\4&=4 \end{aligned}\)

    Це рівняння завжди вірно, що означає, що права сторона завжди дорівнює лівій стороні. Це особистість.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Вирішіть наступне рівняння точно.

    \(2\cos^2x+3\cos x−2=0\)

    Рішення

    Почніть з факторингу:

    \(\begin{aligned} 2 \cos^ 2x+3\cos x−2&=0 \\ (2\cos x−1)(\cos x+2)&=0 \end{aligned}\)

    Зауважте,\(\cos x\neq −2\) що це означає, що для розв'язків потрібно розв'язати лише одне рівняння.

    \(\begin{aligned} 2\cos x−1&=0 \\ \cos x&=12 \\ x&=\dfrac{\pi}{3},\; −\dfrac{\pi}{3}\end{aligned}\)

    Це рішення в межах інтервалу\(−\pi\) до\(\pi\). Оскільки це один повний період косинуса, решта розв'язків є кратними\(2\pi\) доданими та віднімаються до цих двох значень.

    \(x=\pm \dfrac{\pi}{3}\pm n\cdot 2\pi\)де\(n\) ціле число

    Рецензія

    Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі\([0,\;2\pi )\).

    1. \(3\cos^2 \dfrac{x}{2}=3\)
    2. \(4\sin^2 x=8\sin^2 \dfrac{x}{2}\)

    Знайти приблизні розв'язки кожного рівняння на інтервалі\([0,\;2\pi )\).

    1. \(3\cos^2 x+10 \cos x+2=0\)
    2. \(\sin^2 x+3 \sin x =5\)
    3. \(\tan^2 x+\tan x =3\)
    4. \(\cot^2 x+5\tan x +14=0\)
    5. \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)

    Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі [0,\; 360^ {\ circ})\).

    1. \(2\sin(x−\dfrac{\pi}{2})=1\)
    2. \(4\cos(x−\pi )=4\)

    Розв'яжіть кожне рівняння на інтервалі\([2\pi ,\;4\pi )\).

    1. \(\cos^2 x+2 \cos x+1=0\)
    2. \(3\sin x =2\cos^2 x\)
    3. \(\tan x \sin^2 x=\tan x\)
    4. \(\sin^2 x+1=2\sin x\)
    5. \(\sec^2x=4\)
    6. \(\sin^2 x−4=\cos^2 x−\cos 2x−4\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.5.