Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2.4: Простіша форма тригонометричних рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54849

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розбивка складних виразів за допомогою тригонометричних тотожностей.

    Іноді все простіше, ніж виглядають. Наприклад, тригонометричні тотожності іноді можна звести до більш простих форм, застосовуючи інші правила. Наприклад, чи можете ви знайти спосіб спрощення\(\dfrac{\cos^3\theta =3\cos\theta +\cos^3\theta}{4}\)?

    Тригонометричні рівняння

    До цього часу у вашій шкільній кар'єрі ви, напевно, бачили тригонометричні функції, представлені різними способами: співвідношення між довжинами сторін прямих трикутників, як функції координат, коли людина подорожує по одиничному колу і як абстрактні функції з графіками. Тепер настав час скористатися властивостями тригонометричних функцій, щоб отримати знання про зв'язки між самими функціями. Шаблони цих зв'язків можуть бути застосовані для спрощення тригонометричних виразів і розв'язання тригонометричних рівнянь.

    Для цього знайдіть частини складного тригонометричного виразу, які можуть бути зведені до меншої кількості тригових функцій, якщо до виразу застосовано одну з ідентичностей, які ви вже знаєте. Коли ви застосовуєте ідентичності, деякі складні триг-вирази мають частини, які можна скасувати, інші можуть бути зведені до меншої кількості триг-функцій. Поспостерігайте, як це робиться в прикладах нижче.

    Спрощення виразів

    1. Спростіть наступний вираз, використовуючи основні тригонометричні тотожності:\(\dfrac{1+\tan^2 x}{\csc 2x}\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {1+\ tan ^ {2} x} {\ csc ^ {2} x} &\ ldots\ ліворуч (1+\ tan ^ {2} x\ праворуч)\ текст {піфагорейська ідентичність}\\ dfrac {
    \ сек ^ {2} x} {\ csc ^ {2} x}\ ldots\ ліворуч (\ сек ^ {2} x=\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ текст {і}\ csc ^ {2} x =\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}\ праворуч)\ текст {Взаємна ідентичність}\\ dfrac {\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}} {\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}} &=\ ліворуч (\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ праворуч)\ div\ ліворуч (\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}\ праворуч)\ div\ ліворуч (\ dfrac {1} {
    \ sin ^ {2} x}\ праворуч)\\ ліворуч (\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}\ праворуч) &=\ dfrac {\ sin^2 x} {\ cos^2 x}\\
    &=\ tan ^ {2} х\ стрілка вправо\ текст {ідентифікатор частки}
    \ end {вирівняний}\)

    2. Спростіть наступний вираз, використовуючи основні тригонометричні тотожності:\(\dfrac{\sin ^2 x+\tan^2 x+\cos ^2 x }{\sec x}\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {\ sin ^ {2} x+\ tan ^ {2} x+\ cos ^ {2} x} {\ сек x} &\ ldots\ ліворуч (\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x = 1\ праворуч)\ текст {Піфагорійська ідентичність}\\ dfrac {1+\ tan ^ {2} x = 1\ праворуч)
    \ текст {Піфагорійська ідентичність}\\ dfrac {1+\ tan ^ {2} x} {\ сек х} &\ ldots\ ліворуч (1+\ tan ^ {2} x=\ сек ^ {2} х\ праворуч)\ text {Піфагорійська ідентичність}\\
    \ dfrac {\ сек ^ {2} х} {\ сек х} &=\ сек х
    \ кінець {вирівняний}\)

    3. Спростіть наступний вираз, використовуючи основні тригонометричні тотожності:\(\cos x−\cos ^3 x\)


    \ (\ почати {вирівняний}
    &\ cos x-\ cos ^ {3} x\\
    &\ cos х\ лівий (1-\ cos ^ {2} х\ вправо)\ квадратний\ ldots\ текст {Фактор}\ cos x\ text {і}\ sin ^ {2} x\ cos ^ {2} x\\
    &\ cos x\ left (\ sin ^ {2} x\ праворуч)
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили спростити\(\cos^3\theta =\dfrac{3 \cos\theta +\cos^3\theta}{4}\).

    Рішення

    Найпростіший спосіб почати - розпізнати ідентичність потрійного кута:

    \(\cos^3\theta =\cos^3\theta −3\sin^2\theta \cos\theta\)

    Підстановка цього в вихідне рівняння дає:

    \(\cos^3\theta =\dfrac{3\cos\theta +(\cos^3\theta −3\sin^2\theta cos\theta )}{4}\)

    Зверніть увагу, що потім можна помножити на чотири і відняти\(\cos^3\theta\) термін:

    \(3\cos^3\theta =3\cos\theta −3\sin^2\theta cos\theta\)

    І нарешті витягуємо трійку і ділимо:

    \(\cos^3\theta =\cos\theta −\sin^2\theta cos\theta\)

    Потім витягуємо\(\cos \theta\) і ділимо:

    \(\cos^2\theta =1−\sin^2\theta\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Спростити\(\tan^3(x)\csc^3(x)\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \tan^3(x) \csc^3(x)&\\&=\sin^3(x)\cos^3(x)\times \dfrac{ 1}{\sin^3(x)} \\ &=\dfrac{1}{\cos^3(x)} \\ &=sec^3(x) \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Покажіть, що\(\cot^2(x)+1=\csc^2(x)\).

    Рішення

    Почніть з\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\), і розділіть все через\(sin^2(x)\):

    \(\begin{aligned} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \\ &=\dfrac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)}+\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\\&=\dfrac{1}{\sin^2(x)} \\&=1+\cot^2(x)=\csc^2(x)\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Спростити\(\dfrac{\csc^2(x)−1}{\csc^2(x)}\).

    Рішення

    \(\dfrac{\csc^2(x)−1}{\csc^2(x)}\)

    Використовуючи\(\cot^2(x)+1=\csc^2(x)\) те, що було доведено в #2, ви можете знайти зв'язок:\(cot^2(x)=\csc^2(x)−1\), ви можете підставити в вищевказаний вираз, щоб отримати:

    \(\begin{aligned} \dfrac{\cot^2(x)}{\csc^2(x)} &=\dfrac{\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}{\dfrac{1}{\sin^2(x)}} \\&=\cos^2(x)\end{aligned}\)

    Рецензія

    Максимально спрощуйте кожен тригонометричний вираз.

    1. \(\sin(x) \cot(x)\)
    2. \(\cos(x) tan(x)\)
    3. \(\dfrac{1+\tan(x)}{1+\cot(x)}\)
    4. \(\dfrac{1−\sin^2(x)}{1+\sin(x)}\)
    5. \(\dfrac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}\)
    6. \((1+\tan^2(x))(\sec^2(x))\)
    7. \(\sin(x)(\tan(x)+\cot(x))\)
    8. \(\dfrac{\sec(x)}{\sin(x)}−\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
    9. \(\dfrac{\sin(x)}{\cot^2(x)}−\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\)
    10. \(\dfrac{1+\sin(x)}{cos(x)}−\sec(x)\)
    11. \(\dfrac{\sin^2(x)−\sin^4(x)}{\cos^2(x)}\)
    12. \(\dfrac{\tan(x)}{\csc^2(x)}+\dfrac{\tan(x)}{\sec^2(x)}\)
    13. \(\sqrt{1−\cos^2(x)}\)
    14. \((1−\sin^2(x))(\cos(x))\)
    15. \((\sec^2(x)+\csc^2(x))−(\tan^2(x)+\cot^2(x))\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    Тригонометрична ідентичність Тригонометрична ідентичність - це рівняння, яке пов'язує дві або більше тригонометричних функцій.