3.2.3: Докази тригонометричних ідентичностей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54866

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перетворіть на синус/косинус, використовуйте основні тотожності та спростіть сторони рівняння.

Переконайтеся, що\(\dfrac{\sin^2 x}{\tan^2 x}=1−\sin^2 x\).

Перевірка тригонометричних ідентичностей

Тепер, коли вам зручно спрощувати вирази, ми розширимо ідею на перевірку цілих ідентичностей. Ось кілька корисних порад для підтвердження особи:

Змініть все на терміни синус і косинус.
Використовуйте посвідчення, коли зможете.
Почніть зі спрощення лівої частини рівняння, а потім, як тільки ви застрягнете, спростіть праву частину. Поки обидві сторони закінчуються однаковим остаточним виразом, ідентичність вірна.

Давайте перевіримо наступні посвідчення.

\(\dfrac{\cot^2 x}{\csc x}=\csc x−\sin x\)

Замість того, щоб мати знак рівності між двома сторонами рівняння, ми проведемо вертикальну лінію, щоб було легше бачити, що ми робимо з кожною стороною рівняння. Почніть з зміни всього на синус і косинус.

\ (\ почати {масив} {l|l}
\ dfrac {\ cot ^ {2} x} {\ csc x} &\ csc x-\ sin x\
\ dfrac {\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {\ sin ^ {2} x}} {\ dfrac {1} {\ sin x}} &\ dfrac {1} sin x}\
\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {\ sin x} &
\ end {масив}\)

Тепер, схоже, ми в глухому куті з лівого боку. Давайте об'єднаємо праву частину, надавши їм однаковий знаменник.

\ (\ почати {масив} {|c}
\ dfrac {1} {\ sin x} -\ dfrac {\ sin ^ {2} x} {\ sin x}\\ dfrac {1-
\ sin ^ {2} x} {\ sin x}\\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {
\ sin x}\ кінець {масив}\\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {
\ кінець {масив}\)

Дві сторони зводяться до одного і того ж виразу, тому ми можемо зробити висновок, що це дійсна ідентичність. На останньому кроці ми використовували Піфагорійську Ідентичність\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\), і виділили\(\cos^2 x=1−\sin^2x\).

Зазвичай існує більше одного способу перевірки особи трига. Підтверджуючи цю особу на першому кроці, а не змінюючи котангенс на\(\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\), ми могли б також замінити особистість\(\cot^2 x=\csc^2 x−1\).

\(\dfrac{\sin x}{1−\cos x}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\)

Помножте ліву частину рівняння на\(\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\).

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ sin x} {1-\ cos x} &=\ dfrac {1+\ cos x} {\ sin x}
\\ dfrac {1+\ cos x} {1+\ cos x}\ cdot\ dfrac {\ sin x} {1-\ cos x} &=
\\ dfrac {\ sin (1+\ cos x)} {1-\ cos ^ {2} х} &=\
\ dfrac {\ sin (1+\ cos x)} {\ sin ^ {2} х} &=\\
\ dfrac {1+\ cos x} {\ sin x} &=
\ кінець {вирівняний}\)

Дві сторони однакові, тому ми і зробили.

\(\sec(−x)=\sec x\)

Змінити секанс на косинус.

\(\sec(−x)=\dfrac{1}{cos(−x)}\)

З негативних кутових ідентичностей ми це знаємо\(\cos(−x)=\cos x\).

\(\begin{aligned} &=\dfrac{1}{\cos x} \\&=\sec x\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили перевірити це\(\sin^2 x \tan^2 x=1−\sin^2 x\).

Рішення

Почніть зі спрощення лівої частини рівняння.

\(\sin ^2 x \tan ^2 x=\dfrac{\sin ^2 x}{\dfrac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}}=\cos ^2 x\)

Тепер спростіть праву частину рівняння. Маніпулюючи тригонометричною ідентичністю,

\(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\), отримуємо\(\cos ^2 x=1−\sin ^2 x\).

\(\cos ^2 x=\cos ^2 x\)і рівняння перевіряється.

Перевірте наступні посвідчення.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(\cos x \sec x=1\)

Рішення

Змінити секанс на косинус.

\(\begin{aligned} \cos x \sec x&=\cos x \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\&=1\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(2−sec^2 x=1−\tan ^2 x\)

Рішення

Використовуйте особистість\(1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta\).

\(\begin{aligned} 2−\sec^2 x &=2−(1+\tan ^2 x) \\&=2−1−\tan ^2 x \\&=1−\tan ^2 x\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{\cos(−x)}{1+\sin(−x)}=\sec x+\tan x\)

Рішення

Тут почніть з від'ємних кутових тотожностей і помножте верхню і нижню частину на,\(\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}\) щоб знаменник був мономіальним.

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ cos (-x)} {1+\ sin (-x)} &=\ dfrac {\ cos x} {1-\ sin x}\ cdot\ dfrac {1+\ sin x} {1+\ sin x}\\ sin x}\\
dfrac {\ cos x (1+\ sin x)} {1- ^\ sin x} {1- ^\ sin {2} х}\\
&=\ dfrac {\ cos x (1+\ sin x)} {\ cos ^ {2} x}\\
&=\ dfrac {1+\ sin x} {\ cos x}\\
&=\ dfrac {1} {\ cos x} +\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}\\
&=\ сек x+\ tan x
\ кінець {вирівняний}\)

Рецензія

Перевірте наступні посвідчення.

\(\cot(−x)=−\cot x\)
\(\csc(−x)=−\csc x\)
\(\tan x \csc x \cos x=1\)
\(\sin x+\cos x \cot x=\csc x\)
\(\csc\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\sec x\)
\(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\tan x\)
\(\dfrac{\csc x}{\sin x}−\dfrac{\cot x}{\tan x}=1\)
\(\dfrac{\tan ^2 x}{\tan ^2 x+1}=\sin ^2 x\)
\((\sin x−\cos x)^2+(\sin x+\cos x)^2=2\)
\(\sin x−\sin x \cos ^2 x=\sin ^3 x\)
\(\tan ^2 x+1+\tan x \sec x=\dfrac{1+\sin x}{\cos ^2 x}\)
\(\cos ^2 x=\csc x \cos x \tan x+\cot x\)
\(\dfrac{1}{1−\sin x}−\dfrac{1}{1+\sin x}=2\tan x \sec x\)
\(\csc^4 x−\cot^4 x=\csc ^2 x+\cot^2x\)
\((\sin x−\tan x)(\cos x−\cot x)=(\sin x−1)(\cos x−1)\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.9.

Додаткові ресурси

Відео: Перевірка тригонометричних ідентичностей - приклад 2